C¹ 變量替換：有限維 Jordan/Riemann 證明

學習目標與精確範圍

利用上一章的有限 Jordan 覆蓋和一致雙側立方體變形估計，證明有限維 $C^1$ 變量替換定理，再通過有限 Darboux 階梯函數夾逼將連續情形擴展至有界 Riemann 可積函數。以下定理明確了有界 Jordan/Riemann 情形及覆蓋條件。

全文中，$n$ 是有限正整數。若有界 Jordan 集上的函數向包含它的長方體作零延拓後在那裏 Riemann 可積，就稱其在該集合上 Riemann 可積；不同的包含長方體給出相同積分。零測邊界上可賦予任意有界值。上一章給出了 Jordan 邊界與零測集像的引理及一致小立方體估計。

1. 定理及全部假設

定理：有界 $C^1$ Jordan/Riemann 變量替換

設 $U,V\subseteq\mathbb R^n$ 為開集，$T:U\to V$ 為 $C^1$ 微分同胚：它是雙射，$T$ 及其逆映射連續可微，尤其有 $\det DT(x)\ne0$，對每個 $x\in U$ 成立。設 $K\subset U$ 為緊 Jordan 可測集，$f:T(K)\to\mathbb R$ 在 $T(K)$ 上有界且 Riemann 可積。則 $T(K)$ 是 Jordan 可測的，函數 $x\mapsto f(T(x))|\det DT(x)|$ 在 $K$ 上 Riemann 可積，且

$$\int_{T(K)}f(y)\,dy =\int_K f(T(x))J(x)\,dx, \qquad J(x)=|\det DT(x)|.$$

允許空集或 Jordan 零測情形。逐點取行列式絕對值可涵蓋兩種取向及不連通定義域。若有界 Jordan 區域 $D$ 滿足 $\overline D\subset U$，同樣適用：以其緊閉包替代並在邊界賦有界值，因為邊界及其像均為零測。

緊包含條件不可省略：它提供導數和逆矩陣的一致界，並使所有足夠小的邊界網格格子留在映射的開定義域內。**範圍。**這是有界區域上的 Riemann 定理。無界或非緊極限需要收斂估計；多對一映射需要計算覆蓋次數。一般 Lebesgue 公式和低維曲面面積公式是另外的結果。

2. 準備統一網格，包括邊界層

若 $K$ 為空，兩邊積分均為零，故設其非空。基礎章已證明 $E=T(K)$ 是緊 Jordan 可測集：其邊界是 $\partial K$ 的零測像。

選取 $K_*$ 為 $K$ 在 $U$ 內的緊鄰域。對所有足夠小且與 $K$ 相交的規則網格立方體，上一章給出共同常數 $L,C$ 和函數 $\beta(h)\to0$，使得對立方體 $Q$（邊長為 $h$、中心為 $c$），

$$\|T(x)-T(z)\|_\infty\le L\|x-z\|_\infty\quad(x,z\in Q),$$ $$|v(T(Q))-J(c)h^n|\le\beta(h)h^n,\qquad v(T(Q))\le Ch^n.$$

這裡沿每個立方體內的線段取導數界。

令 $\mathcal I_h$ 為完全包含於 $K$ 的有限網格立方體集合，令 $\mathcal B_h$ 為與 $K$ 相交但不完全包含於其中的立方體。第二類每個立方體都與 $\partial K$ 相交，由 Jordan 邊界判據，

$$b_h:=\sum_{Q\in\mathcal B_h}v(Q)\longrightarrow0$$

立方體可以共面，但面及其在 $T$ 下的像均為零測。因此全局單射保證不同內部格子的像僅在零測的面像上重疊，其體積與積分可用有限可加性。

$E$ 中未被內部格子像覆蓋的部分包含在邊界立方體的像中。其體積至多為 $Cb_h$，因為 $v(T(Q))\le Cv(Q)$ 且覆蓋有限。它本身也 Jordan 可測：從 Jordan 集 $E$ 中減去有限 Jordan 集並即可。這便給出了目標邊界層誤差界。

