Green、參數化 Stokes 與切片散度定理的證明

學習目標與適用範圍

在精確規定的區域類上證明積分定理，推導 Stokes 定理背後的拉回恆等式，並追蹤曲面片拼接抵消時的定向。前面的計算處理簡單區域；最後的補充以局部化及明確的角點、稜邊估計，證明所列的有限正則邊界類。這不代表已覆蓋某院校的整個教學大綱。

在兩個坐標方向均為簡單區域上的 Green 定理

假設有界區域 $D$ 既可寫為 $a\le x\le b$、$g_1(x)\le y\le g_2(x)$，也可寫為 $c\le y\le d$、$h_1(y)\le x\le h_2(y)$；上下界有序且連續，圖像具有格林證明所述的有限個分段 $C^1$ 弧參數化，邊界取正向。設 $P,Q$ 在其閉包的鄰域上為 $C^1$，則

$$\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA.$$

定理

格林定理：環流形式

設 $D$ 是有界平面區域，其邊界 $C$ 由有限條互不相交的分段光滑簡單閉曲線組成，相對於 $D$ 取正向。假設 $P,Q$ 在 $\overline D$ 的開鄰域上屬 $C^1$。則

$$\oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA.$$

正向指沿邊界行走時區域保持在左側：外邊界逆時針，孔洞邊界順時針。

證明

雙向簡單區域類的完整證明

先假設 $D$ 同時有兩種描述：$a\le x\le b$、$g_1(x)\le y\le g_2(x)$，以及 $c\le y\le d$、$h_1(y)\le x\le h_2(y)$；邊界函數連續、上下界有序，且圖像給出了有限個分段 $C^1$ 弧參數化，邊界取所述正向。由微積分基本定理，

$$-\iint_D P_y\,dA=\int_a^b[P(x,g_1(x))-P(x,g_2(x))]dx.$$

下邊界從左到右、上邊界從右到左，故這正是它們的 $P\,dx$ 貢獻；垂直邊滿足 $dx=0$。同理，

$$\iint_D Q_x\,dA=\int_c^d[Q(h_2(y),y)-Q(h_1(y),y)]dy.$$

右邊界向上、左邊界向下，水平邊滿足 $dy=0$。相加即證明此區域類的格林公式。如果具體給出了分成有限個這類區塊的分割，且內部互不重疊、分段光滑邊界弧相互匹配，就把各塊恆等式相加；每條內邊界的兩個誘導方向相反，因而抵消。

只要連續邊界圖像已給出有限個分段 $C^1$ 弧參數化，就不必要求圖函數在投影端點有有限導數。所需換參數論證如下：對下邊界令 $H(x)=\int_a^xP(s,g_1(s))ds$，其被積函數連續。沿 $x=x(t)$ 遞增的定向正則弧，鏈式法則給出 $dH(x(t))/dt=P(x(t),g_1(x(t)))x'(t)$。由微積分基本定理，此弧的 $P\,dx$ 積分等於 $\int_a^bP(x,g_1(x))dx$，即使反過來的圖參數在端點具有豎直切線。反向行走改變符號；上邊界及兩個 $Q\,dy$ 圖像也同理。這就證明了上面的邊界積分辨認，而未假設每個圖函數在端點有界導數。

特別地，圓盤 $x^2+y^2\le R^2$、$R>0$ 的界為連續函數 $g_{1,2}(x)=\mp\sqrt{R^2-x^2}$，水平描述同理。半圓可用正則角參數化，所以圓盤屬於已證明的區域類。對圓環 $1\le x^2+y^2\le4$，分成四個象限塊：第一象限的垂直描述為 $0\le x\le2$、$\sqrt{\max(0,1-x^2)}\le y\le\sqrt{4-x^2}$，交換座標便得水平描述。這些界連續，邊界弧為分段 $C^1$；反射後的區塊具有匹配的內邊界，故所述有限抵消推廣也包括這個圓環。

