有限實矩陣乘法法則的證明
設 m , n , p , q m,n,p,q m , n , p , q A ∈ R m × n A\in\mathbb R^{m\times n} A ∈ R m × n B ∈ R n × p B\in\mathbb R^{n\times p} B ∈ R n × p C ∈ R p × q C\in\mathbb R^{p\times q} C ∈ R p × q ( i , ℓ ) (i,\ell) ( i , ℓ )
( ( A B ) C ) i ℓ = ∑ k = 1 p ( ∑ j = 1 n a i j b j k ) c k ℓ = ∑ j = 1 n a i j ( ∑ k = 1 p b j k c k ℓ ) = ( A ( B C ) ) i ℓ . \begin{aligned}
((AB)C)_{i\ell}
&=\sum_{k=1}^{p}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)c_{k\ell}\\
&=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\left(\sum_{k=1}^{p}b_{jk}c_{k\ell}\right)
=(A(BC))_{i\ell}.
\end{aligned} (( A B ) C ) i ℓ = k = 1 ∑ p ( j = 1 ∑ n a ij b j k ) c k ℓ = j = 1 ∑ n a ij ( k = 1 ∑ p b j k c k ℓ ) = ( A ( B C ) ) i ℓ . 中間等號只交換兩個有限和的求和次序，並使用實數分配律。兩邊同為 m × q m\times q m × q
對 D ∈ R n × p D\in\mathbb R^{n\times p} D ∈ R n × p
[ A ( B + D ) ] i k = ∑ j = 1 n a i j ( b j k + d j k ) = ( A B ) i k + ( A D ) i k . [A(B+D)]_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(b_{jk}+d_{jk})
=(AB)_{ik}+(AD)_{ik}. [ A ( B + D ) ] ik = j = 1 ∑ n a ij ( b j k + d j k ) = ( A B ) ik + ( A D ) ik . 對 E ∈ R m × n E\in\mathbb R^{m\times n} E ∈ R m × n
[ ( A + E ) B ] i k = ∑ j = 1 n ( a i j + e i j ) b j k = ( A B ) i k + ( E B ) i k . [(A+E)B]_{ik}=\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}+e_{ij})b_{jk}
=(AB)_{ik}+(EB)_{ik}. [( A + E ) B ] ik = j = 1 ∑ n ( a ij + e ij ) b j k = ( A B ) ik + ( E B ) ik . 所以在所寫的相容大小下，兩條分配律均成立。對任意實純量 c c c
[ ( c A ) B ] i k = ∑ j ( c a i j ) b j k = c ∑ j a i j b j k = ∑ j a i j ( c b j k ) = [ A ( c B ) ] i k , [(cA)B]_{ik}=\sum_j(ca_{ij})b_{jk}
=c\sum_j a_{ij}b_{jk}
=\sum_j a_{ij}(cb_{jk})=[A(cB)]_{ik}, [( c A ) B ] ik = j ∑ ( c a ij ) b j k = c j ∑ a ij b j k = j ∑ a ij ( c b j k ) = [ A ( c B ) ] ik , 逐項相等便證明 ( c A ) B = c ( A B ) = A ( c B ) (cA)B=c(AB)=A(cB) ( c A ) B = c ( A B ) = A ( c B ) x , y ∈ R n x,y\in\mathbb R^n x , y ∈ R n s , t s,t s , t
[ A ( s x + t y ) ] i = ∑ j a i j ( s x j + t y j ) = s ( A x ) i + t ( A y ) i . [A(sx+ty)]_i=\sum_j a_{ij}(sx_j+ty_j)
=s(Ax)_i+t(Ay)_i. [ A ( s x + t y ) ] i = j ∑ a ij ( s x j + t y j ) = s ( A x ) i + t ( A y ) i . 這證明了比較同一線性系統的解時所用的矩陣乘向量線性性質。所有恆等式都只針對大小相容的有限實矩陣，不聲稱任意矩陣因子可交換或可消去。
