學習目標與模型假設
將體密度或面密度轉化為質量和力矩，計算加權質心，並區分標量曲面面積與向量通量。以下模型都是假設的數學例子。密度非負且可積；質心公式還要求總質量為正。
對具有體密度 ρ \rho ρ E E E M = ∭ E ρ d V M=\iiint_E\rho\,dV M = ∭ E ρ d V x ‾ = M − 1 ∭ E x ρ d V \overline x=M^{-1}\iiint_E x\rho\,dV x = M − 1 ∭ E x ρ d V z z z I z = ∭ E ( x 2 + y 2 ) ρ d V I_z=\iiint_E(x^2+y^2)\rho\,dV I z = ∭ E ( x 2 + y 2 ) ρ d V x 2 + y 2 x^2+y^2 x 2 + y 2
對平面薄片，將 d V dV d V d A dA d A d S dS d S
1. 加權三角形的中心不一定是均勻質心
設 L > 0 L>0 L > 0 D = { x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ L } D=\{x\ge0,y\ge0,x+y\le L\} D = { x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ L } ρ ( x , y ) = κ ( x + y ) \rho(x,y)=\kappa(x+y) ρ ( x , y ) = κ ( x + y ) κ > 0 \kappa>0 κ > 0 κ \kappa κ ρ \rho ρ
M = κ ∫ 0 L ∫ 0 L − x ( x + y ) d y d x = κ L 3 3 . M=\kappa\int_0^L\int_0^{L-x}(x+y)\,dy\,dx=\frac{\kappa L^3}{3}. M = κ ∫ 0 L ∫ 0 L − x ( x + y ) d y d x = 3 κ L 3 . x x x
∬ D x ρ ( x , y ) d A = κ ∫ 0 L [ x 2 ( L − x ) + x ( L − x ) 2 2 ] d x = κ L 4 8 . \iint_Dx\rho(x,y)\,dA
=\kappa\int_0^L\left[x^2(L-x)+\frac{x(L-x)^2}{2}\right]dx=\frac{\kappa L^4}{8}. ∬ D x ρ ( x , y ) d A = κ ∫ 0 L [ x 2 ( L − x ) + 2 x ( L − x ) 2 ] d x = 8 κ L 4 . 交換坐標的對稱性給出相同的 y y y x ‾ = y ‾ = 3 L / 8 \overline x=\overline y=3L/8 x = y = 3 L /8 ( L / 3 , L / 3 ) (L/3,L/3) ( L /3 , L /3 )
結果滿足 x ‾ , y ‾ ≥ 0 \overline x,\overline y\ge0 x , y ≥ 0 x ‾ + y ‾ = 3 L / 4 ≤ L \overline x+\overline y=3L/4\le L x + y = 3 L /4 ≤ L x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ L x\ge0,y\ge0,x+y\le L x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ L ρ / M \rho/M ρ / M
2. 在利用徑向對稱性前推導球坐標縮放
使用坐標
T ( r , ϕ , θ ) = ( r sin ϕ cos θ , r sin ϕ sin θ , r cos ϕ ) , T(r,\phi,\theta)=(r\sin\phi\cos\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\phi), T ( r , ϕ , θ ) = ( r sin ϕ cos θ , r sin ϕ sin θ , r cos ϕ ) , 其中 ϕ \phi ϕ z z z 0 ≤ ϕ ≤ π 0\le\phi\le\pi 0 ≤ ϕ ≤ π θ \theta θ 1 , r , r sin ϕ 1,r,r\sin\phi 1 , r , r sin ϕ r 2 sin ϕ r^2\sin\phi r 2 sin ϕ