這證明了雙向簡單區域及上述已給定有限分割上的公式。定理陳述中的一般區域類還需要額外的分割或近似結果；僅憑此計算，並未證明每個這類區域都存在所需的有限分割。

正則參數化曲面片上的 Stokes 定理

設 $D$ 緊，$r$ 在 $D$ 的開鄰域上是 $C^2$ 參數化，在內部一對一，且 $r_s\times r_t\ne0$。假設 $D$ 滿足剛證明的 Green 性質，其分段光滑邊界映到曲面邊界時除端點外不重疊。設 $F$ 在像的鄰域內為 $C^1$。曲面以 $r_s\times r_t$ 定向，邊界由 $D$ 的正向確定。

令 $A(s,t)=F(r)\cdot r_s$、$B(s,t)=F(r)\cdot r_t$。鏈式法則與 $r_{st},r_{ts}$ 相等給出

$$B_s-A_t=(DF(r)r_s)\cdot r_t-(DF(r)r_t)\cdot r_s =(\operatorname{curl}F)(r)\cdot(r_s\times r_t).$$

最後一個等式可展開三個旋度分量與叉積得到。邊界線積分拉回為 $\oint_{\partial D}A\,ds+B\,dt$。Green 定理將它化為 $B_s-A_t$ 的積分，恰為有定向的旋度曲面積分，從而證明該曲面片上的 Stokes 定理。對有限個相容曲面片，將恆等式相加並抵消成對的內部邊界曲線；要使這些定向相反，法向必須相容。

三維證明所用的切片積分基礎

先明確散度證明需要的積分事實。設 $D\subset\mathbb R^2$ 緊且 Jordan 可測，$a\le b$ 為 $D$ 上的連續實函數，並令

$$E=\{(x,q):q\in D,\ a(q)\le x\le b(q)\},\qquad q=(y,z).$$

若 $f$ 在包含 $E$ 的長方體上連續，則

$$\iiint_E f(x,q)\,dx\,dq =\iint_D\left(\int_{a(q)}^{b(q)}f(x,q)\,dx\right)dq.$$

先證明區域 Jordan 可測。 $D$ 緊且兩個界函數連續，故 $E$ 緊。其邊界包含在兩個圖面及 $\partial D$ 上方的豎直側壁中。對任一圖面，在底面用細正方形網格覆蓋：每個與 $D$ 相交的底面格中，一致連續性把高度變化控制在同一個 $\omega(h)\to0$ 以內；以高度至多 $\omega(h)+2h$ 的薄層覆蓋圖面值，總覆蓋體積至多為固定底面外接矩形面積乘這個高度。因此兩個圖面均為 Jordan 零集。對側壁，以總面積可任意小的有限矩形覆蓋 $\partial D$，再與固定的有界 $x$ 區間取積，即得任意小總體積覆蓋。由 Jordan 邊界判據，$E$ 可測。

再證明兩側積分存在。 寫 $g(q)=\int_{a(q)}^{b(q)}f(x,q)dx$。若 $H$ 為共同區間長度，$M$ 為 $|f|$ 的界，則

$$|g(q)-g(q_0)|\le H\sup_x|f(x,q)-f(x,q_0)| +M\bigl(|a(q)-a(q_0)|+|b(q)-b(q_0)|\bigr).$$

所以 $g$ 在 $D$ 上連續。由邊界單元論證，緊 Jordan 集上的連續函數零延拓後為 Riemann 可積。這既適用於 $E$ 上的 $f$，也適用於 $D$ 上的 $g$。

最後用有限和辨認兩側的值。 在長方體內把 $f$ 在 $E$ 外置零。對由 $x$ 區間 $J_i$ 及底面格 $C_j$ 構成的矩形網格，令 $m_{ij},M_{ij}$ 為此零延拓在 $J_i\times C_j$ 上的下、上確界。對每個固定的 $q\in C_j$，沿 $x$ 積分各單元不等式得

$$\sum_i m_{ij}|J_i|\le g_0(q)\le\sum_i M_{ij}|J_i|,$$

其中 $g_0$ 在 $D$ 外為零。再對底面格積分並相加，累次積分值便位於與 $\iiint_Ef$ 相同的三維下和、上和之間。由可積性，這個差可任意小，故兩側相等；沒有預先假設三維 Fubini 交換。三維 Darboux 判據本身仍用同一有限公共加細證明：加細使下和上升、上和下降，公共網格比較任意一對和；下和的上確界等於上和的下確界，等價於可以得到任意小的差。