有限消元必停止，並保持解集
設 A ∈ R m × n A\in\mathbb R^{m\times n} A ∈ R m × n b ∈ R m b\in\mathbb R^m b ∈ R m m , n m,n m , n A x = b Ax=b A x = b
從左到右掃描係數欄，並記錄下一未使用行。若當前欄在未使用行中有非零元素，就將其所在行交換到下一位置，除以非零主元，再從其餘各行減去適當倍數，清空該欄其他元素，然後推進未使用行指標。若該欄所有未使用位置都是零，就跳過該欄。先前主元欄始終是單位欄：當前未使用行在這些欄均為零，所以新主元行以及後續減法保留這些零與原主元。總共只有 n n n min ( m , n ) \min(m,n) min ( m , n )
解的分類與齊次自由度
令 r r r 0 = c 0=c 0 = c n − r n-r n − r r = n r=n r = n r < n r<n r < n
對 A z = 0 Az=0 A z = 0 r < n r<n r < n r = n r=n r = n x p x_p x p x p + z x_p+z x p + z A z = 0 Az=0 A z = 0
當 A A A I I I E E E E A = I EA=I E A = I E E E A = E − 1 A=E^{-1} A = E − 1 A E = I AE=I A E = I E E E [ A ∣ I ] [A\mid I] [ A ∣ I ] [ I ∣ A − 1 ] [I\mid A^{-1}] [ I ∣ A − 1 ]
向量空間是在域 F F F d d d P d ( F ) P_d(F) P d ( F ) P d ( F ) P_d(F) P d ( F )
子空間 包含零，且對加法和數乘封閉。若每個向量都是某列表中向量的線性組合，該列表張成空間；若只有零系數組合能得到零，它線性無關。基 同時滿足兩者。有限生成列表可通過刪除相關項縮減成基；線性無關列表可通過添加其張成空間外的向量擴充成基，直到張成給定的有限生成列表。
交換引理。 若 r r r s s s r ≤ s r\le s r ≤ s r r r dim V \dim V dim V
因此在 n n n n n n n n n
不預設計數結論的有限基存在與擴充
設實向量空間 V V V t 1 , … , t N t_1,\ldots,t_N t 1 , … , t N u 1 , … , u k u_1,\ldots,u_k u 1 , … , u k N N N j j j u 1 , … , u j u_1,\ldots,u_j u 1 , … , u j N − j N-j N − j u j + 1 u_{j+1} u j + 1 u i u_i u i u j + 1 u_{j+1} u j + 1 k > N k>N k > N N N N N N N V V V u N + 1 u_{N+1} u N + 1 N = 0 N=0 N = 0
每個子空間 W W W W W W W W W N N N W W W W = { 0 } W=\{0\} W = { 0 } W W W W W W p , q p,q p , q p ≤ q p\le q p ≤ q q ≤ p q\le p q ≤ p
映射 T : V → W T:V\to W T : V → W T ( α v + β u ) = α T v + β T u T(\alpha v+\beta u)=\alpha Tv+\beta Tu T ( α v + β u ) = α T v + β T u ker T \ker T ker T k 1 , … , k r k_1,\ldots,k_r k 1 , … , k r v 1 , … , v s v_1,\ldots,v_s v 1 , … , v s T v 1 , … , T v s Tv_1,\ldots,Tv_s T v 1 , … , T v s im T \operatorname{im}T im T
dim V = dim ker T + dim im T . \dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T. dim V = dim ker T + dim im T . 這就是秩–零度定理 。有限維且維數相等時，單射與滿射等價；無限維空間中該等價可能失效。
實向量空間中的有限基底計數
設實向量空間 V V V m ≥ 0 m\geq0 m ≥ 0
