2. 座標與基底變換

除非另有說明，$F$ 是域，每個維數公式中的空間均為有限維。

座標以有序基底描述向量；更換基底時座標會變，向量和線性映射本身卻不變。

定義

映射的矩陣

給定 $V$ 的有序基底 $B=(v_1,\ldots,v_n)$ 與 $W$ 的有序基底 $C=(w_1,\ldots,w_m)$，矩陣 $[T]_{C\leftarrow B}$ 的第 $j$ 列為 $[T(v_j)]_C$，故 $[T(v)]_C=[T]_{C\leftarrow B}[v]_B$。若 $S:W\to X$ 且 $D$ 是 $X$ 的有序基底，則 $[ST]_{D\leftarrow B}=[S]_{D\leftarrow C}[T]_{C\leftarrow B}$。

基 $B=(b_1,\ldots,b_n)$ 通過坐標同構將 $V$ 與 $F^n$ 對應。對基 $B,C$，矩陣 $[T]_{C\leftarrow B}$ 的各欄為 $[Tb_j]_C$。對自映射，按 $[v]_B=P[v]_{B'}$ 換基得到

$$[T]_{B'}=P^{-1}[T]_BP.$$

這是相似變換，定義域與陪域採用同一換基。一般映射在定義域和陪域獨立換基會得到 $Q^{-1}AP$，是不同的等價問題。

證明

追蹤座標

對每個 $v$，舊輸出座標為 $AP[v]_{B'}$，亦等於 $Q[T(v)]_{C'}$。基底變換矩陣可逆，解出新輸出座標即得 $Q^{-1}AP$；自映射時 $Q=P$。

例題

非標準多項式基底

在次數至多一的實多項式空間 $P_1$ 上令 $T(p)=p'$，$B'=(1+x,1)$。$1+x$ 的導數是 $1=0(1+x)+1(1)$，而 $1$ 的導數是零，因此 $[T]_{B'\leftarrow B'}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$。相對 $B=(1,x)$，矩陣為 $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$；$P=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$，確有 $P^{-1}AP$ 等於上述矩陣。

相似保持特徵多項式、行列式、跡、秩及特徵值，因為它表示同一自映射在另一基底下的矩陣。行列式和跡相等並不足以推出相似。行運算不一定是相似變換，一般會改變所表示的自映射。決定變換矩陣方向時，先寫出座標等式再相乘。

練習

1. $T(x,y)=(x+2y,y)$ 作用於 $\mathbb R^2$，$B'=((1,0),(1,1))$。求 $[T]_{B'\leftarrow B'}$。
2. 用 $\chi_A(t)=\det(tI-A)$ 證明相似矩陣有相同特徵多項式。
3. $I_2$ 與 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 是否相似？說明理由。

完整解答

1. $T(1,0)=(1,0)$ 在 $B'$ 下座標為 $(1,0)$；$T(1,1)=(3,1)=2(1,0)+(1,1)$ 的座標為 $(2,1)$。矩陣是 $\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$。
2. 若 $B=P^{-1}AP$，則 $tI-B=P^{-1}(tI-A)P$。行列式乘法給出 $\det(tI-B)=\det(P^{-1})\det(tI-A)\det(P)=\det(tI-A)$。
3. 不相似：對每個可逆 $P$，$P^{-1}I_2P=I_2$，不同於第二個矩陣。特徵多項式相同並不足夠。

連繫

特徵基底使自映射的矩陣成為對角矩陣；下一單元研究這樣的基底何時存在。