6. 譜定理

所有空間均為 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 上的有限維空間。

複數情形的存在性論證使用代數基本定理：每個非常數複多項式都有複根。本章不重證這個獨立的先備定理。零維空間取空基即得結論；以下特徵向量步驟只用於正維數。

若 $S$ 正規，則 $\|Sv\|=\|S^\dagger v\|$，因為兩個平方由 $S^\dagger S=SS^\dagger$ 決定。若 $T$ 正規，$S=T-\lambda I$ 也正規，因此

$$Tv=\lambda v\quad\Longrightarrow\quad T^\dagger v=\bar\lambda v.$$

若 $v$ 為特徵向量，由伴隨恆等式，其正交補在 $T$ 和 $T^\dagger$ 下都不變。它們在該正交補上的限制仍互為伴隨且可交換，因此仍正規。

複譜定理。 複空間自映射正規當且僅當它有標準正交特徵基。

證明。 非零維空間的特徵多項式有複根，選取並單位化一個特徵向量。上述正交補論證將問題化為維數少一的正規算子；歸納得到標準正交特徵基。反過來，標準正交基下的對角矩陣與其共軛轉置交換，故正規。∎

自伴算子的特徵值為實數：由 $\langle Tv,v\rangle=\langle v,Tv\rangle$ 得 $\lambda\|v\|^2=\bar\lambda\|v\|^2$。酉算子保持範數，故其特徵值模為一。這些是必要的譜性質，但任意矩陣滿足它們並不足以保證自伴或酉。

實對稱譜定理。 實自伴映射有實的標準正交特徵基。為證明實特徵值存在，將實對稱矩陣複化；由前述計算，任何複特徵值都是實數。複特徵向量的實部或虛部至少有一個非零，且是對應實特徵值的實特徵向量。將其單位化，再對其不變的實正交補歸納。實正規算子不一定有實特徵值；平面旋轉是標準反例。

實正規條件本身不足以保證實特徵基底：非平凡平面旋轉可為實正交及正規，但可能沒有實特徵向量。複數域上正規算子的特徵值未必為實數；自伴性是使其為實數的額外條件。

這裏共享正文的 $T^\dagger$ 與前一單元的 $T^*$ 是同一 Hermitian 伴隨。正交歸一特徵基底的列矩陣 $U$ 是酉矩陣，所以對角化寫成 $A=UDU^*$。實數情形為 $A=QDQ^{\mathsf T}$，其中 $Q$ 正交而 $D$ 是實對角矩陣。

例題

正交對角化

令 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$。正交歸一特徵向量 $q_1=(1,1)/\sqrt2$、$q_2=(1,-1)/\sqrt2$ 的特徵值分別為 $3,1$。令 $Q=(q_1\ q_2)$，則 $A=Q\operatorname{diag}(3,1)Q^{\mathsf T}$。例如對每個非負整數 $k$，$A^k=Q\operatorname{diag}(3^k,1)Q^{\mathsf T}$。

選擇方法與常見錯誤

先檢查域和結構。對實對稱矩陣，求各特徵空間，在每個重特徵值空間內選正交歸一基底，再合併；不同特徵空間已經正交。僅可對角化的矩陣未必有正交歸一特徵基底。$Q^{-1}=Q^{\mathsf T}$ 只適用於正交 $Q$；複數情形用 $U^*$。

練習

1. 正交對角化 $\begin{pmatrix}4&0\\0&-1\end{pmatrix}$ 並求其平方。
2. 對例題的矩陣，求實單位向量 $x$ 上 $x^{\mathsf T}Ax$ 的最大值及所有最大化向量。
3. 舉一個不能在 $\mathbb R$ 上對角化的實正規矩陣，並解釋為何不違反複譜定理。

完整解答

1. 已為對角矩陣：取 $Q=I$、$D=\operatorname{diag}(4,-1)$，其平方為 $\operatorname{diag}(16,1)$。
2. 寫 $x=a q_1+b q_2$，其中 $a^2+b^2=1$。則 $x^{\mathsf T}Ax=3a^2+b^2=1+2a^2\le3$。等號恰在 $b=0$ 成立，故最大化向量為 $\pm q_1$。
3. 四分之一圈旋轉矩陣 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 正交，因此正規，但其特徵多項式 $t^2+1$ 沒有實根。在 $\mathbb C$ 上它有正交歸一特徵基底，正如複譜定理所述。

連繫

同樣的正交座標變換可分類實二次型。二次型與 Jordan 型在此均為選讀補充，並不表示任何特定現行考試的範圍。