先回顧係數計數論證，它不要求生成列表獨立。若 v 1 , … , v m v_1,\ldots,v_m v 1 , … , v m V V V u 1 , … , u r ∈ V u_1,\ldots,u_r\in V u 1 , … , u r ∈ V r > m r>m r > m u j = ∑ i = 1 m a i j v i u_j=\sum_{i=1}^m a_{ij}v_i u j = ∑ i = 1 m a ij v i C = ( a i j ) C=(a_{ij}) C = ( a ij ) m m m r r r m m m C c = 0 Cc=0 C c = 0
∑ j = 1 r c j u j = ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 r a i j c j ) v i = 0. \sum_{j=1}^r c_ju_j
=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^r a_{ij}c_j\right)v_i=0. j = 1 ∑ r c j u j = i = 1 ∑ m ( j = 1 ∑ r a ij c j ) v i = 0. 所以這些 u j u_j u j m = 0 m=0 m = 0 u j u_j u j V V V m m m
若獨立列表 ( u 1 , … , u s ) (u_1,\ldots,u_s) ( u 1 , … , u s ) V V V w w w ∑ a i u i + b w = 0 \sum a_i u_i+bw=0 ∑ a i u i + b w = 0 b ≠ 0 b\ne0 b = 0 w w w b = 0 b=0 b = 0 a i = 0 a_i=0 a i = 0 w w w m m m m + 1 m+1 m + 1 m m m
反過來，設長度為 m m m V V V m − 1 m-1 m − 1 V V V m m m
這些論證對任意有限維實空間 V V V V V V m m m V V V
子空間結論也不必預先假定子空間有基底。若 W ⊆ V W\subseteq V W ⊆ V W W W m m m W W W dim W ≤ m \dim W\leq m dim W ≤ m V V V m m m V V V W = V W=V W = V
標準有限模型與多項式的邊界
這裏 d d d a , b a,b a , b d = 0 d=0 d = 0 R 0 \mathbb R^0 R 0
在 R d \mathbb R^d R d e i e_i e i i i i x x x ∑ i = 1 d x i e i \sum_{i=1}^d x_i e_i ∑ i = 1 d x i e i i i i dim R d = d \dim\mathbb R^d=d dim R d = d
在實 a × b a\times b a × b E i j E_{ij} E ij ( i , j ) (i,j) ( i , j ) X X X ∑ i = 1 a ∑ j = 1 b X i j E i j \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b X_{ij}E_{ij} ∑ i = 1 a ∑ j = 1 b X ij E ij ( i , j ) (i,j) ( i , j ) E i j E_{ij} E ij a b ab ab dim M a , b ( R ) = a b \dim M_{a,b}(\mathbb R)=ab dim M a , b ( R ) = ab
對 P n P_n P n n ≥ 0 n\geq0 n ≥ 0 ∑ i = 0 n a i t i \sum_{i=0}^n a_i t^i ∑ i = 0 n a i t i ( 1 , t , … , t n ) (1,t,\ldots,t^n) ( 1 , t , … , t n ) dim P n = n + 1 \dim P_n=n+1 dim P n = n + 1 N N N N N N t N + 1 t^{N+1} t N + 1
張成列表可以表示空間中的每個向量，但相依列表可能用不同的係數表示同一個向量。同時要求張成與線性獨立，就能使每個表示唯一。基底把這兩個條件結合起來。
定義
基底 若一組向量 { u 1 , u 2 , … , u m } \{u_1, u_2, \ldots, u_m\} { u 1 , u 2 , … , u m }
u 1 , u 2 , … , u m u_1, u_2, \ldots, u_m u 1 , u 2 , … , u m Span { u 1 , u 2 , … , u m } = V \operatorname{Span}\{u_1, u_2, \ldots, u_m\} = V Span { u 1 , u 2 , … , u m } = V 那它就是向量空間 V V V