3. 先對連續 f 證明定理

設 $f$ 在緊集 $E$ 上連續。它以 $M$ 為界且一致連續；以 $\omega_f(\eta)\to0$ 表示 $E$ 上的共同連續模。對每個內部立方體 $Q$，$T(Q)$ 上的目標積分與 $f(T(c))v(T(Q))$ 之差至多為 $\omega_f(Lh)v(T(Q))$。未覆蓋的目標邊界層貢獻至多為 $MCb_h$。

由於內部格子像的內部除零測集外互不相交，其總體積不超過 $v(E)$。因此

$$\left|\int_Ef-\sum_{Q\in\mathcal I_h}f(T(c))v(T(Q))\right| \le\omega_f(Lh)v(E)+MCb_h\longrightarrow0.$$

現在把每個像的體積替換為 $J(c)h^n$。對固定長方體 $B$（包含 $K$），額外總誤差至多為

$$M\beta(h)\sum_{Q\in\mathcal I_h}h^n\le M\beta(h)v(B)\longrightarrow0.$$

所得和是 $f(T(x))J(x)$ 在 $K$ 上的內部格子標記和。該函數在緊集 $K$ 上連續，前面的 Jordan/Darboux 引理證明這些和趨於其積分：一致連續性控制內部格子，而 $b_h\to0$ 控制被省略的邊界格子。因此連續 $f$ 的兩個積分相等。

共同的格子相對誤差界使體積替換的總誤差消失，而獨立的邊界估計控制被省略的格子。

4. 得出 Jordan 部分集的體積恆等式

在已證明的連續情形中取 $f\equiv1$，得到

$$v(T(S))=\int_SJ(x)\,dx$$

對每個緊 Jordan 集 $S\subset U$ 成立。它也適用於有界 Jordan 集 $S$（閉包包含於 $U$）：用 $\overline S$ 替代即可。新增部分包含於 $\partial S$，其像為零測，因此體積和積分都不變。

我們需要將此恆等式用於以有限網格切割目標集所得的部分。令 $C$ 為一個網格長方體，$S=K\cap T^{-1}(C)$。其邊界包含於

$$\partial K\ \cup\ T^{-1}(\partial C\cap E).$$

第一部分為零測。第二部分也為零測，因為目標網格面的這一部分是 $V$ 內緊零測集的有界子集，而逆映射為 $C^1$，在緊集 $E$ 的鄰域上成立。對該逆映射應用有限覆蓋零測像引理即可。因此 $S$ 是 Jordan 可測的，且其閉包緊包含於 $U$。

若需要嚴格不相交的劃分，可對網格格子採用一致的半開邊界歸屬。這些部分的邊界仍包含在同一有限零測集合中。其像恰為採用相應歸屬的 $E\cap C$。因此體積恆等式結合有限線性性，證明了目標網格上每個有限階梯函數的變量替換公式。

於是連續定理的常數函數推論已經建立了有限目標階梯函數的替換公式。

5. 利用有限階梯夾逼處理有界 Riemann 可積函數

取包含 $E$ 的目標長方體，令 $f_0$ 為 $f$ 的零延拓。其 Riemann 可積性意味著對每個 $\varepsilon>0$，存在有限網格，使其下、上階梯函數 $\ell,u$ 滿足

$$\ell\le f_0\le u,\qquad \int(u-\ell)<\varepsilon.$$

在每個格子上取 $f_0$ 在其閉包上的下確界和上確界，並一致地指定面上的值。Darboux 判據恰給出上述差距。將非負差函數限制到 $E$ 上不會增加其積分。

源函數 $p(x)=\ell(T(x))J(x)$ 和 $q(x)=u(T(x))J(x)$ 在 $K$ 上向外作零延拓後均 Riemann 可積。它們分別是連續函數 $J$ 與剛建立的 Jordan 原像部分集的示性函數之積的有限和。這樣的有界乘積由 Darboux 乘積估計可積，也可在這些零測部分邊界之外直接利用一致連續性證明。由於 $J\ge0$，

$$p(x)\le f(T(x))J(x)\le q(x),$$

階梯函數恆等式給出

$$\int_K(q-p)=\int_E(u-\ell)<\varepsilon.$$

如果有界函數有積分差任意小的可積上下夾逼，則它 Riemann 可積。事實上其下積分至少為下夾逼的積分，上積分至多為上夾逼的積分，因此兩者之差小於每個正 epsilon。

