齊次方程組的解集、對稱矩陣的集合、在某一點取值為零的多項式集合，都是較大向量空間中的子集。若一個子集在原有的加法與純量乘法下仍滿足向量空間公理，它就是子空間。
為甚麼只需要檢查少數公理
設 V V V W ⊆ V W \subseteq V W ⊆ V W W W V V V V V V
真正要問的是：
W W W W W W W W W W W W W W W
所以子空間測試本質上是一個封閉性測試。
定義
子空間定義 設 V V V W ⊆ V W \subseteq V W ⊆ V
W W W 對所有 u , v ∈ W u, v \in W u , v ∈ W u + v ∈ W u + v \in W u + v ∈ W
對所有 u ∈ W u \in W u ∈ W α ∈ R \alpha \in R α ∈ R α u ∈ W \alpha u \in W α u ∈ W
那麼 W W W V V V 子空間 。
「繼承」是關鍵限定。子集若另行定義運算，可能自身構成向量空間，卻未必是原空間的子空間。這裏每次加法與純量乘法都在 V V V W W W W W W
從十條公理縮減為三個條件，還有一個邏輯步驟。結合律等恆等式可直接限制到 W W W W W W w ∈ W w\in W w ∈ W 0 w = 0 V ∈ W 0w=0_V\in W 0 w = 0 V ∈ W u ∈ W u\in W u ∈ W ( − 1 ) u = − u ∈ W (-1)u=-u\in W ( − 1 ) u = − u ∈ W W W W W W W
非空條件不能刪除。如果 W = ∅ W=\varnothing W = ∅ u , v ∈ W u,v\in W u , v ∈ W W W W W W W
把兩種封閉性合成一個線性組合條件，往往能使證明更直接。
定理
等價的子空間測試 設 V V V W ⊆ V W \subseteq V W ⊆ V W W W V V V
0 ∈ W 0 \in W 0 ∈ W
對任意 u , v ∈ W u, v \in W u , v ∈ W α , β ∈ R \alpha, \beta \in R α , β ∈ R
α u + β v \alpha u + \beta v α u + β v 仍然屬於 W W W
證明
為甚麼這個等價形式成立 先假設 W W W W W W w ∈ W w \in W w ∈ W
0 w = 0 ∈ W . 0w = 0 \in W. 0 w = 0 ∈ W . 再設 u , v ∈ W u, v \in W u , v ∈ W α , β ∈ R \alpha, \beta \in R α , β ∈ R α u ∈ W \alpha u \in W α u ∈ W β v ∈ W \beta v \in W β v ∈ W
α u + β v ∈ W . \alpha u + \beta v \in W. α u + β v ∈ W . 反過來，若 0 ∈ W 0 \in W 0 ∈ W u , v ∈ W u, v \in W u , v ∈ W α , β ∈ R \alpha, \beta \in R α , β ∈ R α u + β v ∈ W \alpha u + \beta v \in W α u + β v ∈ W W W W α = β = 1 \alpha = \beta = 1 α = β = 1
u + v ∈ W . u + v \in W. u + v ∈ W . 若取 v = 0 v = 0 v = 0 α = κ \alpha = \kappa α = κ β = 0 \beta = 0 β = 0
κ u + 0 ⋅ 0 = κ u ∈ W . \kappa u + 0 \cdot 0 = \kappa u \in W. κ u + 0 ⋅ 0 = κ u ∈ W . 所以原本三條定義也成立。
由方程定義的標準例子
先看線性方程定義的集合：右端為零，正是加法與純量乘法能保持成員條件的原因。
例題
R 2 R^2 R 2 設
W = { ( x , y ) ∈ R 2 : y = 2 x } . W = \left\{(x, y) \in R^2 : y = 2x\right\}. W = { ( x , y ) ∈ R 2 : y = 2 x } . 要證明 W W W R 2 R^2 R 2
W W W ( 0 , 0 ) (0, 0) ( 0 , 0 ) 0 = 2 ⋅ 0 0 = 2 \cdot 0 0 = 2 ⋅ 0
若 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ∈ W (x_1, y_1), (x_2, y_2) \in W ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ∈ W y 1 = 2 x 1 y_1 = 2x_1 y 1 = 2 x 1 y 2 = 2 x 2 y_2 = 2x_2 y 2 = 2 x 2
