二重積分深化：Darboux 構造與連續情形 Fubini 定理證明

學習目標與定理的確切適用類

通過矩形上和與下和定義正常二重積分，證明連續函數可積，並證明緊矩形上連續函數的 Fubini 定理。接著研究普通非矩形區域所需的額外邊界論證。

設 $R=[a,b]\times[c,d]$，其中 $a<b,c<d$。網格由每個坐標區間的劃分組成。其單元是內部互不相交的閉子矩形。對有界函數 $f:R\to\mathbb R$，設 $m_{ij},M_{ij}$ 分別為其在單元 $R_{ij}$ 上的下確界和上確界，該單元面積為 $\Delta A_{ij}$。定義 $L(f,P)=\sum m_{ij}\Delta A_{ij}$ 和 $U(f,P)=\sum M_{ij}\Delta A_{ij}$。

1. 定義及有用判據

細化網格會提高下和、降低上和。對任意兩個網格，其共同細化證明每個下和都不大於每個上和。因此下積分 $\underline I=\sup_P L(f,P)$ 不超過上積分 $\overline I=\inf_P U(f,P)$；由有界性兩者均有限。當這兩個數相等時，函數 Riemann 可積，其共同值記為 $\iint_R f$。

定理：矩形 Darboux 判據

有界函數可積，當且僅當對每個 $\varepsilon>0$，存在網格使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

證明。 若上下積分均等於 $I$，選取大於 $I-\varepsilon/2$ 的下和與小於 $I+\varepsilon/2$ 的上和，再共同細化兩個網格。新的差小於 epsilon。反之，任何這樣的網格都給出 $0\le\overline I-\underline I\le U-L$。差可任意小迫使上下積分相等。證明使用二維上確界論證，並未假設 Fubini 定理。

定理：連續性蘊含正常可積性

若 $f$ 在 $R$ 上連續，則在其上有界且一致連續。記 $A=(b-a)(d-c)>0$。選取距離尺度使輸出差小於 $\varepsilon/(2A)$。充分細的網格使每個單元直徑小於該尺度，因而每個振幅 $M_{ij}-m_{ij}$ 至多為 $\varepsilon/(2A)$。所以 $U-L\le\varepsilon/2<\varepsilon$，可積性得證。

對任意標記點 $\xi_{ij}\in R_{ij}$，相應有限和介於網格下和與上和之間。因此只要網格上下和之差小，其帶標記近似就接近積分。這是定義的結果，而非新的極限約定。

2. 證明連續矩形情形的 Fubini 定理

定理

對 $R$ 上的連續函數 $f$，

$$\iint_R f(x,y)\,dA =\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)\,dy\right)dx =\int_c^d\left(\int_a^bf(x,y)\,dx\right)dy.$$

首先證明累次積分存在。 每個一元截面均連續且可積。令 $g(x)=\int_c^df(x,y)dy$。$f$ 的一致連續性給出

$$|g(x)-g(x_0)|\le(d-c)\sup_{y\in[c,d]}|f(x,y)-f(x_0,y)|\longrightarrow0.$$

因此 $g$ 連續且可積。交換內層坐標所得函數同理連續。

再用二維上下和夾住累次積分。 在每個單元上，$m_{ij}\le f(x,y)\le M_{ij}$。固定第 $i$ 個條帶內的 $x$，在各 $y$ 區間上積分這些界並相加：

$$\sum_jm_{ij}\Delta y_j\le g(x)\le\sum_jM_{ij}\Delta y_j.$$

在該 $x$ 條帶上積分，再對 $i$ 求和，得到 $L(f,P)\le\int_a^bg(x)dx\le U(f,P)$。二重積分也介於同樣的上下界之間。存在差任意小的網格，因而迫使兩者相等。交換坐標重複論證得到第二個等式。這裡沒有交換未經證明的無限重和次序；只使用有限和、普通積分不等式和 Darboux 判據。

因此可分離連續被積函數 $f(x,y)=p(x)q(y)$ 的積分為 $(\int p)(\int q)$。這是在所述假設下的積分恆等式，不是對未指定實驗中概率獨立性的斷言。

3. 普通曲邊界為何不破壞正常可積性

設 $D=\{a\le x\le b,\ell(x)\le y\le u(x)\}$，$\ell\le u$ 連續，$f$ 在 $D$ 上連續。此集是緊集。取外接矩形 $R=[a,b]\times[c,d]$，使 $c\le\ell(x)\le u(x)\le d$。夾取映射

$$p(x,y)=\bigl(x,\min(u(x),\max(\ell(x),y))\bigr)$$

連續，把 $R$ 映入 $D$，並固定 $D$ 的每點。因此 $\widetilde f=f\circ p$ 是 $R$ 上的連續延拓。在下面的估計中，暫以 $f$ 表示這個延拓，再把 $D$ 外的值置為零。這個零延拓可能在邊界跳躍，不能聲稱它處處連續。

應轉而控制邊界單元。在竪直網格條帶內，一致連續性使任一邊界圖像的振幅可任意小。與該圖像相交的單元可由一個矩形覆蓋，其高度至多為該振幅加上兩個竪直網格寬度。對條帶寬度求和可知，當兩個網格寬度都趨於零時，這些圖像邊界單元的總面積趨於零。兩條竪直端邊界同樣可由總面積任意小的條帶覆蓋。