d V = r 2 sin ϕ d r d ϕ d θ . dV=r^2\sin\phi\,dr\,d\phi\,d\theta. d V = r 2 sin ϕ d r d ϕ d θ . 明確核算行列式：按 ( r , ϕ , θ ) (r,\phi,\theta) ( r , ϕ , θ )
T r = ( sin ϕ cos θ , sin ϕ sin θ , cos ϕ ) , T_r=(\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\phi), T r = ( sin ϕ cos θ , sin ϕ sin θ , cos ϕ ) , T ϕ = ( r cos ϕ cos θ , r cos ϕ sin θ , − r sin ϕ ) , T θ = ( − r sin ϕ sin θ , r sin ϕ cos θ , 0 ) . T_\phi=(r\cos\phi\cos\theta,r\cos\phi\sin\theta,-r\sin\phi),\qquad
T_\theta=(-r\sin\phi\sin\theta,r\sin\phi\cos\theta,0). T ϕ = ( r cos ϕ cos θ , r cos ϕ sin θ , − r sin ϕ ) , T θ = ( − r sin ϕ sin θ , r sin ϕ cos θ , 0 ) . 當 r > 0 r>0 r > 0 0 < ϕ < π 0<\phi<\pi 0 < ϕ < π r 2 sin ϕ > 0 r^2\sin\phi>0 r 2 sin ϕ > 0 ( 0 , ∞ ) × ( 0 , π ) × ( − π , π ) (0,\infty)\times(0,\pi)\times(-\pi,\pi) ( 0 , ∞ ) × ( 0 , π ) × ( − π , π ) r = x 2 + y 2 + z 2 r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} r = x 2 + y 2 + z 2 ϕ = arccos ( z / r ) \phi=\arccos(z/r) ϕ = arccos ( z / r )
還須獨立於待證明公式估計遺漏的目標區域。半徑 ε \varepsilon ε 8 ε 3 8\varepsilon^3 8 ε 3 R R R δ < π / 2 \delta<\pi/2 δ < π /2 ∣ x ∣ , ∣ y ∣ ≤ R sin δ |x|,|y|\le R\sin\delta ∣ x ∣ , ∣ y ∣ ≤ R sin δ ∣ z ∣ ≤ R |z|\le R ∣ z ∣ ≤ R 8 R 3 sin 2 δ 8R^3\sin^2\delta 8 R 3 sin 2 δ 2 η 2\eta 2 η 0 < η < π / 2 0<\eta<\pi/2 0 < η < π /2 ∣ x ∣ , ∣ z ∣ ≤ R |x|,|z|\le R ∣ x ∣ , ∣ z ∣ ≤ R ∣ y ∣ ≤ R sin η |y|\le R\sin\eta ∣ y ∣ ≤ R sin η 8 R 3 sin η 8R^3\sin\eta 8 R 3 sin η
原點、極點和角度接縫是坐標邊界的例外。對球上有界連續被積函數，在無奇點的截斷參數區域上計算並取極限；被省略的參數積分界趨於零。對於有界被積函數，零附近的徑向因子由常數乘 ∫ 0 ε r 2 d r = ε 3 / 3 \int_0^\varepsilon r^2dr=\varepsilon^3/3 ∫ 0 ε r 2 d r = ε 3 /3 ∫ 0 ε sin ϕ d ϕ = 1 − cos ε → 0 \int_0^\varepsilon\sin\phi\,d\phi=1-\cos\varepsilon\to0 ∫ 0 ε sin ϕ d ϕ = 1 − cos ε → 0
對半徑為 R > 0 R>0 R > 0 ρ = k r 2 \rho=k r^2 ρ = k r 2 k > 0 k>0 k > 0
