Cauchy-Schwarz 與三角不等式

實內積、誘導範數與所需不等式

實向量空間上的內積是取值於實數的映射 $\langle u,v\rangle$，它對稱、對每個變量線性，並且正定：$v\ne0$ 時 $\langle v,v\rangle>0$。線性性給出 $\langle0,v\rangle=0$。定義 $\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$，則範數恰在零向量處為零，且 $\|cv\|=|c|\|v\|$。$\mathbb R^m$ 上的標準例子是 $\langle u,v\rangle=\sum_{i=1}^mu_iv_i$。內積為零的向量稱為正交；不同成員互相正交且每個成員範數為一的列表稱為正交規範列表。

若 $v\ne0$，將 $t=\langle u,v\rangle/\|v\|^2$ 代入非負平方 $\|u-tv\|^2$，以雙線性展開得 $\|u\|^2-\langle u,v\rangle^2/\|v\|^2\ge0$，故 $|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|$。若 $v=0$，該不等式直接成立。對 $v\ne0$，等號意味着 $\|u-tv\|=0$，等價於 $u=tv$；零向量情形也取等。最後展開 $\|u+v\|^2$ 並對交叉項使用該界，得到 $\|u+v\|^2\le(\|u\|+\|v\|)^2$。待開方的兩邊非負，因此得到三角不等式。這確實定義了範數，任何非零向量的歸一化都只除以正實數；這裏不使用複雙線性的約定。

控制長度平方中的交叉項

內積給你長度與夾角的公式。接下來的問題是：這些公式究竟受到甚麼限制？

兩條不等式給出了相應的界：

• Cauchy-Schwarz 不等式控制內積的大小，不會超過兩個向量長度的乘積；
• 三角不等式說明，由 $0$ 走到 $u+v$ 的直路，永遠不會比先走 $u$ 再走 $v$ 更長。

這兩條不等式說明歐氏幾何為何能夠用代數語言表達。

困難會在展開範數平方時出現。例如，$\|u+v\|^2$ 含有帶符號的交叉項 $2\langle u,v\rangle$，但長度必須非負，而且最好能在不知道向量坐標的 情況下加以控制。Cauchy-Schwarz 恰好提供這個控制；它把上述代數展開轉 化為三角不等式。各個等號條件則進一步記錄兩個向量是在同一條射線上， 還是在同一直線的相反方向上。相同的估計亦說明：向量只有小幅變化時， 其長度以及與固定向量的內積也只會小幅變化。

按這個次序證明還有結構上的理由。由內積公理可立即得到誘導長度的非負 性與齊次性，三角不等式卻並非直接可見。只有先用 Cauchy-Schwarz 控制 交叉項，範數的全部公理才告成立，而 $d(x,y)=\|x-y\|$ 也才真正成為度 量。因此，本節不只匯集幾條方便的估計；它完成了由內積到長度、距離與 夾角的邏輯過渡。

實內積空間中的約定

定義

實內積空間與誘導範數

本節始終假設 $V$ 是一個實內積空間。因此 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 取實數值，並滿足雙線性、對稱性與正定性。 由內積誘導的範數定義為

$$\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle},$$

所以 $\|x\|\ge0$，而且等號成立當且僅當 $x=0$。標準模型是帶點積的 $V=\mathbb{R}^m$，不過下面的證明只用到實內積公理，所以對任意實內積 空間都成立。

若存在不全為零的實數 $a,b$ 使 $av+bw=0$，就稱 $v,w$ 線性相關。按這 個定義，任何包含零向量的向量對都線性相關。要在不另行排除零向量的情 況下準確陳述等號條件，這項約定不可省略。複內積空間涉及共軛線性，而 夾角也需要另一番討論；本節並未把它們默默納入目前的陳述。

Cauchy-Schwarz 不等式

定理

Cauchy-Schwarz 不等式

對所有向量 $v,w\in V$，

$$|\langle v,w\rangle|\le\|v\|\,\|w\|.$$

而且等號成立當且僅當 $v$ 與 $w$ 線性相關。

這條不等式表示：內積的絕對值，不可能大過兩個向量長度的乘積。對非零 向量 $v$ 與 $w$，下列商落在 $[-1,1]$ 內，因此可完整定義兩者的夾角為

$$\theta= \arccos\!\left( \frac{\langle v,w\rangle}{\|v\|\,\|w\|} \right)\in[0,\pi].$$

等價地，$\cos\theta=\langle v,w\rangle/(\|v\|\,\|w\|)$。若其中一個 向量是零向量，分母便為零，所以此公式不能定義夾角。對非零向量而言， $\theta=0$ 表示它們在同一條射線上，$\theta=\pi/2$ 表示正交， $\theta=\pi$ 則表示它們在相反射線上。