本節使用實數純量，寫出的基底都是有限列表。固定次序 ( u 1 , … , u m ) (u_1,\ldots,u_m) ( u 1 , … , u m ) x = ∑ a i u i = ∑ b i u i x=\sum a_i u_i=\sum b_i u_i x = ∑ a i u i = ∑ b i u i ∑ ( a i − b i ) u i = 0 \sum(a_i-b_i)u_i=0 ∑ ( a i − b i ) u i = 0 a i = b i a_i=b_i a i = b i
張成與獨立回答不同的問題
下方圖解區分基底的兩個條件：張成使每個目標都能表示，獨立排除冗餘表示。維數記錄基底的共同大小；後文會給出計數證明。
比較互為倍數的兩個生成向量與線性獨立的兩個生成向量，分別確定它們的張成。
標準基底是最典型的例子
學生最先接觸到的基底，通常是 R 3 R^3 R 3
e 1 = [ 1 0 0 ] , e 2 = [ 0 1 0 ] , e 3 = [ 0 0 1 ] . e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad
e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad
e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}. e 1 = 1 0 0 , e 2 = 0 1 0 , e 3 = 0 0 1 . 這三個向量的重要之處，在於它們各自只負責一個座標方向。
例題
為甚麼 R 3 R^3 R 3 要證明 { e 1 , e 2 , e 3 } \{e_1, e_2, e_3\} { e 1 , e 2 , e 3 } R 3 R^3 R 3
先看張成。若
x = [ a b c ] , x = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}, x = a b c , 那麼
x = a e 1 + b e 2 + c e 3 . x = a e_1 + b e_2 + c e_3. x = a e 1 + b e 2 + c e 3 . 所以 R 3 R^3 R 3 e 1 , e 2 , e 3 e_1, e_2, e_3 e 1 , e 2 , e 3
再看線性獨立。若
α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 = 0 , \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3 = 0, α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 = 0 , 逐個座標比較，就得到
α 1 = 0 , α 2 = 0 , α 3 = 0. \alpha_1 = 0,\quad \alpha_2 = 0,\quad \alpha_3 = 0. α 1 = 0 , α 2 = 0 , α 3 = 0. 因此唯一的線性關係就是平凡關係。
兩個條件都成立，所以 { e 1 , e 2 , e 3 } \{e_1, e_2, e_3\} { e 1 , e 2 , e 3 } R 3 R^3 R 3
這個例子亦說明了基底座標有多實用：一旦基底固定，係數 a a a b b b c c c
為甚麼基底的向量數目這麼重要
不同的基底可以由不同向量組成。定義維數之前，必須先證明它們的向量數目相同。
定理
同一個空間的任何基底都有相同數目 若 B 1 B_1 B 1 B 2 B_2 B 2 V V V
正因如此，維數才是一個定義良好的概念。否則，「基底裡有多少個向量」
這件事會隨你選哪一組基底而改變，維數便無法成為一個穩定量。
這個定理背後有一個基本的計數原理。
定理
在已被張成的空間中，太多向量必定相依 若 { v 1 , … , v m } \{v_1,\ldots,v_m\} { v 1 , … , v m } V V V V V V m m m
證明
先數係數，再定義維數 目標是在 n > m n\gt m n > m u j ∈ V u_j\in V u j ∈ V m m m v i v_i v i V V V
u j = ∑ i = 1 m a i j v i , C = ( a i j ) ∈ M m , n ( R ) . u_j=\sum_{i=1}^m a_{ij}v_i,\qquad C=(a_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb R). u j = i = 1 ∑ m a ij v i , C = ( a ij ) ∈ M m , n ( R ) . 係數矩陣有 m m m n n n m m m C c = 0 Cc=0 C c = 0 c ∈ R n c\in\mathbb R^n c ∈ R n