y 1 + y 2 = 2 ( x 1 + x 2 ) , y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2), y 1 + y 2 = 2 ( x 1 + x 2 ) , 所以 ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ∈ W (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \in W ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ∈ W
若 ( x , y ) ∈ W (x, y) \in W ( x , y ) ∈ W α ∈ R \alpha \in R α ∈ R y = 2 x y = 2x y = 2 x
α y = 2 ( α x ) , \alpha y = 2(\alpha x), α y = 2 ( α x ) , 所以 ( α x , α y ) ∈ W (\alpha x, \alpha y) \in W ( α x , α y ) ∈ W
故此 W W W R 2 R^2 R 2
幾何圖像與代數結論完全一致：這是一條通過原點的直線。所謂「通過原
點」不是裝飾性描述，而是零向量屬於集合的幾何痕跡。
例題
由一條齊次線性方程切出的平面 再設
W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x + 2 y + 3 z = 0 } . W = \left\{(x, y, z) \in R^3 : x + 2y + 3z = 0\right\}. W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x + 2 y + 3 z = 0 } . 同樣只需檢查三件事。
W W W ( 0 , 0 , 0 ) (0, 0, 0) ( 0 , 0 , 0 )
若 u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) u = (u_1, u_2, u_3) u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) v = (v_1, v_2, v_3) v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) W W W
u 1 + 2 u 2 + 3 u 3 = 0 , v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 = 0. u_1 + 2u_2 + 3u_3 = 0,
\qquad
v_1 + 2v_2 + 3v_3 = 0. u 1 + 2 u 2 + 3 u 3 = 0 , v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 = 0. 相加後得到
( u 1 + v 1 ) + 2 ( u 2 + v 2 ) + 3 ( u 3 + v 3 ) = 0 , (u_1 + v_1) + 2(u_2 + v_2) + 3(u_3 + v_3) = 0, ( u 1 + v 1 ) + 2 ( u 2 + v 2 ) + 3 ( u 3 + v 3 ) = 0 , 因此 u + v ∈ W u + v \in W u + v ∈ W
若 u ∈ W u \in W u ∈ W α ∈ R \alpha \in R α ∈ R
α u 1 + 2 α u 2 + 3 α u 3 = α ( u 1 + 2 u 2 + 3 u 3 ) = α ⋅ 0 = 0 , \alpha u_1 + 2\alpha u_2 + 3\alpha u_3
=
\alpha(u_1 + 2u_2 + 3u_3)
=
\alpha \cdot 0
=
0, α u 1 + 2 α u 2 + 3 α u 3 = α ( u 1 + 2 u 2 + 3 u 3 ) = α ⋅ 0 = 0 , 所以 α u ∈ W \alpha u \in W α u ∈ W
於是 W W W R 3 R^3 R 3
這個例子是「由齊次線性方程定義的集合」的原型。右邊的常數是 0 0 0
用檢查器比較各集合是否包含零向量，以及是否對加法和純量乘法封閉。
子空間測試的直接推論
一旦知道 W W W
前面的論證已給出 0 V ∈ W 0_V\in W 0 V ∈ W u ∈ W u\in W u ∈ W − u ∈ W -u\in W − u ∈ W V V V
於是兩個極端例子也自然成立：
{ 0 } \{0\} { 0 } 最小 子空間；V V V V V V 最大 子空間。
零空間一定是子空間
矩陣理論裡第一個重要的子空間家族，就是零空間。
定理
矩陣的零空間是子空間 設 A A A m × n m \times n m × n
