1. 空間、映射與維數

除非另有說明，$F$ 是域，每個維數公式中的空間均為有限維。

除非另有說明，$F$ 是域，向量空間均為有限維。熟悉的列向量空間 $F^n$ 只是向量空間的一個模型：多項式、矩陣及函數也可以是向量。關鍵是運用它們的運算，而非外觀。

定義

子空間與直和

向量空間 $V$ 的非空子集 $U$ 是子空間，若對所有 $u,v\in U$ 及 $a,b\in F$，均有 $au+bv\in U$。子空間 $U,W$ 的和為 $U+W=\{u+w:u\in U,w\in W\}$。若每個元素的這種分解唯一，稱其為直和，記作 $U\oplus W$；這等價於 $U\cap W=\{0\}$。

把兩個分解相減便得出等價性；反過來，交集中非零向量會有兩個分解。串接 $U,W$ 的基底可張成其和；該串接列表線性獨立當且僅當和為直和。

對兩個子空間 $U,W$，其和為 $U+W=\{u+w\}$。當且僅當 $U\cap W=\{0\}$ 時它是直和，記作 $U\oplus W$；等價地，和中每個向量有唯一分解。將 $U\cap W$ 的基分別擴充為 $U$ 和 $W$ 的基，合併擴充後的列表給出

$$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).$$

為檢查線性無關性，把 $U$ 和 $W$ 的線性組合移到等式兩邊：共同向量位於交集中，因此額外基向量的系數為零，隨後交集基向量的系數也為零。有限維空間的每個子空間都可由基擴充得到補空間，但補空間通常不唯一，也不具有規範性。

定義

核與像

若 $T:V\to W$ 滿足 $T(av+bw)=aT(v)+bT(w)$，則稱為線性映射。其核為 $\ker T=\{v:T(v)=0\}$，像為 $\operatorname{im}T=\{T(v):v\in V\}$；兩者均為子空間。$T$ 單射當且僅當 $\ker T=\{0\}$，滿射當且僅當 $\operatorname{im}T=W$。

映射 $T:V\to W$ 若滿足 $T(\alpha v+\beta u)=\alpha Tv+\beta Tu$，則為線性。其核與像都是子空間。選取 $\ker T$ 的基 $k_1,\ldots,k_r$，並以 $v_1,\ldots,v_s$ 擴充為基，則 $Tv_1,\ldots,Tv_s$ 構成 $\operatorname{im}T$ 的基：展開任意輸入可證明張成性；若這些像線性相關，相應輸入組合落入核，而擴充基的線性無關性迫使所有系數為零。因此

$$\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T.$$

這就是秩–零度定理。有限維且維數相等時，單射與滿射等價；無限維空間中該等價可能失效。

例題

多項式微分

令 $P_2$ 為次數至多二的實多項式空間，$D:P_2\to P_2$ 為微分。若 $p=a+bx+cx^2$，則 $Dp=b+2cx$。故 $\ker D=\operatorname{span}\{1\}$，$\operatorname{im}D=\operatorname{span}\{1,x\}$；維數 $1+2=3$ 符合秩–零化度定理。以 $P_2$ 為陪域時，$D$ 既非單射亦非滿射。

選擇方法與常見錯誤

用子空間判別法證明封閉性，用基底證明維數；當核或像其中之一較易求時用秩–零化度。用交集檢查分解是否唯一；和不一定是直和。不要未經證明把核當成零向量，或把像當成陪域。有限維空間的自映射中單射等價於滿射，但任意不同維數的定義域與陪域並非如此。

練習

1. 在 $P_2$ 中令 $U=\operatorname{span}\{1,x\}$、$W=\operatorname{span}\{x,x^2\}$。求 $U\cap W$ 及 $\dim(U+W)$。
2. 令 $T:P_2\to\mathbb R^2$ 把 $p$ 映至 $(p(0),p(1))$。求核的基底，並判斷是否滿射。
3. 證明：有限維 $V$ 上的線性自映射若單射，則滿射。

完整解答

1. 同時在兩個張成空間內的多項式沒有常數項及二次項，故 $U\cap W=\operatorname{span}\{x\}$。其和為 $P_2$，維數為 $2+2-1=3$。
2. 設 $p=a+bx+cx^2$，條件為 $a=0$ 及 $b+c=0$。故 $p=c(x^2-x)$，核的基底為 $\{x^2-x\}$。秩–零化度給出像的維數 $3-1=2$，所以像是整個 $\mathbb R^2$。
3. 單射給出零核。秩–零化度得 $\dim\operatorname{im}T=\dim V$；有限維空間中同維子空間等於全空間，故滿射。

連繫

選取基底後，這些結構命題變成矩陣命題。核與像的維數不依賴基底的選擇。