線積分與保守向量場

兩種線積分

設分段 $C^1$ 曲線 $\mathbf r(t)$，$a\le t\le b$，描繪 $C$。對曲線上的標量密度 $f$，

$$\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\|\mathbf r'(t)\|\,dt.$$

對向量場 $\mathbf F$，定向功的積分為

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt.$$

反轉方向不改變標量弧長積分，卻會改變功積分的符號。兩式都把每次走過的路徑計算在內：繞兩圈便算兩次。

例題

同一曲線，不同積分

在 $\mathbf r(t)=(t,t^2)$、$0\le t\le1$ 上，設 $f(x,y)=x$、$\mathbf F=(y,x)$。弧長積分為

$$\int_C x\,ds=\int_0^1t\sqrt{1+4t^2}\,dt=\frac{5\sqrt5-1}{12}.$$

功積分為

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_0^1(t^2,t)\cdot(1,2t)\,dt=1.$$

兩者量度不同的量，不能互相替代。

勢函數與路徑無關性

定義

保守向量場

若定義域上存在$C^1$ 標量勢函數 $\phi$，使 $\mathbf F=\nabla\phi$，則稱向量場 $\mathbf F$ 為保守場。

定理

線積分基本定理

若 $C$ 是由 $A$ 到 $B$ 的分段 $C^1$ 曲線，$\phi$ 在包含 $C$ 的開鄰域上屬 $C^1$，且在那裏 $\mathbf F=\nabla\phi$，則

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\phi(B)-\phi(A).$$

特別地，該鄰域內每條分段 $C^1$ 閉曲線的積分為零，且這類積分只依賴端點。

證明

沿路徑應用鏈式法則

在每段光滑曲線上，$\nabla\phi(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)=\frac{d}{dt}\phi(\mathbf r(t))$。積分並把各段相加，中間端點的貢獻互相抵消。

反過來，若 $\mathbf F$ 在路徑連通開定義域上連續，且沿分段 $C^1$ 路徑的積分與路徑無關，則從固定基點積分可定義 $C^1$ 勢函數。對 $C^1$ 平面向量場 $(P,Q)$，有勢函數必有 $P_y=Q_x$。在單連通開定義域及標準假設下，這等式亦是充分條件；若缺少定義域條件，它只是局部判別。

證明

由路徑無關構造勢函數

設 $\Omega\subset\mathbb R^m$ 非空、開且路徑連通，$F:\Omega\to\mathbb R^m$ 連續。從基點可由折線路徑到達的點構成 $\Omega$ 的相對開子集：取包含在 $\Omega$ 內的小球，便可追加一條線段。其補集也相對開，否則該小球內的一個可達點會使球心也可達。由連通性，每點都可達；折線路徑屬於分段 $C^1$ 路徑。

固定 $x_0\in\Omega$，以任意這類從 $x_0$ 到 $x$ 的路徑上 $F$ 的積分定義 $\phi(x)$。路徑無關使此數唯一。對 $x\in\Omega$，取完全包含在 $\Omega$ 內的鄰域小球。設 $e_i$ 為第 $i$ 個座標向量；當 $h$ 充分小時，追加座標線段可得

$$\phi(x+he_i)-\phi(x)=\int_0^h F_i(x+te_i)\,dt.$$

除以 $h\ne0$ 後，連續性使左右兩側的 $h\to0$ 極限均為 $F_i(x)$，故 $\partial_i\phi(x)=F_i(x)$。因 $F$ 連續，這些偏導數也連續，所以 $\phi$ 屬 $C^1$ 且 $\nabla\phi=F$。這個逆命題不要求 $F$ 可微。若 $F$ 屬 $C^1$，則勢函數屬 $C^2$；在平面上，混合偏導相等給出 $P_y=Q_x$。

這個論證並未證明零旋度判據的完整單連通版本：還必須先證明該向量場的路徑積分與路徑無關。向量場補充篇完整證明了具體的星形定義域充分條件，並明確保留正則性假設。

例題

有洞定義域中的零旋度場

在 $\mathbb R^2\setminus\{0\}$，$\mathbf F=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ 滿足 $Q_x-P_y=0$。但在逆時針單位圓 $\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t)$、$0\le t\le2\pi$ 上，積分為 $\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi$。因此在去掉原點的平面上不存在全局單值勢函數。缺少原點是關鍵；該向量場在原點無定義。

方法比較

對任意向量場或曲線，可直接參數化並注意方向。有勢函數時，可把功化為端點差。旋度測試只有在檢查定義域拓撲及可微性後，才可用來幫助尋找勢函數。標量密度用 $ds$，不是 $d\mathbf r$。

練習

1. 沿任意分段 $C^1$ 路徑從 $(0,0)$ 到 $(2,1)$，計算 $\int_C(x,y)\cdot d\mathbf r$。
2. 求從 $(0,0)$ 到 $(3,4)$ 的線段上 $\int_C1\,ds$。
3. $(2xy,x^2+1)$ 在 $\mathbb R^2$ 上是否保守？求勢函數及從 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ 的積分。
4. 若反向走過一條定向路徑，功積分如何改變？

詳解

1. 勢函數可取 $\phi=(x^2+y^2)/2$，故積分為 $\phi(2,1)-\phi(0,0)=5/2$。
2. 它是弧長，即 $5$。
3. 取 $\phi=x^2y+y$，其梯度正是所給向量場。積分為 $\phi(1,2)-\phi(0,0)=4$。
4. 反向參數化 $\tilde{\mathbf r}(t)=\mathbf r(a+b-t)$。其導數是原導數在反向參數值的相反數；變數替換後得到原積分的相反數。

總結

標量線積分沿長度累加；向量線積分記錄定向功。勢函數可把路徑計算化為端點差，但局部導數測試本身不能消除全局定義域障礙。