散度定理的場最初只在 $\overline E$ 的開鄰域 $U$ 上屬 $C^1$，未必在整個外接長方體上有定義；這並非隱藏的延拓假設。用有限個開半立方體覆蓋 $\overline E$，使對應的完整閉立方體都包含在 $U$。在每個立方體取 $C^1$ 乘積截斷函數 $\chi_i$，在半立方體上為一、完整立方體外為零。一維截斷可用 $3t^2-2t^3$ 連接常數零與一，因為兩端導數均為零；再按座標取乘積即可。於是

$$\chi=1-\prod_i(1-\chi_i)$$

在 $\overline E$ 附近為一，支集緊包含在 $U$ 內。把 $\chi F$ 在 $U$ 外零延拓。由於支集遠離 $U$ 的邊界，延拓屬於全局 $C^1$，並且在 $\overline E$ 附近，其值及所有一階導數都與 $F$ 一致。它的分量導數在外接長方體上連續，因此下面使用的 $P_x,Q_y,R_z$ 可應用已證明的切片公式。這裏並未聲稱任意不連續被積函數都有這種延拓。

每個坐標方向均為簡單立體的散度定理

設 $E$ 為緊立體，可在緊 Jordan 平面區域上描述為 $x$ 方向兩張有序、連續且分段 $C^1$ 圖像之間的區間，在 $y$ 和 $z$ 方向也可類似描述。假設相應邊界圖像公式除有限條稜邊外均適用，且 $F=(P,Q,R)$ 在其閉包附近為 $C^1$。邊界取向外定向。

還要求每個座標描述中的 $a<b$ 在投影的某個 Jordan 零集以外成立，且兩圖像在異常邊以外表示互不重疊的實際邊界面。這樣排除了投影面積為正、上下表面重合的零厚度部分。切片積分引理本身允許 $a=b$，但這種退化集合不能提供通量證明所需的兩個向外邊界面。

將 $x$ 方向的描述寫為 $a(y,z)\le x\le b(y,z)$，其投影區域為 $D_{yz}$。微積分基本定理與累次積分給出

$$\iiint_E P_x\,dV=\iint_{D_{yz}}[P(b(y,z),y,z)-P(a(y,z),y,z)]\,dy\,dz.$$

在右側圖像上，向外向量面積的 $x$ 分量為 $+dy\,dz$；在左側為 $-dy\,dz$。平行 $x$ 方向生成的側面，其法向 $x$ 分量為零。因此右邊恰是 $(P,0,0)$ 穿過邊界的通量。對其餘分量分別使用 $y$ 和 $z$ 方向描述重複論證，相加得到

$$\iiint_E\operatorname{div}F\,dV=\iint_{\partial E}F\cdot n\,dS.$$

有限個此類立體的並仍可通過匹配內部面的抵消得到結論。超出此類的更一般逼近或分解需要額外定理，不能隱藏在“抵消”一詞中。

例題：檢查長方體各面的符號

對 $[0,a]\times[0,b]\times[0,c]$ 上的 $F=(x,y,z)$，其中 $a,b,c>0$，散度為三，體積分為 $3abc$。三個坐標為零的面上通量為零。在 $x=a$ 上，通量為 $a$ 乘面積 $bc$；另外兩個相對面各貢獻 $abc$。總和為 $3abc$。如果坐標為零的面上的相應分量非零，其向外法向應帶負的坐標方向符號。

分層練習

1. 基礎。 對 $[0,2]\times[0,3]$ 上的 $P=0,Q=x$，分別計算兩邊以證明 Green 公式。
2. 核心。 用 $[0,1]^2$ 上的 $r(s,t)=(s,t,s+t)$ 計算 $r_s\times r_t$ 及與其相容的邊界方向。
3. 核心。 對單位立方體上的 $F=(x^2,0,0)$，檢查散度和直接向外通量。
4. 證明。 解釋相加曲面片公式時為何需要相反定向。若一條內部邊以相同方向走過兩次，會剩下甚麼？