∑ j = 1 n c j u j = ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 n a i j c j ) v i = 0. \sum_{j=1}^n c_ju_j
=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}c_j\right)v_i=0. j = 1 ∑ n c j u j = i = 1 ∑ m ( j = 1 ∑ n a ij c j ) v i = 0. 這就是所需的非平凡關係。令各個係數表達式為零，是讓向量和為零的充分條件 。這裏沒有假設生成向量 v i v_i v i m = 0 m=0 m = 0
現在設兩組有限基底分別有 r , s r,s r , s s ≤ r s\le r s ≤ r r ≤ s r\le s r ≤ s r = s r=s r = s
維數就是獨立方向的數目
定義
維數 向量空間 V V V dim ( V ) \dim(V) dim ( V ) V V V
維數量度的是：這個空間究竟有多少個真正獨立的方向。
dim ( R m ) = m \dim(R^m) = m dim ( R m ) = m dim ( M m n ) = m n \dim(M_{mn}) = mn dim ( M mn ) = mn dim ( P n ) = n + 1 \dim(P_n) = n + 1 dim ( P n ) = n + 1 所有實係數多項式所成的空間是無限維，因為任何有限列表都無法張成
所有冪次 1 , x , x 2 , … 1,x,x^2,\ldots 1 , x , x 2 , …
零子空間是特別情況：
dim ( { 0 } ) = 0. \dim(\{0\}) = 0. dim ({ 0 }) = 0. 它的基底是空列表：唯一的線性組合是定義為零的空和，也不存在非平凡係數關係。單元素集合 { 0 } \{0\} { 0 }
子空間有自己的維數
一個向量可以有三個分量，卻屬於只有兩個獨立方向的空間。下面的例子區分外層座標的個數與子空間本身的維數。
例題
R 3 R^3 R 3 令
W = { [ x y 0 ] : x , y ∈ R } . W = \left\{
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ 0
\end{bmatrix}
: x, y \in R
\right\}. W = ⎩ ⎨ ⎧ x y 0 : x , y ∈ R ⎭ ⎬ ⎫ . 這就是 R 3 R^3 R 3 z = 0 z = 0 z = 0
考慮
u 1 = [ 1 0 0 ] , u 2 = [ 0 1 0 ] . u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},
\qquad
u_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}. u 1 = 1 0 0 , u 2 = 0 1 0 . W W W
[ x y 0 ] = x u 1 + y u 2 , \begin{bmatrix}
x \\ y \\ 0
\end{bmatrix}
= x u_1 + y u_2, x y 0 = x u 1 + y u 2 , 因此 u 1 u_1 u 1 u 2 u_2 u 2 W W W
它們亦線性獨立，因為
α 1 u 1 + α 2 u 2 = 0 \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 = 0 α 1 u 1 + α 2 u 2 = 0 必有 α 1 = α 2 = 0 \alpha_1 = \alpha_2 = 0 α 1 = α 2 = 0
所以 { u 1 , u 2 } \{u_1, u_2\} { u 1 , u 2 } W W W
dim ( W ) = 2. \dim(W) = 2. dim ( W ) = 2. 由此可見，維數不是在數「向量有多少個座標」，而是在數「這個空間本身
有多少個獨立方向」。
維數如何變成捷徑
一旦你知道某個空間的維數，很多基底問題就會變得短得多。
若 dim ( V ) = m \dim(V) = m dim ( V ) = m
V V V m m m V V V m m m V V V 少於 m m m V V V
多於 m m m
這就是維數的威力。當向量數目已經和維數吻合時，你往往只需完成一半檢
查，就能推出整個結論。
這件事可以整理成一個很有用的三項判準。設 u 1 , … , u n u_1,\ldots,u_n u 1 , … , u n W W W