M = k ∫ 0 R r 4 d r ∫ 0 π sin ϕ d ϕ ∫ 0 2 π d θ = 4 π k R 5 5 . M=k\int_0^Rr^4dr\int_0^\pi\sin\phi\,d\phi\int_0^{2\pi}d\theta=\frac{4\pi kR^5}{5}. M = k ∫ 0 R r 4 d r ∫ 0 π sin ϕ d ϕ ∫ 0 2 π d θ = 5 4 π k R 5 . 反射對稱使每個一階矩為零，所以中心為原點。對於轉動慣量，到 z z z r 2 sin 2 ϕ r^2\sin^2\phi r 2 sin 2 ϕ r 2 r^2 r 2
I z = k ∫ 0 R r 6 d r ∫ 0 π sin 3 ϕ d ϕ ∫ 0 2 π d θ = 8 π k R 7 21 , I_z=k\int_0^Rr^6dr\int_0^\pi\sin^3\phi\,d\phi\int_0^{2\pi}d\theta
=\frac{8\pi kR^7}{21}, I z = k ∫ 0 R r 6 d r ∫ 0 π sin 3 ϕ d ϕ ∫ 0 2 π d θ = 21 8 π k R 7 , 其中使用了 ∫ 0 π sin 3 ϕ d ϕ = 4 / 3 \int_0^\pi\sin^3\phi\,d\phi=4/3 ∫ 0 π sin 3 ϕ d ϕ = 4/3 I z / ( M R 2 ) = 10 / 21 I_z/(MR^2)=10/21 I z / ( M R 2 ) = 10/21 k k k r 2 r^2 r 2
3. 曲面面積包含斜率，不只是投影面積
對平面區域上的圖像 z = h ( x , y ) z=h(x,y) z = h ( x , y ) h ∈ C 1 h\in C^1 h ∈ C 1 r ( x , y ) = ( x , y , h ( x , y ) ) r(x,y)=(x,y,h(x,y)) r ( x , y ) = ( x , y , h ( x , y )) ( − h x , − h y , 1 ) (-h_x,-h_y,1) ( − h x , − h y , 1 )
d S = 1 + h x 2 + h y 2 d x d y . dS=\sqrt{1+h_x^2+h_y^2}\,dx\,dy. d S = 1 + h x 2 + h y 2 d x d y . 因此常數面密度 σ \sigma σ σ 1 + h x 2 + h y 2 \sigma\sqrt{1+h_x^2+h_y^2} σ 1 + h x 2 + h y 2 σ \sigma σ
對半徑為 R R R h = x 2 + y 2 h=x^2+y^2 h = x 2 + y 2
A = 2 π ∫ 0 R r 1 + 4 r 2 d r = π 6 [ ( 1 + 4 R 2 ) 3 / 2 − 1 ] . A=2\pi\int_0^Rr\sqrt{1+4r^2}\,dr
=\frac\pi6[(1+4R^2)^{3/2}-1]. A = 2 π ∫ 0 R r 1 + 4 r 2 d r = 6 π [( 1 + 4 R 2 ) 3/2 − 1 ] . 相同圖像上常向量場 ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) ( 0 , 0 , 1 ) ∬ D 1 d A = π R 2 \iint_D1\,dA=\pi R^2 ∬ D 1 d A = π R 2
4. 通過真實極限處理奇異頂點
圓錐圖像 h ( x , y ) = a x 2 + y 2 h(x,y)=a\sqrt{x^2+y^2} h ( x , y ) = a x 2 + y 2 a > 0 a>0 a > 0 h x 2 + h y 2 = a 2 h_x^2+h_y^2=a^2 h x 2 + h y 2 = a 2 ε ≤ r ≤ R \varepsilon\le r\le R ε ≤ r ≤ R π ( R 2 − ε 2 ) 1 + a 2 \pi(R^2-\varepsilon^2)\sqrt{1+a^2} π ( R 2 − ε 2 ) 1 + a 2 ε ↓ 0 \varepsilon\downarrow0 ε ↓ 0 π R 2 1 + a 2 \pi R^2\sqrt{1+a^2} π R 2 1 + a 2
這個結論不能僅靠“一點的面積為零”。半徑 δ < ε \delta<\varepsilon δ < ε π ε 2 1 + a 2 \pi\varepsilon^2\sqrt{1+a^2} π ε 2 1 + a 2