完整解答

1. $Q_x=1$ 的面積積分為六。唯一非零的 $x\,dy$ 邊界積分在右邊界上，此處 $x=2$ 且 $y$ 從零增至三，故得六。左邊界有 $x=0$。
2. 切向量為 $(1,0,1)$ 和 $(0,1,1)$，叉積為 $(-1,-1,1)$。參數空間中的正向邊界次序為 $(0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(0,1)\to(0,0)$。映射這些頂點便得到相容的空間曲線方向。
3. 散度為 $2x$，其在單位立方體上的積分為一。只有面 $x=1$ 貢獻直接通量，值為一；面 $x=0$ 上場分量為零，其餘面的法向都與場垂直。
4. 反轉線積分方向會改變符號，因此只有遍歷方向相反時成對內部貢獻才相消。同方向遍歷給出該邊積分的兩倍，成為不屬於外邊界的額外項。定向一致性是代數要求，不是裝飾性記號。

總結與術語定義

拉回將空間積分寫成參數坐標中的積分。正則曲面片的切向量叉積非零。向量面積元同時包含法向方向和面積縮放。微積分基本定理證明切片通量恆等式；Green 定理與鏈式法則恆等式證明參數化 Stokes 定理。推廣到更複雜區域時，須有合理的局部化或分解；任何共享的內部邊界都必須以正確定向抵消。

超越簡單區域：精確的正則類

前面的計算已建立局部恆等式。現在補上從局部恆等式推進到一般正則邊界的論證。方法是使用可重疊的局部坐標圖及有限單位分解，不假設任意區域都可有限分割成逐坐標簡單的區塊。

對 Green 定理，設 $D$ 為有界平面開集，其邊界是有限條互不相交的簡單閉曲線之並，每條由有限個正則 $C^1$ 弧組成；每個弧在端點外仍有正則 $C^1$ 延拓。除有限個接點外，邊界局部是 $C^1$ 圖像，且 $D$ 恰位於其中一側。邊界取正向，使 $D$ 保持在左側。對 Stokes 定理，先設 $\Sigma$ 為緊、有定向的嵌入 $C^2$ 曲面，具有 $C^2$ 邊界，邊界坐標圖可正則延拓至邊界之外；更一般地，也允許在 $C^2$ 曲面參數坐標圖中具有正則 $C^1$ 邊界弧，坐標圖可正則延拓至弧的另一側，並允許有限個邊界角點，以及有限個此類曲面片之並；各片內部互不重疊、邊相互匹配，每條內邊恰出現兩次且誘導方向相反。對散度定理，設 $E$ 為有界開立體，其緊邊界由有限個具有正則延拓的緊正則 $C^1$ 面組成；各面僅沿有限條有限長的正則 $C^1$ 稜邊弧及頂點相交。除稜邊與頂點外，邊界局部是 $C^1$ 圖像，且 $E$ 恰位於其中一側。除各面的邊外，這些面對邊界恰覆蓋一次。光滑邊界對應於沒有稜邊的情形。

三種情形都要求場在定理所用的整個閉集的開鄰域上屬於 $C^1$；這些閉集分別是 $\overline D$、$\Sigma$ 及 $\overline E$。在上述條件下，三個積分定理的公式均成立。區域可有孔洞、空腔或多個連通分支；曲面也可需要多張坐標圖。這些是經典的充分正則性條件；任意非正則 Jordan 曲線、在端點沒有正則延拓的尖點、自交曲面及測度論中的弱邊界不在本次結論內。

先備結果是通常的鏈式法則與乘積法則、先前已證明的正常 Riemann 換元及切片積分結果，以及上面明確規定的局部圖像描述。下面將實際構造局部化，並估計例外集合的誤差。