dim ( W ) = n \dim(W)=n dim ( W ) = n u 1 , … , u n u_1,\ldots,u_n u 1 , … , u n Span { u 1 , … , u n } = W \operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_n\}=W Span { u 1 , … , u n } = W
只要其中任意兩項成立，第三項就會自動成立，而 { u 1 , … , u n } \{u_1,\ldots,u_n\} { u 1 , … , u n } W W W
這通常是寫解答時最乾淨的方法。你不必每次都從頭證明「線性獨立」和
「張成」兩件事；先找出維數，再證明兩者之中較容易的一項，另一項便由
定理補上。
例題
在 R 3 R^3 R 3 令
u 1 = [ 1 2 2 ] , u 2 = [ 2 3 4 ] , u 3 = [ 3 8 7 ] . u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix},\quad
u_2=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix},\quad
u_3=\begin{bmatrix}3\\8\\7\end{bmatrix}. u 1 = 1 2 2 , u 2 = 2 3 4 , u 3 = 3 8 7 . 我們要證明這三個向量形成 R 3 R^3 R 3
先檢查線性獨立。方程
c 1 u 1 + c 2 u 2 + c 3 u 3 = 0 c_1u_1+c_2u_2+c_3u_3=0 c 1 u 1 + c 2 u 2 + c 3 u 3 = 0 的係數矩陣是
[ 1 2 3 2 3 8 2 4 7 ] . \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 8\\
2 & 4 & 7
\end{bmatrix}. 1 2 2 2 3 4 3 8 7 . 行化簡可得一個每一欄都有主元的階梯形，例如
[ 1 2 3 0 1 − 2 0 0 1 ] . \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}. 1 0 0 2 1 0 3 − 2 1 . 因此齊次方程只有平凡解，u 1 , u 2 , u 3 u_1,u_2,u_3 u 1 , u 2 , u 3
由於 dim ( R 3 ) = 3 \dim(R^3)=3 dim ( R 3 ) = 3 R 3 R^3 R 3 R 3 R^3 R 3
非平凡零組合可以檢驗給定列表中的冗餘。
延伸與縮減向量列表
定理
延伸與刪減的結果 若 dim ( V ) = m > 0 \dim(V)=m>0 dim ( V ) = m > 0
少於 m m m V V V
任何少於 m m m V V V
任何多於 m m m
基底也是按包含關係極小的張成集：刪去任一成員都會失去張成性，否則該成員便可由其餘成員表示。反之，相依的張成列表可按冗餘定理縮短。基底又是 V V V V V V
零空間：用 rank-nullity 檢查基底
對齊次方程組來說，維數捷徑會變得特別具體。設 A A A p × q p \times q p × q r r r
dim ( N ( A ) ) = q − r . \dim(N(A)) = q-r. dim ( N ( A )) = q − r . 含 r r r q − r q-r q − r q = r q=r q = r 6.6 欄空間、行空間與秩 將證明它也等於行空間與欄空間的維數。
所以 u 1 , … , u n u_1,\ldots,u_n u 1 , … , u n N ( A ) N(A) N ( A )
每個向量真的在零空間中，即 A u j = 0 Au_j=0 A u j = 0
候選向量數目正確，即 n = q − r n=q-r n = q − r
候選向量線性獨立。
這樣便不需要直接證明完整的集合相等
N ( A ) = Span { u 1 , … , u n } N(A)=\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_n\} N ( A ) = Span { u 1 , … , u n }
例題
檢查一組候選向量是否為零空間基底 令
A = [ 1 2 0 1 1 1 1 − 1 3 1 5 − 7 ] , W = N ( A ) , A=
\begin{bmatrix}
1&2&0&1\\
1&1&1&-1\\
3&1&5&-7
\end{bmatrix},
\qquad
W=N(A), A = 1 1 3 2 1 1 0 1 5 1 − 1 − 7 , W = N ( A ) , 並令
u 1 = [ 1 − 1 1 1 ] , u 2 = [ 5 − 3 − 1 1 ] . u_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\1\end{bmatrix},