這證明了變換後被積函數可積。它的積分與原積分 $\int_Ef$ 均位於同一對數值 $\int_E\ell=\int_Kp$ 和 $\int_Eu=\int_Kq$ 之間，而它們的差小於 epsilon。因此兩個積分之差為零。定理包括有界 Riemann 情形，證畢。

有限 Darboux 夾逼和 Jordan 體積恆等式完成了有界 Riemann 推廣。

6. 非線性映射例題，包括不連續被積函數

設 $T(u,v)=(u,v+u^2)$ 定義於 $\mathbb R^2$。其逆映射為 $(x,y)\mapsto(x,y-x^2)$，行列式為一。單位正方形映成

$$E=\{0\le x\le1,\quad x^2\le y\le x^2+1\}.$$

對連續函數 $f(x,y)=y$，定理給出

$$\iint_Ey\,dA=\int_0^1\int_0^1(v+u^2)\,dv\,du=\frac56.$$

該映射彎曲上下邊界但保持面積，因為常數一的積分仍為一。

對於有界示性函數：令 $f(x,y)=1$ 當 $y\ge x^2+1/2$，下方為零；它在 $E$ 內的不連續點位於一條光滑圖線上。其有界零延拓 Riemann 可積：用總面積任意小的有限薄格子覆蓋該圖線及 $\partial E$，其餘位置函數為常數。變換後的函數為階梯函數 $1_{\{v\ge1/2\}}$，故積分為 $1/2$。此例將有界 Riemann 推廣應用於跨光滑圖線的跳躍。

7. 極坐標作為極限推論

在 $U=(0,\infty)\times(-\pi,\pi)$ 上，極坐標映射 $T(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ 是到去掉非正水平射線的平面的微分同胚，且 $J=r$。該去掉射線的平面上的一個顯式光滑逆映射為 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $\theta=2\arctan[y/(\sqrt{x^2+y^2}+x)]$：其分母在那裏嚴格為正，半角恆等式可驗證兩個複合映射。對 $0<\varepsilon<R$ 和 $0<\delta<\pi$，緊矩形 $[\varepsilon,R]\times[-\pi+\delta,\pi-\delta]$ 恰好滿足定理。

對閉圓盤上的有界連續被積函數，只有控制遺漏部分之後才能從這些截斷扇域過渡到圓盤。環域中寬度為 $2\delta$ 的遺漏角楔可用另一個非奇異極坐標分支覆蓋；由被積函數為一時的定理，其面積為 $\delta(R^2-\varepsilon^2)$。半徑為 epsilon 的圓盤包含在面積為 $4\varepsilon^2$ 的正方形內。將這些界乘以被積函數的界，兩個遺漏貢獻都趨於零。圓周與徑向接縫可由有限光滑曲線覆蓋，面積為零。這證明了此類有界被積函數的通常圓盤極坐標公式；取被積函數為一即得圓盤面積 $\pi R^2$。

截斷使映射保持正則且單值；上述界在極限中恢復原點與角度接縫。

8. Jacobian 非零並不意味著恰好覆蓋一次

對去心平面上的 $F(x,y)=(x^2-y^2,2xy)$，有 $\det DF=4(x^2+y^2)>0$。它處處局部可逆，但 $F(x,y)=F(-x,-y)$。環域 $1\le r\le2$ 兩次映滿環域 $1\le\rho\le4$。

像的面積為 $15\pi$，而

$$\iint_{1\le r\le2}|\det DF|\,dA =\int_0^{2\pi}\int_1^2 4r^3\,dr\,d\theta=30\pi.$$

