8. 選讀補充：Jordan 型

零維情形取空鏈基底即可。餘下設 $V\ne0$。選一個有序基並寫 $A=[T]$，故 $\chi_T(t)=\det(tI-A)$。先建立多項式關係與直和分解，整個論證不預先假設 Jordan 型存在。

全章中，$V$ 是域 $F$ 上的非零有限維向量空間，且 $T\in\operatorname{End}_F(V)$。除非另有說明，不假設代數閉性。

對 $p(t)=\sum_{j=0}^dc_jt^j$，定義 $p(T)=\sum c_jT^j$，其中 $T^0=I$。同一算子的各次冪可交換，所以 $(pq)(T)=p(T)q(T)$，代入是環同態 $F[t]\to\operatorname{End}(V)$。這不允許在任意矩陣系數恆等式中，用不交換的矩陣隨意替換變量。

定理。 $\chi_T(T)=0$。

證明。 令 $\chi_A(t)=\sum_{k=0}^nc_kt^k$ 且 $c_n=1$。交換多項式環 $F[t]$ 上的伴隨矩陣恆等式給出

設 $B_{-1}=B_n=0$。比較系數得到對 $0\le k\le n$，$B_{k-1}-AB_k=c_kI$。將第 $k$ 個等式左乘 $A^k$ 並求和，各項相消：

這就是 $\chi_A(A)=0$。這裡僅使用系數恆等式和結合律，沒有未經說明地對可能含不交換系數的矩陣多項式作代入。∎

凱萊–哈密頓定理提供了非零零化多項式；選擇次數最小的首一零化多項式，稱為 $m_T$。多項式除法證明

事實上寫 $p=qm_T+r$，其中 $\deg r<\deg m_T$。若 $p(T)=0$，則 $r(T)=0$；由最小性 $r=0$。同一論證給出唯一性，特別有 $m_T\mid\chi_T$。非零常數多項式不能零化非零空間，所以 $m_T$ 的次數為正。

雙因式分解。 若 $f,g\in F[t]$ 互素且 $f(T)g(T)=0$，則

證明。 多項式歐幾里得算法給出 $af+bg=1$。對任意 $v$，

第一個項屬於 $\ker g(T)$，第二個屬於 $\ker f(T)$，因為多項式算子可交換且 $f(T)g(T)=0$。若 $v$ 同時屬於兩個核，相同恆等式給出 $v=0$。∎

將這一論證反覆應用於不同首一不可約因式的分解

得到主分解

每個直和項都不變。在 $m_T$ 分解為線性因式的域上，它們是廣義特徵空間。在 $\mathbb R$ 上可能保留不可約二次式，不能把它重新稱為實特徵空間。最小多項式為 $m=t^2+1$ 的實旋轉矩陣體現了這一障礙。

因為 $m_T\mid\chi_T$，且 $\chi_T$ 在 $F$ 上完全分解，可寫 $m_T=\prod_\lambda(t-\lambda)^{s_\lambda}$。上述主分解給出 $V=\bigoplus_\lambda\ker(T-\lambda I)^{s_\lambda}$。每個直和項都不變，$T-\lambda I$ 在其中的限制為冪零算子。以下對像子空間歸納，完整證明所需的鏈基底定理。

若某個正整數 $s$ 滿足 $N^s=0$，算子 $N$ 是冪零的。在非零空間上，滿足條件的最小指數稱為冪零指數。

定理。 有限維空間上的冪零算子有由鏈組成的基。

對 $\dim V$ 歸納證明。 零空間有空基。設 $V\ne0$，令 $W=NV$。冪零性說明 $W$ 是真子空間：若 $N$ 滿射，則其每次冪都滿射，這與非零 $V$ 上某次冪為零矛盾。$N$ 在 $W$ 上的限制冪零，由歸納法選其鏈基

當 $W=0$ 時沒有這樣的鏈，故 $k=0$。鏈頂 $w_{i,r_i}$ 模 $NW$ 後構成 $W/NW$ 的基：在鏈基中，$NW$ 由各鏈除頂端之外的所有項張成。

每個鏈頂位於 $W=NV$，所以可選 $v_i\in V$ 使 $Nv_i=w_{i,r_i}$。於是擴充後的鏈 $w_{i,1},\ldots,w_{i,r_i},v_i$ 合起來線性無關。事實上，若 $\sum_i a_iv_i+w=0$、$w\in W$，作用 $N$ 得 $\sum_i a_iw_{i,r_i}+Nw=0$。其商空間基性質使所有 $a_i=0$，隨後由 $W$ 的基線性無關得 $w=0$。

令 $E$ 為擴充鏈的張成空間。我們有 $W\subseteq E$、$NE=W$ 和 $\dim E=\dim W+k$，所以對 $N|_E$ 使用秩–零度定理得到 $\dim(E\cap\ker N)=k$。將該交集的一個基擴充為 $\ker N$ 的基，並將額外向量作為長度為一的鏈接在擴充鏈之後。根據在 $\ker N$ 中取補空間的定義，它們與 $E$ 線性無關。向量總數為

這裡對 $V$ 上的 $N$ 使用秩–零度定理。因此它們構成所需的完整鏈基。∎

證明也說明為何任意選擇各次核的基不夠：鏈頂必須可以提升且彼此相容。構造鏈不僅是知道核的維數。

在每個主分量上應用此定理，再把 $\lambda I$ 加回相應的冪零限制。合併各直和項的鏈基底，就在整個 $V$ 上證明了 Jordan 存在性。這裏使用像空間歸納；後面的核濾過章節另外證明兼容商空間代表元的構造方法，兩種方法不能混稱。

為證唯一性及計數，長度 $r$ 的 $\lambda$ 區塊對 $d_k$ 貢獻 $\min(k,r)$。對另一個特徵值 $\mu\ne\lambda$ 的區塊，令 $a=\mu-\lambda\ne0$，其冪零部分滿足 $R^r=0$。有限恆等式

可直接相乘驗證：中間各次冪相消，餘下的 $R^r$ 項為零。因此該區塊不貢獻任何核維數。於是 $d_k=\sum_r b_r\min(k,r)$，其中 $b_r$ 是大小 $r$ 的 $\lambda$ 區塊數。取一次差得 $d_k-d_{k-1}=\sum_{r\ge k}b_r$，再取差得 $2d_k-d_{k-1}-d_{k+1}=b_k$。這些內在核維數確定所有區塊大小，證明除次序外的唯一性。