構造有限單位分解

用可進行所需局部計算的開坐標鄰域 $U_i$ 覆蓋緊集 $K$。在每個點選兩個同心立方體，使大立方體的閉包包含在某個 $U_i$ 中，小立方體包含該點。由緊緻性，可取有限個小立方體覆蓋 $K$。選非負 $C^1$ 乘積截斷函數 $\chi_i$，在小立方體上等於一，大立方體外等於零；前面的三次過渡函數 $3t^2-2t^3$ 即可構造它們。令

$$S=\sum_{i=1}^N\chi_i,\qquad \rho_i=\frac{\chi_i}{S}.$$

商函數定義在包含 $K$ 的開集 $S>0$ 上。若需要環境空間中的延拓，再取一個有限立方體截斷函數 $\lambda$，使其支集緊包含在 $S>0$ 中，且在 $K$ 附近為一；把每個商改為 $\lambda\chi_i/S$，並在 $S>0$ 外零延拓。這樣的 $\lambda$ 可由覆蓋 $K$ 的更小立方體截斷函數 $\psi_j$，按 $1-\prod_j(1-\psi_j)$ 構造。因此延拓後的權重為 $C^1$，每個支集都緊包含在所屬坐標鄰域內，並且在 $K$ 附近有

$$\sum_i\rho_i=1,\qquad \sum_i\nabla\rho_i=0.$$

這裏使用的是被積集合上的支集；因支集遠離人為的坐標圖邊緣，每個坐標圖項可跨越這些邊緣作零延拓。對曲面，只須將環境空間中的截斷函數限制於曲面。對場 $F$，由線性與乘積法則，

$$\sum_i\operatorname{curl}(\rho_iF)=\operatorname{curl}F, \qquad \sum_i\operatorname{div}(\rho_iF)=\operatorname{div}F.$$

平面的 $Q_x-P_y$ 也有相同抵消。所以只須對支集包含在單一坐標鄰域內的場證明恆等式。重疊覆蓋不會引入內部邊界；權重的導數以代數方式相消。這裏每個積分都可與有限求和交換。

光滑邊界坐標圖上的 Green 定理

平移並作保持定向的旋轉後，可令邊界坐標圖中的 $D$ 位於 $y=g(x)$ 上方，其中 $g$ 為 $C^1$。設 $G=(p,q)$ 為局部化的場，在坐標矩形的人為側邊及上邊附近為零。對任一分量 $h$，令 $H_h(x)=\int_{g(x)}^b h(x,y)\,dy$，其中上邊界 $b$ 高於支集。微積分基本定理與鏈式法則給出

$$H_h'(x)=\int_{g(x)}^b h_x(x,y)\,dy-g'(x)h(x,g(x)).$$

對 $x$ 的微分可直接核實：在緊矩形上，微積分基本定理把 $h$ 的每個差商寫成 $h_x$ 的平均值；$h_x$ 的一致連續性使這些差商一致收斂到 $h_x$，因此積分可與此極限交換。再把這個固定積分限的導數與 $y=g(x)$ 處通常的鏈式法則結合，就證明了上式。保持另一個參數固定的相同論證，也證明下面散度計算中的兩個變下限微分公式。

對 $x$ 積分 $H_q'$ 得零，因為 $H_q$ 在人為端點為零。沿豎直方向積分 $-p_y$ 得 $p(x,g(x))$。所以

$$\iint_D(q_x-p_y)\,dA =\int\bigl[p(x,g(x))+g'(x)q(x,g(x))\bigr]\,dx.$$

右邊恰是在 $(x,g(x))$ 上沿 $x$ 遞增方向的邊界積分：上方區域保持在左側。若 $D$ 位於圖像下方，豎直積分與正向遍歷的符號同時反轉。完全位於 $D$ 內的坐標圖沒有邊界貢獻，其面積積分為零，因為積分各導數時端點值均為零。由鏈式法則，保持定向的剛性坐標變換保持環流積分、面積及標量旋度。將局部化的等式相加，即對可用這些圖像覆蓋的邊界證明 Green 定理；下面的角點步驟處理餘下有限個點。特別是，對某個固定坐標方向有無窮多個切點，也不會迫使我們使用尚未證明的有限切片分解。

不需要單一全局參數化的 Stokes 定理

使用有定向的正則 $C^2$ 坐標圖 $r(s,t)$：內部坐標圖的參數鄰域在全平面中；光滑邊界坐標圖則取 $t\ge0$。把正則 $C^2$ 參數邊界拉直，即得這類邊界坐標圖。對局部化的場，令 $A=G(r)\cdot r_s$、$B=G(r)\cdot r_t$。前面的拉回計算給出

$$B_s-A_t=(\operatorname{curl}G)(r)\cdot(r_s\times r_t).$$

兩個係數在人為坐標圖邊緣附近為零。對內部坐標圖，積分兩個導數得零。對邊界坐標圖，將緊支集的係數沿切向及支集上方零延拓，在半平面直接累次積分得

$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_0^{\infty}(B_s-A_t)\,dt\,ds =\int_{-\infty}^{\infty}A(s,0)\,ds.$$