5. 對稱性、界和量綱是獨立檢查
若 E E E x ↦ − x x\mapsto-x x ↦ − x x ρ x\rho x ρ
對半徑為 R R R 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ R 2 0\le x^2+y^2\le R^2 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ R 2 0 ≤ I z ≤ M R 2 0\le I_z\le MR^2 0 ≤ I z ≤ M R 2
分層應用與建模練習
加權中心。 重算三角形的質量和一階矩，再只用非負加權證明所得中心必滿足三角形不等式。徑向轉動慣量。 對球密度 k r 2 kr^2 k r 2 I z I_z I z r r r r 2 r^2 r 2 坐標約定。 指出球坐標公式中的極角是哪一個，並說明不同角度約定如何改變所寫正弦因子和坐標範圍。曲面與投影。 對圖像上的均勻面密度，指出投影上的等效密度。比較拋物面的標量面積與恆定竪直場的通量。奇點檢查。 解釋為甚麼圓錐頂點不使算出的極限面積失效，並寫出僅憑“忽略該點”而缺失的估計。積分界。 對支撐在半徑為 R R R 0 ≤ I z ≤ M R 2 0\le I_z\le MR^2 0 ≤ I z ≤ M R 2
完整解答
質量為 κ L 3 / 3 \kappa L^3/3 κ L 3 /3 κ L 4 / 8 \kappa L^4/8 κ L 4 /8 ( 3 L / 8 , 3 L / 8 ) (3L/8,3L/8) ( 3 L /8 , 3 L /8 ) x , y ≥ 0 x,y\ge0 x , y ≥ 0 x + y ≤ L x+y\le L x + y ≤ L ρ / M ≥ 0 \rho/M\ge0 ρ / M ≥ 0 x ‾ , y ‾ ≥ 0 \overline x,\overline y\ge0 x , y ≥ 0 x ‾ + y ‾ ≤ L \overline x+\overline y\le L x + y ≤ L
體積元貢獻 r 2 sin ϕ r^2\sin\phi r 2 sin ϕ k r 2 kr^2 k r 2 r 2 sin 2 ϕ r^2\sin^2\phi r 2 sin 2 ϕ k r 6 sin 3 ϕ kr^6\sin^3\phi k r 6 sin 3 ϕ R 7 / 7 R^7/7 R 7 /7 4 / 3 4/3 4/3 2 π 2\pi 2 π 8 π k R 7 / 21 8\pi kR^7/21 8 π k R 7 /21 r 2 r^2 r 2 z z z
此處 ϕ ∈ [ 0 , π ] \phi\in[0,\pi] ϕ ∈ [ 0 , π ] z z z θ \theta θ [ − π / 2 , π / 2 ] [-\pi/2,\pi/2] [ − π /2 , π /2 ]
投影密度為 σ 1 + h x 2 + h y 2 \sigma\sqrt{1+h_x^2+h_y^2} σ 1 + h x 2 + h y 2 π [ ( 1 + 4 R 2 ) 3 / 2 − 1 ] / 6 \pi[(1+4R^2)^{3/2}-1]/6 π [( 1 + 4 R 2 ) 3/2 − 1 ] /6 π R 2 \pi R^2 π R 2 R > 0 R>0 R > 0
曲面在避開頂點的每個圓環上正則，其精確面積公式有有限極限。遺漏面積的貢獻由常數乘 ε 2 \varepsilon^2 ε 2
將 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ R 2 0\le x^2+y^2\le R^2 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ R 2 10 / 21 10/21 10/21 s > 0 s>0 s > 0 s 3 s^3 s 3 s s s s 5 s^5 s 5 ρ = k r 2 \rho=kr^2 ρ = k r 2 k k k s s s s 2 s^2 s 2 s 5 s^5 s 5 s 7 s^7 s 7
總結與術語
質心 是按質量加權的位置，而不只是幾何中點。轉動慣量 以到軸的垂直距離平方加權質量。面密度 乘真實曲面面積，而通量 使用有定向的法向分量。奇異坐標極限 需要鄰域的定量估計。量綱、對稱性、正性和縮放規律是每個積分應用的重要檢查。