這個定義只取決於方向。把任一向量乘以正純量不會改變上述商；若恰好把 其中一個向量乘以負純量，其方向反轉，夾角便由 $\theta$ 變為 $\pi-\theta$。在兩個端點，商分別為 $1$ 與 $-1$，對應正比例與負比 例。Cauchy-Schwarz 中的絕對值有意把兩種端點都列作取等情況，三角不 等式卻會把它們區分開來。零向量不能歸一化，也沒有方向；這正是除了分 母為零之外，不在這裡為它指定夾角的概念原因。

證明

用二次多項式證明

先考慮 $w=0$。此時 Cauchy-Schwarz 的兩邊同為 $0$，等號立即成立；而 包含零向量的一對向量必定線性相關。因此，不等式和上述等號條件在這個 情況都成立。

現在假設 $w\ne0$，並考慮函數

$$F(t)=\|tw-v\|^2.$$

由於範數平方永遠非負，所以對所有實數 $t$ 都有 $F(t)\ge0$。把它展 開得

$$F(t)=t^2\langle w,w\rangle-2t\langle v,w\rangle+\langle v,v\rangle.$$

由於首項係數是 $\|w\|^2>0$，這是一個真正的二次多項式。它對所有實數 都非負，因此其判別式不能為正：

$$4\langle v,w\rangle^2-4\|v\|^2\|w\|^2\le0.$$

於是

$$|\langle v,w\rangle|\le\|v\|\,\|w\|.$$

在 $w\ne0$ 的情況，Cauchy-Schwarz 取等當且僅當判別式為零，亦即 $F(t)$ 有實根。這表示存在某個實數 $t$ 使 $tw-v=0$，所以 $v$ 是 $w$ 的純量倍。反過來，若 $v$ 與 $w$ 線性相關，因 $w\ne0$，可寫成 $v=tw$，直接代入便得等號。連同 $w=0$ 的情況，這就證明了完整的等號 條件，包括其中一個或兩個向量都是零向量的所有情況。

二次式的投影意義

同一個計算也說明這個證明為何有自然的幾何意義。當 $w\ne0$ 時，令

$$t_0=\frac{\langle v,w\rangle}{\|w\|^2}, \qquad r=v-t_0w.$$

於是

$$\langle r,w\rangle =\langle v,w\rangle-t_0\|w\|^2=0.$$

所以 $t_0w$ 是 $v$ 沿 $w$ 所張成直線的分量，$r$ 則是正交餘項。把正 交分解 $v=t_0w+r$ 展開，可得

$$\|v\|^2 =\|t_0w\|^2+\|r\|^2 =\frac{\langle v,w\rangle^2}{\|w\|^2}+\|r\|^2.$$

由於 $\|r\|^2\ge0$，一個向量沿某條直線的分量不可能比向量本身更 長；整理後正是 Cauchy-Schwarz。等號成立當且僅當 $r=0$，也就是 $v$ 本來就在那條直線上。因此，判別式、正交投影與等號條件其實是同一事實 的三種表述。

也可以把二次式配方，直接看出其精確最小值：

$$F(t) =\|w\|^2\left(t-\frac{\langle v,w\rangle}{\|w\|^2}\right)^2 +\|v\|^2-\frac{\langle v,w\rangle^2}{\|w\|^2}.$$

第一項恰在 $t=t_0$ 時消失，所以最後的常數項就是 $F$ 的最小值，必定 非負。這會給出與判別式方法相同的不等式平方形式。更重要的是，它說明 判別式為零並非偶然的代數現象：這表示 $v$ 到 $w$ 所張成直線的最短距 離為零。此時正交餘項消失，兩個向量也就線性相關。

非負二次式給出 Cauchy–Schwarz，再由它對交叉項的估計得到三角不等式。

例題

數值檢查 Cauchy-Schwarz

令

$$v= \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix}, \qquad w= \begin{bmatrix} 4\\5\\6 \end{bmatrix}.$$

則

$$\langle v,w\rangle=32, \qquad \|v\|=\sqrt{14}, \qquad \|w\|=\sqrt{77}.$$

所以

$$|\langle v,w\rangle|=32, \qquad \|v\|\,\|w\|=\sqrt{14\cdot77}=\sqrt{1078}\approx32.83.$$

確實有

$$32\le32.83.$$

歸一化內積為 $32/\sqrt{1078}\approx0.9746$，所以夾角約為 $0.226$ 弧 度。這個數嚴格小於 $1$，說明兩向量方向相近，卻並非線性相關。