這裏的無窮積分限只表示包含支集的固定有界矩形，不需要反常積分定理。要先積分 $B_s$，可對連續緊支集被積函數使用先前證明的矩形 Fubini 交換。邊界方向是 $s$ 遞增方向，因參數區域 $t>0$ 位於左側，與 $r_s\times r_t$ 相容。因此右邊就是所需的局部化邊界環流。用上述權重把坐標圖恆等式相加，即證明整個光滑有定向曲面上的 Stokes 定理；對閉曲面，沒有邊界坐標圖的貢獻。球面需要多張坐標圖，本證明仍然適用，不需要無奇點的全局參數化。

若 $C^2$ 曲面坐標圖中的參數邊界僅為正則 $C^1$，相同結論仍成立。保留原來的 $C^2$ 參數化，在其局部化的參數區域上，對 $A\,ds+B\,dt$ 應用 Green 邊界圖計算。係數 $A,B$ 為 $C^1$，上面的拉回恆等式也不變。這樣便證明了邊界坐標圖恆等式，無須使用 $C^1$ 邊界拉直映射的二階導數。有限個邊界角點在下面處理。

對有限個曲面片，將此結果連同下面的角點論證應用於每一片。每條共享邊恰出現兩次，誘導線積分方向相反，所以其兩個積分和為零。未成對的邊恰好構成外部邊界。這裏需要所述的邊匹配結構，沒有聲稱任意奇異曲面都存在三角剖分。

任意光滑邊界圖像上的散度定理

在邊界坐標圖中選剛性坐標，使 $E$ 位於 $z=g(x,y)$ 上方。把局部化的場寫成 $G=(p,q,r)$，選高於其支集的上界 $b$。分別對 $x$、$y$ 微分變下限積分，並利用它們在人為側邊附近的零值，得

$$\iiint_E p_x\,dV=\iint g_xp(x,y,g)\,dx\,dy, \qquad \iiint_E q_y\,dV=\iint g_yq(x,y,g)\,dx\,dy.$$

豎直方向的微積分基本定理給出

$$\iiint_E r_z\,dV=-\iint r(x,y,g)\,dx\,dy.$$

相加得 $G\cdot(g_x,g_y,-1)$ 的曲面參數積分。它恰是向外通量，因為立體在圖像上方，向外向量面積為 $(g_x,g_y,-1)\,dx\,dy$。若立體在圖像下方，三個符號反轉，向外向量面積為 $(-g_x,-g_y,1)\,dx\,dy$。內部坐標圖的散度積分為零。剛性旋轉使導數矩陣被正交旋轉矩陣共軛，故其跡即散度保持不變；向外通量與體積也保持不變。因此局部計算適用於任意空間方向。用有限權重求和，便證明具有緊 $C^1$ 邊界的散度定理，包含所有空腔壁及其各自的向外法向。立體不必在任何固定坐標方向為簡單立體。

角點和稜邊：補齊極限誤差論證

現在處理例外集合。對 Green 定理，例外集合 $Z$ 是有限個點；對單個 Stokes 曲面片，它是有限個邊界角點；對散度定理，它是有限條有限長稜邊弧及頂點之並。構造取值於 $[0,1]$ 的 $C^1$ 函數 $\eta_\varepsilon$，使它在 $Z$ 的某個鄰域為零，距離 $Z$ 超過 $C\varepsilon$ 時為一，且 $\lVert\nabla\eta_\varepsilon\rVert\le C/\varepsilon$。所有常數與 $\varepsilon$ 無關。