N ( A ) = { x ∈ R n : A x = 0 } . N(A) = \left\{x \in R^n : Ax = 0\right\}. N ( A ) = { x ∈ R n : A x = 0 } . 則 N ( A ) N(A) N ( A ) R n R^n R n
證明
為甚麼 N ( A ) N(A) N ( A ) 首先，0 ∈ N ( A ) 0 \in N(A) 0 ∈ N ( A )
A 0 = 0. A0 = 0. A 0 = 0. 再設 u , v ∈ N ( A ) u, v \in N(A) u , v ∈ N ( A ) α ∈ R \alpha \in R α ∈ R A u = 0 Au = 0 A u = 0 A v = 0 Av = 0 A v = 0
A ( u + v ) = A u + A v = 0 + 0 = 0 , A(u + v) = Au + Av = 0 + 0 = 0, A ( u + v ) = A u + A v = 0 + 0 = 0 , 以及
A ( α u ) = α ( A u ) = α ⋅ 0 = 0. A(\alpha u) = \alpha(Au) = \alpha \cdot 0 = 0. A ( α u ) = α ( A u ) = α ⋅ 0 = 0. 所以 u + v ∈ N ( A ) u + v \in N(A) u + v ∈ N ( A ) α u ∈ N ( A ) \alpha u \in N(A) α u ∈ N ( A ) N ( A ) N(A) N ( A ) R n R^n R n
這個定理說明「零空間」不是方便的名字而已。齊次方程組的解集真的是
一個向量空間。
例題
一條齊次方程其實就是某個零空間 令
A = [ 1 2 3 ] . A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}. A = [ 1 2 3 ] . 則
N ( A ) = { [ x y z ] : x + 2 y + 3 z = 0 } . N(A)
=
\left\{
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
:
x + 2y + 3z = 0
\right\}. N ( A ) = ⎩ ⎨ ⎧ x y z : x + 2 y + 3 z = 0 ⎭ ⎬ ⎫ . 所以剛才那個平面，其實正是某個矩陣的零空間。由
x = − 2 y − 3 z x = -2y - 3z x = − 2 y − 3 z 可得零空間裡任意向量都可寫成
[ x y z ] = y [ − 2 1 0 ] + z [ − 3 0 1 ] . \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
y \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
+
z \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}. x y z = y − 2 1 0 + z − 3 0 1 . 因此這個子空間是一個通過原點、由兩個向量生成的平面。
例題
矩陣與多項式上的對稱條件 設 S n S_n S n n × n n\times n n × n X T = X X^T=X X T = X Y T = Y Y^T=Y Y T = Y α , β ∈ R \alpha,\beta\in\mathbb R α , β ∈ R
( α X + β Y ) T = α X T + β Y T = α X + β Y . (\alpha X+\beta Y)^T=\alpha X^T+\beta Y^T
=\alpha X+\beta Y. ( α X + β Y ) T = α X T + β Y T = α X + β Y . 所以 S n S_n S n
類似地，設 E E E P n P_n P n t t t p ( − t ) = p ( t ) p(-t)=p(t) p ( − t ) = p ( t ) E E E p , q ∈ E p,q\in E p , q ∈ E α , β \alpha,\beta α , β
( α p + β q ) ( − t ) = α p ( − t ) + β q ( − t ) = α p ( t ) + β q ( t ) = ( α p + β q ) ( t ) . (\alpha p+\beta q)(-t)=\alpha p(-t)+\beta q(-t)
=\alpha p(t)+\beta q(t)=(\alpha p+\beta q)(t). ( α p + β q ) ( − t ) = α p ( − t ) + β q ( − t ) = α p ( t ) + β q ( t ) = ( α p + β q ) ( t ) . 恆等式對每個 t t t P n P_n P n E E E
一個更廣的模式：由矩陣條件保留下來的子空間
零空間條件可以推廣：不再要求 A x = 0 Ax=0 A x = 0 A x Ax A x