若 $|f|\le M$，邊界單元對上下和之差的貢獻至多為其總面積乘 $2M$。遠離邊界的單元完全位於區域內或區域外：內部由 $f$ 的一致連續性使振幅小，外部函數為零。先使邊界面積小，再使普通單元振幅小，總差便可任意小，證明零延拓可積，因而 $f$ 在 $D$ 上可積。

相同估計表明該積分為 $\int_a^b\int_{\ell(x)}^{u(x)}f(x,y)dydx$：在每個條帶上，改變竪直端點及 $x$ 輸入只會使內積分發生一致的小變化，而趨零的邊界單元面積控制端點。具體地，記外接矩形的竪直跨度為 $H$，

$$|g(x)-g(x_0)|\le H\sup_y|f(x,y)-f(x_0,y)|+M(|\ell(x)-\ell(x_0)|+|u(x)-u(x_0)|),$$

因此內積分函數連續。排除已受控制的邊界單元後，可使用有限條帶 Darboux 夾逼。這證明常見連續簡單區域的情況；更一般的區域或反常版本需要各自假設，不能從此證明自動推出。

4. 定量網格與有界不連續性

若 $f$ 在單位正方形上以 $K$ 為 Lipschitz 常數，則 $n$ 乘 $n$ 網格的每個單元振幅至多為 $K\sqrt2/n$。總面積為一，故 $U-L\le K\sqrt2/n$。因此可以根據目標誤差選擇網格，而不是靠試驗。對 $f=x+y$，精確差為 $2/n$，與 $K=\sqrt2$ 一致。

將有界函數在有限個點處改變，積分不變：以總面積任意小的網格單元覆蓋這些點，並用有限的統一絕對值界控制貢獻。但單點附近的無界奇異行為不在此論證範圍內。坐標與切片拓展中的有理反常反例有不相等的累次積分值，正是因為所需的有界性／絕對可積性控制失效。

分層構造與證明練習

1. 定義。 證明共同細化網格使每個下和不超過每個上和。取實數上確界和下確界之前為何需要有界性？
2. 先存在，再交換。 在 Fubini 證明中，解釋為甚麼僅有截面可積性不足以保證外層積分存在。給出能保證存在的一致連續性估計。
3. 誤差證明。 對單位正方形上的 Lipschitz 函數，給出使上下和之差小於 epsilon 的充分整數網格大小，並檢驗 $f=x+y$ 的精確差。
4. 反例。 在單位正方形上，當兩個坐標均為有理數時令 $f=1$，否則為零。證明函數有界但非 Riemann 可積。連續 Fubini 的假設成立嗎？
5. 邊界邏輯。 為甚麼跨過曲邊界的零延拓一般不連續？解釋邊界單元面積估計如何修復正常可積性證明。
6. 有限點修改。 證明改變連續矩形被積函數的有限個點不會改變二重積分。解釋為甚麼不能用同一句話忽略去心鄰域內的無界奇異性。

完整解答

1. 將所有坐標劃分點合併得到共同網格。細化提高第一個下和並降低第二個上和，而共同網格上每個單元的下確界不超過其上確界。因此對任意網格有 $L(f,P)\le U(f,Q)$。$|f|$ 的有限界將每個和的絕對值控制在該界乘矩形面積以內，保證定義上下積分所用的極值是有限實數。
2. 外層被積函數是截面積分 $g(x)$；任意一組可積截面不一定產生可積的外層函數。這裡 $|g(x)-g(x_0)|\le(d-c)\sup_y|f(x,y)-f(x_0,y)|$，緊集上的一致連續性使右側上確界趨於零。因此外層函數連續，從而在斷言相等之前先證明其可積性。
3. 取整數 $n>K\sqrt2/\varepsilon$；若 $K=0$，任何網格的差都為零。對 $x+y$，每個均勻單元的值域寬度為 $2/n$，面積為 $1/n^2$。對 $n^2$ 個單元求和，得到精確差 $2/n$，與取 $K=\sqrt2$ 時給出的界一致。
4. 每個非退化單元都包含一對有理坐標，所以上確界為一；也包含至少一個坐標無理的點，故下確界為零。每個網格上和都為一、下和都為零，判據不成立。函數不連續；固定有理 $x$ 時，其 $y$ 截面是不可積的有理數指示函數，因此在嘗試外層積分前就看到了存在性問題。
5. 內部非零邊界值跨越邊界趨近外部零值，可能造成跳躍。證明將所有此類跳躍限制在總面積可任意小的邊界單元中，其上下和之差貢獻至多為該面積乘 $2M$。其他地方由普通一致連續性或零值控制振幅，兩個因素都必不可少。
6. 差函數有界，且僅在有限個點非零。給定任意正面積目標，選取足夠細的坐標區間圍住這些點，使受影響單元的有限並的總面積小於目標。上下積分的絕對值至多為差函數的界乘該面積，迫使積分為零。無界奇異性在縮小的鄰域上沒有共同界 $M$，故該估計不適用，不能僅憑異常點的面積得出結論。

總結與術語

矩形 Darboux 積分由上積分與下積分相等定義。共同細化用於比較不同網格。邊界單元估計控制普通區域邊界附近的有界跳躍。連續 Fubini 定理在證明二重積分與累次積分均存在後得到。反常奇異性與更一般的區域需要額外假設，不能由有限矩形證明自動推廣。