3. 特徵結構與對角化

定義

特徵值與特徵空間

對域 $F$ 上的 $T:V\to V$，若有非零 $v$ 滿足 $Tv=\lambda v$，則 $\lambda\in F$ 是特徵值。其特徵空間為 $E_\lambda=\ker(T-\lambda I)$。對矩陣 $A$，$\lambda$ 是特徵值當且僅當 $\chi_A(\lambda)=0$，其中 $\chi_A(t)=\det(tI-A)$。

定理

線性獨立與對角化

屬於不同特徵值的特徵向量線性獨立。$n$ 維空間的自映射可在 $F$ 上對角化，當且僅當其不同特徵空間的維數之和為 $n$。每個特徵值的幾何重數 $\dim E_\lambda$ 至多等於它作為 $\chi_A$ 根的代數重數。

證明

不同特徵值為何給出線性獨立

假設最短非平凡關係為 $\sum_{i=1}^k c_iv_i=0$，特徵值各異。施以 $T-\lambda_k I$ 得 $\sum_{i=1}^{k-1}c_i(\lambda_i-\lambda_k)v_i=0$，是更短的非平凡關係，矛盾。因此各特徵空間的基底合併後線性獨立，其長度為 $n$ 時恰為特徵基底。為證重數上界，將 $E_\lambda$ 的基底擴充成 $V$ 的基底；所得矩陣左上角為 $\lambda I$ 區塊，下方是零區塊，故特徵多項式含因子 $(t-\lambda)^{\dim E_\lambda}$。

實用判別法：在指定域中分解 $\chi_A$，求各特徵空間基底，檢查維數總和是否為 $n$。等價地，多項式須完全分解，且每個根的幾何重數等於代數重數。重根本身不會阻止對角化；在 $F$ 上不完全分解則不能在 $F$ 上對角化。

例題

缺少特徵向量的重特徵值

對 $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$，$\chi_A(t)=(t-2)^2$。解 $(A-2I)v=0$ 得 $v=(s,0)$，故 $\dim E_2=1<2$，不可對角化。相比之下 $2I$ 的特徵多項式相同，但特徵空間為二維。

若 $A=PDP^{-1}$，$P$ 的列是特徵向量，且對非負整數 $k$ 有 $A^k=PD^kP^{-1}$；這並不表示所有矩陣都可對角化。須指明域：實旋轉矩陣 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 在 $\mathbb C$ 上有特徵值 $\pm i$，但沒有實特徵值。

練習

1. 對角化 $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ 並求 $A^3$。
2. 判斷 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 在 $\mathbb R$ 和 $\mathbb C$ 上是否可對角化。
3. 證明：$n\times n$ 矩陣若在 $F$ 中有 $n$ 個不同特徵值，便可在 $F$ 上對角化。

完整解答

1. 對 $1$ 的特徵向量可取 $(1,0)$，對 $2$ 可取 $(1,1)$。故 $P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$、$D=\operatorname{diag}(1,2)$，且 $A=PDP^{-1}$。因此 $A^3=\begin{pmatrix}1&7\\0&8\end{pmatrix}$。
2. 特徵多項式為 $t^2+1$，沒有實根，故不可在 $\mathbb R$ 上對角化。在 $\mathbb C$ 上有不同根 $i,-i$，故可對角化；相應特徵向量可取 $(1,-i)$ 和 $(1,i)$。
3. 每個特徵值各選一個非零特徵向量。不同特徵值的線性獨立性給出 $n$ 個獨立向量，因而為基底；在此基底下矩陣為對角矩陣。

連繫

內積為特徵結構加上幾何。根據譜定理，正規或對稱結構可提供正交歸一特徵基底，而不只是一般特徵基底。