三角不等式

定理

三角不等式

對所有向量 $u,v\in V$，

$$\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|.$$

而且等號成立當且僅當 $u$ 與 $v$ 其中一個是另一個的非負純量倍，包括 其中一個是零向量的情況。

幾何意思很直接：三角形的一邊，永遠不會比另外兩邊的總和更長。

證明

兩個估計的等號必須同時成立

這裏要追蹤連續的兩個等號缺口：

$$\langle u,v\rangle\le|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\,\|v\|$$

第一個缺口控制內積的符號，第二個控制線性相關性。零向量情況分開處理， 因此不需要在這些情況下歸一化。

由

$$\|u+v\|^2 =\langle u+v,u+v\rangle =\|u\|^2+2\langle u,v\rangle+\|v\|^2$$

及 Cauchy-Schwarz，

$$\langle u,v\rangle\le|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\,\|v\|,$$

可得

$$\|u+v\|^2\le\|u\|^2+2\|u\|\,\|v\|+\|v\|^2=(\|u\|+\|v\|)^2.$$

兩邊取平方根便得到

$$\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|.$$

要在最後取等，上面一連串的兩個估計都必須取等。第一個估計要求 $\langle u,v\rangle=|\langle u,v\rangle|$，即內積非負； Cauchy-Schwarz 的界取等則要求 $u$ 與 $v$ 線性相關。若兩個向量都非 零，可寫成 $v=\lambda u$，而 $\langle u,v\rangle=\lambda\|u\|^2\ge0$ 迫使 $\lambda\ge0$。若其中 一個是零向量，等號立即成立，而零向量也是另一個向量的非負純量倍。反 過來，直接代入可見，符合這個非負純量倍條件的向量必定取等。因此，兩 個非零向量方向相反時雖會令 Cauchy-Schwarz 取等，卻不會令三角不等式 取等。

對非零 $u,v$，夾角定義把這種幾何聯繫寫得更明確：

$$\|u+v\|^2 =\|u\|^2+\|v\|^2+2\|u\|\,\|v\|\cos\theta.$$

Cauchy-Schwarz 正是斷言 $-1\le\cos\theta\le1$；採用上端點便得到三角 不等式。要在上端點取等，必須有 $\theta=0$，而不是 $\theta=\pi$。因此，同一直線上方向相反的向量會使 Cauchy-Schwarz 取 等，卻不能使三角不等式取等。代數中的符號條件與幾何中的同射線條件， 實際上是等價的兩種描述。

還可以量化這幅圖景。對非零向量作歸一化： $\widehat u=u/\|u\|$、$\widehat v=v/\|v\|$。它們都是單位向量，而且

$$\|\widehat u-\widehat v\|^2 =2-2\langle\widehat u,\widehat v\rangle =2-2\cos\theta =4\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right).$$

因為 $\theta/2\in[0,\pi/2]$，取非負平方根得 $\|\widehat u-\widehat v\|=2\sin(\theta/2)$。所以夾角小時，兩個歸一 化向量在範數意義下也接近；夾角為 $\pi$ 時，兩者距離達到最大值 $2$。 類似地，$\|\widehat u+\widehat v\|=2\cos(\theta/2)$，故三角不等式的 上界 $2$ 只在夾角為零時達到。這些恆等式把等號條件轉化為單位球面上的 精確距離。

定理

反向三角不等式

對所有向量 $u,v\in V$，

$$\|u-v\|\ge\bigl|\|u\|-\|v\|\bigr|.$$

等號成立當且僅當 $u$ 與 $v$ 其中一個是另一個的非負純量倍，零向量的 情況也包括在內。

把三角不等式分別用於 $u=(u-v)+v$ 與 $v=(v-u)+u$，可得 $\|u\|-\|v\|\le\|u-v\|$ 及 $\|v\|-\|u\|\le\|u-v\|$，兩式合起來便證明上述下界。例如，若 $\|u\|\ge\|v\|$ 而且取等，則 $u=(u-v)+v$ 所用的三角不等式本身也必 須取等。因此 $u-v$ 與 $v$ 沿同一非負方向，從而 $u$ 與 $v$ 也沿同一 非負方向。另一種範數大小次序完全對稱。反過來，若兩向量符合上述非負 純量倍條件，直接計算便得等號；這也包括其中一個是零向量的情況。