例題
經矩陣乘法拉回來的子空間 設 A A A 4 × 6 4 \times 6 4 × 6 V V V R 4 R^4 R 4
W = { x ∈ R 6 : A x ∈ V } . W = \left\{x \in R^6 : Ax \in V\right\}. W = { x ∈ R 6 : A x ∈ V } . 則 W W W R 6 R^6 R 6
證明完全按照子空間測試進行：
0 ∈ W 0 \in W 0 ∈ W A 0 = 0 A0 = 0 A 0 = 0 0 ∈ V 0 \in V 0 ∈ V
若 x , y ∈ W x, y \in W x , y ∈ W A x , A y ∈ V Ax, Ay \in V A x , A y ∈ V
A ( x + y ) = A x + A y ∈ V , A(x + y) = Ax + Ay \in V, A ( x + y ) = A x + A y ∈ V , 所以 x + y ∈ W x + y \in W x + y ∈ W
若 x ∈ W x \in W x ∈ W α ∈ R \alpha \in R α ∈ R A x ∈ V Ax \in V A x ∈ V
A ( α x ) = α ( A x ) ∈ V , A(\alpha x) = \alpha(Ax) \in V, A ( α x ) = α ( A x ) ∈ V , 所以 α x ∈ W \alpha x \in W α x ∈ W
零空間其實就是這個例子的特殊情形，只要把 V V V { 0 } \{0\} { 0 }
這個觀點值得記住：很多子空間最自然的描述，不是逐個元素列出來，而
是寫成一個會被線性運算保留下來的條件。
子集合最常見的失敗方式
子空間測試雖然短，但非常嚴格。一個集合可以在多個地方失敗。
常見錯誤
平移後的直線可能不含零向量 集合 { ( x , y ) ∈ R 2 : x + y = 1 } \{(x,y)\in\mathbb R^2:x+y=1\} {( x , y ) ∈ R 2 : x + y = 1 } ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
反例模式
含零與純量乘法封閉不能保證子空間 錯誤命題。 實向量空間的每個子集，只要包含零並且對所有實數倍封閉，就一定是子空間。
考慮以下實際的實對稱矩陣及二次式的零點集：
C = diag ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) , S = { x ∈ R 4 : x T C x = 0 } . C=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1),\qquad
S=\{x\in\mathbb R^4:x^TCx=0\}. C = diag ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) , S = { x ∈ R 4 : x T C x = 0 } . 記 q ( x ) = x T C x q(x)=x^TCx q ( x ) = x T C x q ( x ) = x 1 2 − x 2 2 − x 3 2 − x 4 2 q(x)=x_1^2-x_2^2-x_3^2-x_4^2 q ( x ) = x 1 2 − x 2 2 − x 3 2 − x 4 2 q ( 0 ) = 0 q(0)=0 q ( 0 ) = 0 α \alpha α q ( α x ) = α 2 q ( x ) q(\alpha x)=\alpha^2q(x) q ( α x ) = α 2 q ( x ) S S S
現在取 u = ( 1 , 1 , 0 , 0 ) T u=(1,1,0,0)^T u = ( 1 , 1 , 0 , 0 ) T v = ( 1 , − 1 , 0 , 0 ) T v=(1,-1,0,0)^T v = ( 1 , − 1 , 0 , 0 ) T q ( u ) = 1 − 1 = 0 q(u)=1-1=0 q ( u ) = 1 − 1 = 0 q ( v ) = 1 − 1 = 0 q(v)=1-1=0 q ( v ) = 1 − 1 = 0 S S S u + v = ( 2 , 0 , 0 , 0 ) T u+v=(2,0,0,0)^T u + v = ( 2 , 0 , 0 , 0 ) T q ( u + v ) = 4 q(u+v)=4 q ( u + v ) = 4 u + v ∉ S u+v\notin S u + v ∈ / S
展開式揭示了失敗原因。對任意維數相容的實方陣 C C C
