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章節 1
多重積分
多重積分
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變數替換與雅可比行列式
同時變換積分區域與面積比例，注意重複覆蓋及方向。
章節 2
積分基礎與應用深化
積分基礎與應用深化
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二重積分深化：Darboux 構造與連續情形 Fubini 定理證明
定義矩形積分，證明連續函數可積及積分次序定理，並分析普通曲邊界。
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積分深化：坐標覆蓋、切片與反常積分失效
結合區域幾何、整體覆蓋和可積性選擇坐標及積分次序。
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積分應用：質量、質心、轉動慣量與曲面面積
從密度建立質量和力矩，區分曲面面積與通量，並檢驗單位和對稱性。
章節 3
Jordan 與換元定理證明鏈
Jordan 與換元定理證明鏈
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變量替換的基礎：Jordan 覆蓋與雙側小立方體體積估計
推導邊界的有限覆蓋估計，以及小立方體經變換後體積的一致雙側估計。
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C¹ 變量替換：有限維 Jordan/Riemann 證明
證明緊 Jordan 區域與有界 Riemann 可積函數的非線性行列式公式，並明確覆蓋和邊界條件。
章節 4
線積分、曲面積分與向量積分定理
線積分、曲面積分與向量積分定理
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斯托克斯定理與散度定理
在相容方向下，把環流連結旋度，並把閉曲面通量連結散度。
章節 5
證明、方向與定義域障礙
證明、方向與定義域障礙
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向量場、梯度、散度與旋度
建立向量微分算子，並在明確的正則性和定義域假設下檢驗勢函數。
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Green、參數化 Stokes 與切片散度定理的證明
在明確正則區域類上建立積分恆等式，並追蹤定向與內部邊界抵消。
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定向、空腔與奇異向量場綜合
按幾何與定向選擇積分定理，並在變換邊界積分前排除奇異點。