這個版本在你需要下界而不是上界時，往往更容易用。

它亦可寫成對稱形式

$$\bigl|\|u\|-\|v\|\bigr|\le\|u-v\|.$$

因此，對距離 $d(u,v)=\|u-v\|$ 而言，範數函數是 1-Lipschitz 的： 向量至多改變 $\varepsilon$，其長度也至多改變 $\varepsilon$。特別地， 若 $x_n$ 在範數下趨近 $x$，則 $|\|x_n\|-\|x\||\le\|x_n-x\|$ 直接說明 $\|x_n\|$ 趨近 $\|x\|$。 這個分析結論仍是同一條反向三角不等式，並未增加任何坐標假設。

重複使用三角不等式，還可得到有限和形式

$$\left\|\sum_{k=1}^{n}x_k\right\| \le\sum_{k=1}^{n}\|x_k\|.$$

證明只需歸納：分離最後一個加項，對它與前面的部分和使用二向量三角不 等式，再對前面的部分和使用歸納假設。結合範數的齊次性，又有

$$\left\|\sum_{k=1}^{n}a_kx_k\right\| \le\sum_{k=1}^{n}|a_k|\,\|x_k\|.$$

這是在不展開坐標的情況下，控制多個向量貢獻之累積大小的標準方法。

有限和的等號條件也有一個很有用的多向量形式。設 $p$ 是正整數，並有向量 $x_1,\ldots,x_p$。展開兩個平方可得

$$\left(\sum_{i=1}^{p}\|x_i\|\right)^2- \left\|\sum_{i=1}^{p}x_i\right\|^2 =2\sum_{1\le i<j\le p} \left(\|x_i\|\,\|x_j\|-\langle x_i,x_j\rangle\right)\ge0$$

由 Cauchy-Schwarz 以及 $\langle x_i,x_j\rangle\le|\langle x_i,x_j\rangle|$， 每個兩兩缺口都非負。因此取等當且僅當每個兩兩缺口都為零。$p=1$ 時 結論立即成立；若所有向量都是零，也立即成立。否則選取一個非零向量 $w=x_k$；對 $w$ 取等，再結合二向量三角不等式的等號條件，可知每個非零 $x_i$ 都是 $w$ 的正純量倍，零向量可以存在。反過來，位於同一條正向射線 上的向量會使範數和可加。因此，取等要求所有非零向量位於同一條正向射線， 而不只是同一條直線。

同樣可以得到折線路徑不等式。對點 $t_0,\ldots,t_p$，令 $x_i=t_i-t_{i-1}$。由於

$$\sum_{i=1}^{p}x_i=t_p-t_0$$

有限和不等式給出

$$\|t_p-t_0\|\le\sum_{i=1}^{p}\|t_i-t_{i-1}\|$$

當且僅當所有非零步向量都位於同一條正向射線時取等；零步向量可以存在，全為 零的路徑也符合條件。幾何上，這表示路徑沿一個方向直線前進，沒有來回折返。 若 $t_p=t_0$，取等便進一步迫使每一步都為零。

Cauchy-Schwarz 則給出內積的相應穩定性估計。固定 $z$ 後，

$$|\langle x,z\rangle-\langle y,z\rangle| =|\langle x-y,z\rangle| \le\|x-y\|\,\|z\|.$$

若兩個位置都改變，可加上再減去 $\langle x',y\rangle$，並使用兩次 Cauchy-Schwarz，得到

$$|\langle x,y\rangle-\langle x',y'\rangle| \le\|x-x'\|\,\|y\|+\|x'\|\,\|y-y'\|.$$

這些界在不依賴坐標的情況下說明：範數與內積在小擾動下都保持穩定。

等號條件很重要

等號條件不是補充說明，而是告訴你估計何時會變得剛剛好。

• 對兩個非零向量，Cauchy-Schwarz 取等表示它們同向或反向。更一般地， 取等表示兩個向量線性相關，這也包括任何含有零向量的向量對；
• 對兩個非零向量，三角不等式取等表示它們沿同一方向，而且比例非負。 含有零向量的向量對也會取等。

例題

三角不等式取等的情況

令

$$u= \begin{bmatrix} 2\\0 \end{bmatrix}, \qquad v= \begin{bmatrix} 3\\0 \end{bmatrix}.$$

則 $v=\frac32u$，所以 $v$ 是 $u$ 的非負純量倍。於是

$$\|u+v\|=\left\| \begin{bmatrix} 5\\0 \end{bmatrix} \right\|=5 =2+3 =\|u\|+\|v\|.$$

所以等號成立。

例題

Cauchy-Schwarz 取等不能決定三角不等式中的符號

令

$$u=(2,0), \qquad v=(-3,0).$$

因為 $v=-\frac32u$，兩向量線性相關。因此 Cauchy-Schwarz 取等，直接 計算也可驗證：

$$|\langle u,v\rangle|=|-6|=6 =\|u\|\,\|v\|=2\cdot3.$$

但對三角不等式，

$$\|u+v\|=\|(-1,0)\|=1 <5=\|u\|+\|v\|.$$

這裡嚴格不等，是因為比例 $-3/2$ 為負。這個例子保護了符號條件：線性 相關足以令 Cauchy-Schwarz 取等，但三角不等式取等要求的是非負純 量倍。