( u + v ) T C ( u + v ) = u T C u + v T C v + u T C v + v T C u . (u+v)^TC(u+v)=u^TCu+v^TCv+u^TCv+v^TCu. ( u + v ) T C ( u + v ) = u T C u + v T C v + u T C v + v T C u . 這裏給出的矩陣滿足 C T = C C^T=C C T = C u T C v u^TCv u T C v u T C v = ( u T C v ) T = v T C T u = v T C u u^TCv=(u^TCv)^T=v^TC^Tu=v^TCu u T C v = ( u T C v ) T = v T C T u = v T C u 2 u T C v 2u^TCv 2 u T C v u T C v = 2 u^TCv=2 u T C v = 2 0 + 0 + 2 ⋅ 2 = 4 0+0+2\cdot2=4 0 + 0 + 2 ⋅ 2 = 4
修正命題。 實向量空間的子集 W W W α u + β v \alpha u+\beta v α u + β v
分清兩種封閉性
不同例子揭示不同缺失條件。當 n ≥ 1 n\geq1 n ≥ 1 H = { x ∈ R n : x 1 ≥ 0 } H=\{x\in\mathbb R^n:x_1\geq0\} H = { x ∈ R n : x 1 ≥ 0 } e 1 e_1 e 1 H H H − e 1 -e_1 − e 1 R \mathbb R R
相反，Q = { ( x , y ) : x y ≥ 0 } Q=\{(x,y):xy\geq0\} Q = {( x , y ) : x y ≥ 0 } ( α x ) ( α y ) = α 2 x y ≥ 0 (\alpha x)(\alpha y)=\alpha^2xy\geq0 ( α x ) ( α y ) = α 2 x y ≥ 0 ( 1 , 0 ) , ( 0 , − 1 ) ∈ Q (1,0),(0,-1)\in Q ( 1 , 0 ) , ( 0 , − 1 ) ∈ Q ( 1 , − 1 ) ∉ Q (1,-1)\notin Q ( 1 , − 1 ) ∈ / Q
失敗不一定來自幾何圖形。實奇異 2 × 2 2\times2 2 × 2 diag ( 1 , 0 ) \operatorname{diag}(1,0) diag ( 1 , 0 ) diag ( 0 , 1 ) \operatorname{diag}(0,1) diag ( 0 , 1 )
同樣，次數恰為 n n n P n P_n P n t n t^n t n n n n n = 0 n=0 n = 0 n ≥ 1 n\geq1 n ≥ 1 t n t^n t n − t n + 1 -t^n+1 − t n + 1
快速檢查
思考檢查
為甚麼 E = { f ( x ) ∈ P n : f ( 1 ) = 0 } E = \{f(x) \in P_n : f(1) = 0\} E = { f ( x ) ∈ P n : f ( 1 ) = 0 } P n P_n P n 把 x = 1 x = 1 x = 1
解答 零多項式屬於 E E E 0 ( 1 ) = 0 0(1) = 0 0 ( 1 ) = 0 f , g ∈ E f, g \in E f , g ∈ E f ( 1 ) = g ( 1 ) = 0 f(1) = g(1) = 0 f ( 1 ) = g ( 1 ) = 0
( f + g ) ( 1 ) = f ( 1 ) + g ( 1 ) = 0. (f + g)(1) = f(1) + g(1) = 0. ( f + g ) ( 1 ) = f ( 1 ) + g ( 1 ) = 0. 若 α ∈ R \alpha \in R α ∈ R f ∈ E f \in E f ∈ E
( α f ) ( 1 ) = α f ( 1 ) = α ⋅ 0 = 0. (\alpha f)(1) = \alpha f(1) = \alpha \cdot 0 = 0. ( α f ) ( 1 ) = α f ( 1 ) = α ⋅ 0 = 0. 因此 E E E P n P_n P n
以下一題固定一個實矩陣 A ∈ M p , p ( R ) A\in M_{p,p}(\mathbb R) A ∈ M p , p ( R )
思考檢查
設 W = { X ∈ M p , p ( R ) : A X − X A = O p × p } W = \{X \in M_{p,p}(R) : AX - XA = O_{p \times p}\} W = { X ∈ M p , p ( R ) : A X − X A = O p × p } 把定義方程 A X − X A = O p × p AX - XA = O_{p \times p} A X − X A = O p × p A x = 0 Ax = 0 A x = 0
解答 零矩陣屬於 W W W
A O p × p − O p × p A = O p × p . A O_{p \times p} - O_{p \times p} A = O_{p \times p}. A O p × p − O p × p A = O p × p . 若 X , Y ∈ W X, Y \in W X , Y ∈ W κ , λ ∈ R \kappa, \lambda \in R κ , λ ∈ R
