定向、空腔與奇異向量場綜合

學習目標與定理檢查清單

區分有邊界的曲面與閉邊界，計入每個空腔，並識別會使原本誘人的定理應用失效的奇異性。應用 Green、Stokes 或散度定理前，先確定區域、定向、鄰域上所需的導數類別以及每個排除點。奇異集很小並不自動使其無害。

對含空腔的立體，內壁的“向外”指向空腔內部，遠離材料。對 Stokes 定理，邊界定向必須由選定的曲面法向誘導；只反轉其中一邊會改變符號。閉曲面沒有邊界曲線，而有邊界的曲面一般有。將有邊界的曲面閉合會增加一項通量，之後必須減去。

例題：有邊界的半球面

設 $S$ 為單位上半球面，法向從上半球體向外，且 $F=(x,y,z+1)$。加入位於 $z=0$ 且法向向下的底面圓盤 $D$。散度為三，上半球體積為 $2\pi/3$，因此閉曲面通量為 $2\pi$。在 $D$ 上，$F\cdot(0,0,-1)=-1$，故圓盤通量為 $-\pi$。因此所求半球面通量為 $2\pi-(-\pi)=3\pi$。常數垂直分量不改變散度，卻改變各個有邊界曲面的通量。

例題：徑向奇點與球殼

在 $\mathbb R^3\setminus\{0\}$ 上令 $F(x)=x/\|x\|^3$。當 $r=\|x\|>0$ 時，

$$\operatorname{div}F=\sum_{j=1}^3(r^{-3}-3x_j^2r^{-5})=0.$$

在球面 $r=R$ 上，其中 $R>0$，$F=R^{-2}n$，所以向外通量為 $R^{-2}(4\pi R^2)=4\pi$。不能對整個球應用散度定理，因為 $F$ 在球心未定義。對球殼 $\varepsilon\le r\le R$，其中 $0<\varepsilon<R$，它在閉球殼的鄰域上為 $C^1$。內壁法向為 $-n$，產生內壁通量 $-4\pi$。總通量為零，與體積分中的零散度一致。去掉奇點會改變邊界，從而準確恢復定理的適用條件。

例題：替換難以計算的 Stokes 曲面

設 $C$ 是 $x^2+y^2=1$ 與 $z=2+x$ 的交線，參數化為 $r(t)=(\cos t,\sin t,2+\cos t)$，其中 $0\le t\le2\pi$。對 $F=(-y,x,0)$，選取 $z=2+x$ 中的平面圓盤，在單位圓盤上參數化為 $R(u,v)=(u,v,2+u)$。它向上的向量面積為 $R_u\times R_v=(-1,0,1)$。旋度為 $(0,0,2)$，故 Stokes 定理給出積分 $\iint_D2\,du\,dv=2\pi$。$C$ 的參數化是逆時針參數圓的像，方向相容；反向曲線將給出 $-2\pi$。

分層練習

1. 基礎。 對 $F=(0,0,1)$，分別求穿過閉單位球面和其上半球面的向外通量。
2. 核心。 求 $F=(x,y,z)$ 穿過球殼 $1\le\|x\|\le2$ 的向外通量，計入兩個邊界分量。
3. 核心。 對平面渦旋場 $G=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$，計算沿圓環 $1\le x^2+y^2\le4$ 正向邊界的環流，並與僅沿外圓的環流比較。
4. 證明。 兩個曲面有相同的有向邊界，且一個 $C^1$ 場在兩曲面附近有定義。解釋當 Stokes 定理適用時為甚麼其旋度通量相等。這是否意味著該場本身的通量也相等？

完整解答

1. 常向量場散度為零，因此閉曲面通量為零。對上半球面，用法向向下的圓盤閉合後，圓盤通量為 $-\pi$，故半球面通量為 $\pi$。答案不同是因為其中一個曲面有邊界。
2. 外球面貢獻 $4\pi(2^3)=32\pi$，指向中心的內壁貢獻 $-4\pi$，總和為 $28\pi$。散度三乘球殼體積 $3[4\pi(8-1)/3]$ 得到相同結果。
3. 沿任何以零為中心的逆時針圓，環流為 $2\pi$。圓環邊界的外圓逆時針、內圓順時針，所以總環流為 $2\pi-2\pi=0$。該場在圓環附近光滑且標量旋度為零，與 Green 定理一致。若只看外圓，其填充圓盤包含奇點，因此不能用 Green 定理聲稱環流為零。
4. 由 Stokes 定理，兩個旋度通量都等於同一邊界環流，故相等。若沒有額外假設，普通場通量不具有類似結論：兩個曲面可以圍成散度非零的體積。例如上半球面和向上圓盤具有相同的逆時針邊界，但 $F=(x,y,z)$ 的半球面通量為 $2\pi$，圓盤通量為零。

總結與術語定義

空腔是被排除的內部區域，其壁仍是立體邊界的一部分。奇點是場或所需正則性失效的點。封口曲面補足有邊界曲面以形成某立體的邊界。定理本身可能完全正確，但擬議應用無效；檢查每個邊界分量及正則性鄰域是計算的一部分。