常見錯誤

常見錯誤

Cauchy-Schwarz 取等不等於正交

正交表示 $\langle v,w\rangle=0$。Cauchy-Schwarz 取等表示

$$|\langle v,w\rangle|=\|v\|\,\|w\|.$$

若 $v$ 與 $w$ 都非零，取等表示兩個向量線性相關，因此不可能同時正交。 不過，若其中一個向量是零向量，兩者會同時正交和線性相關， Cauchy-Schwarz 在這個退化情況仍然取等。

常見錯誤

不要遺漏符號條件或非零假設

絕對值等式 $|\langle u,v\rangle|=\|u\|\,\|v\|$ 同時容許正純量倍與負純 量倍。三角不等式的證明還需要 $\langle u,v\rangle=|\langle u,v\rangle|$；若遺漏這一步，就會錯誤地 把反向向量也列入取等情況。另一方面，夾角公式要除以兩個範數，所以只 能在兩個向量都非零時使用。某個向量為零時，不等式本身仍然成立，卻不 能為了方便而給這個未定義的夾角隨意賦值。

快速檢查

思考檢查

Cauchy-Schwarz 對 $|\langle v,w\rangle|$ 給出甚麼估計？

直接寫出不等式。

解答 · 答案

$$|\langle v,w\rangle|\le\|v\|\,\|w\|.$$

思考檢查

若 $u$ 與 $v$ 完全同方向，三角不等式可以取等嗎？

假設其中一個是另一個的非負純量倍。

解答 · 答案

可以。這正正就是三角不等式的取等情況。

思考檢查

若 $v\perp w$，Cauchy-Schwarz 會化成甚麼？

代入 $\langle v,w\rangle=0$。

解答 · 答案

它會化成 $0\le\|v\|\,\|w\|$，自然成立。

練習

思考檢查

用 Cauchy-Schwarz 證明 $|\langle (1,2),(3,4)\rangle| \le \|(1,2)\|\,\|(3,4)\|$。

把兩邊數值都算出來。

解答 · 引導解答

左邊是

$$|1\cdot3+2\cdot4|=11.$$

右邊是

$$\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{3^2+4^2} =\sqrt5\cdot5=5\sqrt5\approx11.18.$$

因此 $11\le5\sqrt5$。

思考檢查

對 $u=(1,0)$ 與 $v=(0,1)$，求 $\|u+v\|$，並與 $\|u\|+\|v\|$ 比較。

這是直角情況。

解答 · 引導解答

$$u+v=(1,1), \qquad \|u+v\|=\sqrt2.$$

而

$$\|u\|+\|v\|=1+1=2.$$

所以 $\sqrt2\le2$，而且是不等號嚴格成立，因為兩向量不是非負純量倍。

思考檢查

若 $\|u\|=7$、$\|v\|=3$，利用反向三角不等式求 $\|u-v\|$ 的下界。

直接代公式。

解答 · 引導解答

$$\|u-v\|\ge|\|u\|-\|v\||=|7-3|=4.$$

同時記住估計與等號條件

Cauchy-Schwarz 是最基本的內積估計： $|\langle v,w\rangle|\le\|v\|\,\|w\|$。在實內積空間中，它既限制一個 向量沿另一個向量的分量，也保證兩個非零向量的夾角 $\theta=\arccos(\langle v,w\rangle/(\|v\|\,\|w\|))$ 落在 $[0,\pi]$。其取等條件是線性相關，包括所有零向量情況以及正、負兩種比 例。

用它控制 $\|u+v\|^2$ 中的交叉項，就得到三角不等式。這裡的等號條件 更嚴格：其中一個向量必須是另一個的非負純量倍。再把三角不等式用於向 量之差，便得到反向三角不等式與穩定性估計 $|\|u\|-\|v\||\le\|u-v\|$。整個證明鏈條依次是內積的正定性、 Cauchy-Schwarz、三角不等式與反向三角不等式；各等號條件所區分的，正 是「一條直線」和「一條射線」。

相關筆記

請先讀 9.1 內積、範數與夾角， 因為本節所有不等式都直接建基於那裡的定義。

而 9.2 正交集與標準正交基 與 9.3 Gram-Schmidt 正交化 中的坐標公式與投影幾何由內積的代數性質和正交性建立；本節的不等式進一步給出這些係數和餘量長度的界。