A ( κ X + λ Y ) − ( κ X + λ Y ) A = κ ( A X − X A ) + λ ( A Y − Y A ) = O p × p . A(\kappa X + \lambda Y) - (\kappa X + \lambda Y)A
=
\kappa(AX - XA) + \lambda(AY - YA)
=
O_{p \times p}. A ( κ X + λY ) − ( κ X + λY ) A = κ ( A X − X A ) + λ ( A Y − Y A ) = O p × p . 所以 κ X + λ Y \kappa X + \lambda Y κ X + λY W W W
思考檢查
為甚麼 { ( x , y ) ∈ R 2 : x + y = 1 } \{(x, y) \in R^2 : x + y = 1\} {( x , y ) ∈ R 2 : x + y = 1 } 解答 它在第一步就失敗了：零向量不在集合裡，因為
0 + 0 ≠ 1. 0 + 0 \neq 1. 0 + 0 = 1. 每個子空間都必須包含 0 0 0
練習：還原通常的子空間測試
設 W ⊆ R 4 W\subseteq\mathbb R^4 W ⊆ R 4 k = ( 1 , 0 , 3 , 0 ) T ∈ W k=(1,0,3,0)^T\in W k = ( 1 , 0 , 3 , 0 ) T ∈ W u , v ∈ W u,v\in W u , v ∈ W u − v ∈ W u-v\in W u − v ∈ W t ∈ W t\in W t ∈ W a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R a t + k ∈ W at+k\in W a t + k ∈ W W W W a t + k at+k a t + k
解答 · 先去掉固定向量再應用測試 因為 k ∈ W k\in W k ∈ W k − k = 0 ∈ W k-k=0\in W k − k = 0 ∈ W x ∈ W x\in W x ∈ W b ∈ R b\in\mathbb R b ∈ R b x + k ∈ W bx+k\in W b x + k ∈ W k ∈ W k\in W k ∈ W ( b x + k ) − k = b x ∈ W (bx+k)-k=bx\in W ( b x + k ) − k = b x ∈ W − 1 -1 − 1 x , y ∈ W x,y\in W x , y ∈ W − y ∈ W -y\in W − y ∈ W x − ( − y ) = x + y ∈ W x-(-y)=x+y\in W x − ( − y ) = x + y ∈ W
給定的非零向量用來保證非空，並不是提議一個新的零向量。每次應用差的封閉性時，兩個輸入都已被證明屬於 W W W b x + k ∈ W bx+k\in W b x + k ∈ W b x ∈ W bx\in W b x ∈ W k k k
練習：元素條件與曲線條件
判斷下列集合在通常運算下是否為子空間：M 2 , 2 ( R ) M_{2,2}(\mathbb R) M 2 , 2 ( R ) L = { [ a b c d ] : a + b = c + d } L=\{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}:a+b=c+d\} L = { [ a c b d ] : a + b = c + d } R 2 \mathbb R^2 R 2 P = { ( x , y ) : y = x 2 } P=\{(x,y):y=x^2\} P = {( x , y ) : y = x 2 }
解答 · 跟蹤定義條件在運算後的變化 對於 L L L r ( X ) = a + b − c − d r(X)=a+b-c-d r ( X ) = a + b − c − d r ( 0 ) = 0 r(0)=0 r ( 0 ) = 0 X , Y ∈ L X,Y\in L X , Y ∈ L α , β \alpha,\beta α , β r ( α X + β Y ) = α r ( X ) + β r ( Y ) = 0 r(\alpha X+\beta Y)=\alpha r(X)+\beta r(Y)=0 r ( α X + β Y ) = α r ( X ) + β r ( Y ) = 0 L L L
對於 P P P ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) ( 3 , 3 ) (3,3) ( 3 , 3 ) 3 ≠ 3 2 3\ne3^2 3 = 3 2 P P P
先讀這些內容
本節建立在
6.1 向量空間 的公理，
以及
4.1 齊次方程組與零空間
對 A x = 0 Ax = 0 A x = 0
下一節
下一節
6.3 線性組合與張成
會把子空間當成生成過程的自然輸出來處理。