構造及所需的大小估計如下。取邊長 $\varepsilon$ 的立方網格中與 $Z$ 相交的格；在每格周圍選乘積截斷函數，在稍微放大的格上為一，在固定倍數的進一步放大格外為零。令 $\eta_\varepsilon$ 為各個「一減截斷函數」的有限乘積。放大的網格具有一致有界的重疊次數，故乘積法則給出梯度界 $C/\varepsilon$。有限點集只需要有界數目的格。長度為 $L$ 的可求長弧可按弧長分割，用至多 $1+L/\varepsilon$ 個半徑 $\varepsilon$ 的球覆蓋；每球只與有界數目的網格相交。因此稜邊附近的格數為 $O(1/\varepsilon)$，總空間體積為 $O(\varepsilon^2)$。有限點附近的平面面積為 $O(\varepsilon^2)$。在充分小的緊正則曲面坐標圖上，映射及其局部逆映射都有有界 Lipschitz 常數，面積密度也有界。於是有限點附近的曲面面積為 $O(\varepsilon^2)$，位於各面上的有限條正則稜邊弧附近的曲面面積為 $O(\varepsilon)$，邊界角點附近的邊界長度為 $O(\varepsilon)$。有限坐標圖覆蓋使常數一致。這些事實也說明立體和平面區域是 Jordan 可測的，且稜邊的曲面面積為零：由前面的圖像覆蓋論證，有界正則圖像片在環境空間中的體積為零，而更低維的例外集合具有剛構造的立方體覆蓋。

對 $G_\varepsilon=\eta_\varepsilon F$ 應用局部化證明。它在 $Z$ 附近為零，因此只須用內部坐標圖及與其支集相交的光滑邊界坐標圖。每個新增導數項都有明確控制：平面的額外標量旋度項為 $(\eta_\varepsilon)_xQ-(\eta_\varepsilon)_yP$；Stokes 曲面的額外項為 $\nabla\eta_\varepsilon\times F$。若 $M$ 是場的界，相應面積誤差至多為 $CM\varepsilon^{-1}\varepsilon^2=CM\varepsilon$。對散度，

$$\operatorname{div}(\eta_\varepsilon F) =\eta_\varepsilon\operatorname{div}F+\nabla\eta_\varepsilon\cdot F, \qquad \left|\iiint_E\nabla\eta_\varepsilon\cdot F\,dV\right| \le CM\varepsilon.$$

帶 $\eta_\varepsilon$ 的項收斂到原來的體積或曲面積分，因為有界被積函數只在體積或面積趨於零的集合上有差別。邊界環流在有限個角點附近至多損失 $CM\varepsilon$；邊界通量在有限條稜邊附近至多損失 $CM\varepsilon$。所以每個誤差都趨於零。這就證明了所述有限角點下的 Green 定理、逐片處理角點再抵消內邊的 Stokes 定理，以及所述有限面及稜邊邊界下的散度定理。全程沒有使用未指定的多面體近似收斂。

核對一個超出逐坐標簡單立體的例子

設 $E$ 為主半徑 $R$、管半徑 $a$ 的實心環面，其中 $R>a>0$，取 $F=(x,y,z)$。它有光滑緊邊界，但並非在三個坐標方向均為簡單立體。現在已證明的定理適用。其體積為 $2\pi^2Ra^2$，散度為三，故通量為 $6\pi^2Ra^2$。體積可直接用柱坐標求得：在圓盤 $(\rho-R)^2+z^2\le a^2$ 上積分 $\rho$，再乘 $2\pi$；奇函數部分 $\rho-R$ 的積分為零。也可獨立核對通量。用

$$r(\theta,\phi)=((R+a\cos\phi)\cos\theta,(R+a\cos\phi)\sin\theta,a\sin\phi), \qquad 0\le\theta,\phi\le2\pi,$$

向外向量面積為 $r_\theta\times r_\phi=a(R+a\cos\phi)(\cos\phi\cos\theta,\cos\phi\sin\theta,\sin\phi)$。直接積分得

$$\iint_{\partial E}F\cdot n\,dS =2\pi a\int_0^{2\pi}(R+a\cos\phi)(R\cos\phi+a)\,d\phi =6\pi^2Ra^2.$$

參數接縫的曲面面積為零，在此直接核對中不造成重複計數。一般而言，上面的證明處理了本補充開頭所列的全部正則類，並未建立更廣的弱邊界定理，也不能據此認定某院校的整個 MATH2020 教學大綱已獲覆蓋。