\qquad
u_2=\begin{bmatrix}5\\-3\\-1\\1\end{bmatrix}. u 1 = 1 − 1 1 1 , u 2 = 5 − 3 − 1 1 . 先檢查向量是否屬於 W W W A u 1 = 0 Au_1=0 A u 1 = 0 A u 2 = 0 Au_2=0 A u 2 = 0 W W W
接着計算 W W W A A A
[ 1 0 2 − 3 0 1 − 1 2 0 0 0 0 ] , \begin{bmatrix}
1&0&2&-3\\
0&1&-1&2\\
0&0&0&0
\end{bmatrix}, 1 0 0 0 1 0 2 − 1 0 − 3 2 0 , 所以 rank ( A ) = 2 \operatorname{rank}(A)=2 rank ( A ) = 2 A A A
dim ( N ( A ) ) = 4 − 2 = 2. \dim(N(A))=4-2=2. dim ( N ( A )) = 4 − 2 = 2. 最後檢查線性獨立。把候選向量放入一個矩陣：
U = [ u 1 u 2 ] = [ 1 5 − 1 − 3 1 − 1 1 1 ] . U=[u_1\ u_2]
=
\begin{bmatrix}
1&5\\
-1&-3\\
1&-1\\
1&1
\end{bmatrix}. U = [ u 1 u 2 ] = 1 − 1 1 1 5 − 3 − 1 1 . 行化簡後每一欄都有主元，所以 u 1 , u 2 u_1,u_2 u 1 , u 2 W W W W W W u 1 , u 2 u_1,u_2 u 1 , u 2 N ( A ) N(A) N ( A )
失敗情況同樣重要：
若某個 u j u_j u j A u j = 0 Au_j=0 A u j = 0 N ( A ) N(A) N ( A )
若列表長度少於或多於 q − r q-r q − r
若列表長度正確但線性相依，它仍然不是基底。
從生成列表抽出最小張成集
有時輸入不是一組乾淨的候選基底，而是一長串生成向量。這時常見問題是：
這些向量張成的空間維數是多少？有沒有辦法從原列表中抽出一組基底？最有效的
方法是用主元欄位置。
定理
主元欄給出最小張成集 設
W = Span { u 1 , … , u q } ⊆ R n , U = [ u 1 u 2 ⋯ u q ] . W=\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_q\}\subseteq R^n,
\qquad
U=[u_1\ u_2\ \cdots\ u_q]. W = Span { u 1 , … , u q } ⊆ R n , U = [ u 1 u 2 ⋯ u q ] . 對 U U U d 1 , … , d r d_1,\ldots,d_r d 1 , … , d r
{ u d 1 , … , u d r } \{u_{d_1},\ldots,u_{d_r}\} { u d 1 , … , u d r } 是 W W W dim ( W ) = r \dim(W)=r dim ( W ) = r
主元位置由化簡後的矩陣讀出，但基底向量本身要取自原列表。這和欄空間的基底
規則是同一個原理。
例題
從生成列表抽出基底 令 W = Span { u 1 , u 2 , u 3 } W=\operatorname{Span}\{u_1,u_2,u_3\} W = Span { u 1 , u 2 , u 3 }
u 1 = [ 0 − 1 2 ] , u 2 = [ 1 − 2 7 ] , u 3 = [ − 2 3 − 12 ] . u_1=\begin{bmatrix}0\\-1\\2\end{bmatrix},
\quad
u_2=\begin{bmatrix}1\\-2\\7\end{bmatrix},
\quad
u_3=\begin{bmatrix}-2\\3\\-12\end{bmatrix}. u 1 = 0 − 1 2 , u 2 = 1 − 2 7 , u 3 = − 2 3 − 12 . 把它們放成 U U U
U = [ 0 1 − 2 − 1 − 2 3 2 7 − 12 ] ∼ [ 1 0 1 0 1 − 2 0 0 0 ] . U=
\begin{bmatrix}
0&1&-2\\
-1&-2&3\\
2&7&-12
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1&0&1\\
0&1&-2\\
0&0&0
\end{bmatrix}. U = 0 − 1 2 1 − 2 7 − 2 3 − 12 ∼ 1 0 0 0 1 0 1 − 2 0 . 主元欄是第 1 1 1 2 2 2
{ u 1 , u 2 } \{u_1,u_2\} { u 1 , u 2 } 是 W W W dim ( W ) = 2 \dim(W)=2 dim ( W ) = 2