因子二反映重疊覆蓋。全局單射性正是保證不同像格子除零測面外不相交的條件。限制到單射分支並記錄其重疊，便可區分兩次遍歷與普通像面積。

分級定理與應用練習

1. 假設審查。 解釋緊包含 $K\subset U$ 和全局單射為何在邏輯上不同於導數行列式非零。給出一個邊界與定義域的例子，說明不通過廣義積分極限就不能直接應用本定理。
2. 證明機制。 準確指出一致小立方體相對誤差和 Jordan 邊界層估計在連續情形的證明中各用於何處。為何該論證中兩者都不可或缺？
3. 非線性剪切。 驗證 $(u,v)\mapsto(u,v+u^2)$ 的逆映射和行列式，並重算其 $y$ 的積分以及所示上半部分階梯函數的積分。
4. 覆蓋。 驗證複平方映射的行列式和環域上的二對一描述。解釋若悄然去掉單射性，定理證明的哪一步會重複計數。
5. 有界 Riemann 推廣。 解釋有限階梯夾逼的拉回為何 Jordan 可積，以及不等式乘以 $J$ 為何保持方向。說明證明對於任意有界不可積函數沒有建立甚麼結論。
6. 三維情形。 對單位立方體使用 $T(u,v,w)=(u,v,w+u^2+v^2)$，求像的體積和 $\iiint_{T(K)}z\,dV$，並驗證所有映射與定義域條件。

完整解答

1. 行列式非零只是局部條件。它既不能保證靠近缺失定義域邊界時導數與逆矩陣有界，也不能阻止相距很遠的不同輸入有同一像。例如 $T(x)=1/x$ 在 $(0,\infty)$ 上是微分同胚，但 $(0,1]$ 不緊包含於該定義域，且其像無界。此處的替換屬於廣義積分問題，須截斷並證明收斂，不能直接應用上述緊集定理。複平方環域則給出另一個獨立例子：儘管行列式處處非零，全局單射仍失效。
2. 一致相對誤差控制把每個曲線格子的體積替換為 $J(c)h^n$；求和後誤差至多為 $M\beta(h)$ 乘以固定包含長方體的體積，趨於零。邊界層界以 $MCb_h$ 控制完全內部源格子未覆蓋的目標點。僅有內部線性近似會遺漏該層，而僅有邊界控制不能確定內部體積密度。兩項估計都是等式證明中的明確組成部分。
3. 解 $x=u,y=v+u^2$ 得 $u=x,v=y-x^2$，這是全局光滑逆映射。行列式為一。單位正方形上變換後的 $y$ 為 $v+u^2$，積分為 $1/2+1/3=5/6$。$y\ge x^2+1/2$ 的示性函數變為 $v\ge1/2$ 的示性函數，其正方形積分為 $1/2$。邊界及分隔圖線均為 Jordan 零測，故其上有界賦值不改變結果。
4. 導數矩陣為 $\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}$，行列式為 $4(x^2+y^2)$。以極坐標表示時，它將半徑平方、角度加倍，故所述環域中每個像點恰有兩個互為對徑的原像。源上的行列式積分為 $30\pi$，像面積為 $15\pi$。有限像格子的可加性步驟會失效：不同源區域的像在正面積上重疊，而不只是在零測的面上相交。
5. 每個網格原像部分的邊界包含於 $\partial K$ 與有限多個目標面的逆像之並中。由 $T^{-1}$ 的有限覆蓋引理，二者均 Jordan 零測，所以每一部分都是 Jordan 集。連續函數 $J$ 乘以其示性函數是 Riemann 可積的。行列式絕對值非負，故上下不等式方向不變。論證假設目標函數 Riemann 可積，以獲得任意接近的 Darboux 夾逼；任意有界函數可能沒有這種夾逼，本定理並不斷言它們的拉回可積。
6. 逆映射為 $(x,y,z)\mapsto(x,y,z-x^2-y^2)$，在整個 $\mathbb R^3$ 上光滑。三角導數矩陣的行列式為一；立方體是該開定義域內的緊 Jordan 集。其像為曲面夾層 $0\le x,y\le1$、$x^2+y^2\le z\le x^2+y^2+1$，體積為一。變換後的被積函數為 $w+u^2+v^2$，其立方體積分為 $1/2+1/3+1/3=7/6$。這說明定理的有限維形式超越平面面積。

總結

變量替換結合了 Jordan 邊界保持性和一致雙側格子體積估計。內部和因相對誤差一致而收斂，邊界層體積則趨於零。有限 Darboux 夾逼繼而將連續公式推廣到有界 Riemann 可積函數。非線性剪切、極坐標截斷和雙重覆蓋例子展示了計算時如何驗證假設。