u 3 = u 1 − 2 u 2 . u_3=u_1-2u_2. u 3 = u 1 − 2 u 2 . 同維數的子空間
維數也控制一個子空間何時等於另一個子空間。設 W W W V V V W W W
dim ( V ) ≤ dim ( W ) . \dim(V) \le \dim(W). dim ( V ) ≤ dim ( W ) . 此外，
dim ( V ) = dim ( W ) 當且僅當 V = W . \dim(V)=\dim(W) \quad\text{當且僅當}\quad V=W. dim ( V ) = dim ( W ) 當且僅當 V = W . 包含關係這個假設很重要。單單維數相等，不足以推出兩個子空間相等。例
如 R 2 R^2 R 2
等維推出相等的理由是：取 V V V W W W dim W \dim W dim W W W W
例題
用維數證明兩個子空間相等 令
V = Span { [ 1 0 0 ] , [ 0 1 0 ] } V=\operatorname{Span}\left\{
\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}
\right\} V = Span ⎩ ⎨ ⎧ 1 0 0 , 0 1 0 ⎭ ⎬ ⎫ 並令
W = { [ x y 0 ] : x , y ∈ R } . W=\left\{
\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}:x,y\in R
\right\}. W = ⎩ ⎨ ⎧ x y 0 : x , y ∈ R ⎭ ⎬ ⎫ . V V V V ⊆ W V \subseteq W V ⊆ W dim ( W ) = 2 \dim(W)=2 dim ( W ) = 2 V V V dim ( V ) = 2 \dim(V)=2 dim ( V ) = 2
因此 V V V W W W V = W V=W V = W
常見錯誤
常見錯誤
維數不是單純在數座標個數 R 3 R^3 R 3
另一個常見錯誤，是檢查完張成就停下來。能張成整個空間，並不代表那組
向量已經沒有冗餘。
快速檢查
思考檢查
{ ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) } \{(1,0), (2,0)\} {( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 )} R 2 R^2 R 2 解答 · 答案 不可以。這兩個向量方向相同，所以線性相依；而且它們無法張成垂直方向，
因此也張不出整個 R 2 R^2 R 2
思考檢查
若 dim ( V ) = 3 \dim(V) = 3 dim ( V ) = 3 V V V 解答 · 答案 基本上不用再證明別的。因為在一個三維空間裡，任何三個線性獨立向量都
會自動形成基底，所以它們已經張成 V V V
練習
思考檢查
向量 u 1 = ( 1 , 1 , 0 ) u_1 = (1,1,0) u 1 = ( 1 , 1 , 0 ) u 2 = ( 1 , 0 , 1 ) u_2 = (1,0,1) u 2 = ( 1 , 0 , 1 ) u 3 = ( 0 , 1 , 1 ) u_3 = (0,1,1) u 3 = ( 0 , 1 , 1 ) R 3 R^3 R 3 解答 · 引導解答 令
α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3 = 0. \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \alpha_3 u_3 = 0. α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3 = 0. 逐個座標比較，可得
α 1 + α 2 = 0 , α 1 + α 3 = 0 , α 2 + α 3 = 0. \alpha_1 + \alpha_2 = 0,\quad
\alpha_1 + \alpha_3 = 0,\quad
\alpha_2 + \alpha_3 = 0. α 1 + α 2 = 0 , α 1 + α 3 = 0 , α 2 + α 3 = 0. 以前兩式相減，可得 α 2 = α 3 \alpha_2 = \alpha_3 α 2 = α 3 2 α 2 = 0 2\alpha_2 = 0 2 α 2 = 0 α 2 = 0 \alpha_2 = 0 α 2 = 0 α 1 = α 3 = 0 \alpha_1 = \alpha_3 = 0 α 1 = α 3 = 0
所以三個向量線性獨立。由於 R 3 R^3 R 3 R 3 R^3 R 3
建議先讀
這一節建立在
6.4 線性相依與線性獨立
和
6.3 線性組合與張成 之上。
