初等不等式：恆等式、定義域與等號條件

學習目標與策略

通過變形兩邊之差、非負平方與精確恆等式證明不等式，追踪分母符號，並確定等號條件。證明應解釋某個量為何非負，以及哪些假設使變形可逆。

三種方法是：把兩邊之差寫成平方和；識別 Cauchy–Schwarz 或算術–幾何平均結構；引入參數並要求所得二次式非負。在不等式鏈中，最終取等要求每一個可能嚴格的步驟都取等。

1. 從恆等式和符號開始

對非負實數 $a,b$，

$$a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0.$$

故 $(a+b)/2\ge\sqrt{ab}$，當且僅當 $a=b$ 取等。輸入非負保證根號有定義。若進一步 $a,b>0$，可除以它們的正積得到等價的倒數不等式；符號未知的分母不能這樣處理。

對非零實數 $a,b$，有精確恆等式

$$(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)-4=\frac{(a-b)^2}{ab}.$$

若 $ab>0$，左側非負；若 $ab<0$，左側非正。同一代數式因分母符號不同給出相反方向。正輸入是充分條件；餘項非負的精確條件取決於 $ab$ 的符號。

2. Cauchy–Schwarz 的完整證明與等號條件

對正整數 $n$ 和實向量 $u=(u_1,\ldots,u_n)$、$v=(v_1,\ldots,v_n)$，恆等式

$$\left(\sum_i u_i^2\right)\left(\sum_i v_i^2\right)-\left(\sum_i u_iv_i\right)^2 =\sum_{i<j}(u_iv_j-u_jv_i)^2$$

由展開得到：對角項抵消，每一對非對角項貢獻 $u_i^2v_j^2+u_j^2v_i^2-2u_iu_jv_iv_j$。餘項均為平方，故

$$\left|\sum_i u_iv_i\right|\le\sqrt{\sum_i u_i^2}\sqrt{\sum_i v_i^2}.$$

當且僅當每個交叉項 $u_iv_j-u_jv_i$ 均為零時取等。若 $v=0$，任意 $u$ 都取等。若某個 $v_j\ne0$，恆等式給出每個 $i$ 都滿足 $u_i=(u_j/v_j)v_i$，所以 $u$ 是 $v$ 的標量倍；反之標量倍使每個交叉項為零。這樣包括零向量的等號條件均得到證明。

恆等式法展示每個非負餘項。參數法則從對所有實數 $t$ 有 $\sum_i(u_i-tv_i)^2\ge0$ 出發，最小化所得二次式。兩法都有效；恆等式尤其便於看清等號和穩定性。

3. 帶權平方揭示參數範圍

對實數 $a,b$ 及實參數 $t$，

$$(1-t)a^2+tb^2-[(1-t)a+tb]^2=t(1-t)(a-b)^2.$$

當 $0\le t\le1$，右側非負，得到凸平方不等式；$t=0$、$t=1$ 或 $a=b$ 時取等。若 $t<0$ 或 $t>1$ 且 $a\ne b$，右側為負，不等式嚴格反向。使用“權重”時必須說明允許範圍。

再看 $x^2+2tx+1=(x+t)^2+1-t^2$：它對所有實數 $x$ 非負，當且僅當 $|t|\le1$。充分性由兩項非負得到；必要性通過在 $x=-t$ 處代入證明。反例可以依賴它所針對的參數。

4. 複數三角與反三角不等式

先回顧模的乘積恆等式：

展開可知共軛保持和與積，因此

$$|zw|^2=(zw)\overline{(zw)}=(z\overline z)(w\overline w)=|z|^2|w|^2.$$

兩邊的平方根均非負，故 $|zw|=|z||w|$。模是非負實數尺度，不是複數之間的次序關係。

對 $\xi=x+iy$（$x,y\in\mathbb R$），$|\xi|=\sqrt{x^2+y^2}\ge|x|\ge x=\operatorname{Re}\xi$。

對複數 $z,w$，展開得

$$|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2\operatorname{Re}(z\overline w) \le |z|^2+|w|^2+2|z||w|=(|z|+|w|)^2.$$

這裡使用 $\operatorname{Re}\xi\le|\xi|$ 及已證明的模乘積恆等式。待開方的兩邊均非負，故 $|z+w|\le|z|+|w|$。

若兩個輸入都非零，當且僅當 $z\overline w$ 是非負實數時取等，等價於 $z=\lambda w$ 且 $\lambda>0$。允許零輸入後，可描述為處在同一非負射線上。等號條件不只是“兩數都是實數”：異號實數通常使三角不等式嚴格。

對 $z=(z-w)+w$ 使用三角不等式，得 $|z|-|w|\le|z-w|$；交換 $z,w$ 得另一方向，故

$$\bigl||z|-|w|\bigr|\le|z-w|.$$

外層絕對值不可省略，因為較大的模可能來自任一輸入。反三角界常用於直接證明模函數連續：輸入接近時，大小也接近。

5. 等號條件與穩定性估計

設 $a,b\ge0$、$a+b=2$、$ab\ge1-\varepsilon$，其中 $\varepsilon\ge0$。由精確恆等式

$$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=4-4ab\le4\varepsilon$$

可得 $|a-b|\le2\sqrt\varepsilon$。又 $a-1=(a-b)/2$、$b-1=(b-a)/2$，所以二者離等號值一均至多 $\sqrt\varepsilon$。積接近最大值時，輸入也定量地接近彼此。

類似地，複數恆等式

$$2(|z|^2+|w|^2)-|z+w|^2=|z-w|^2$$

給出 $|z+w|\le\sqrt2\sqrt{|z|^2+|w|^2}$，當且僅當 $z=w$ 取等。這比先連接三角不等式和實 Cauchy 界再协調各步等號更直接；目標呈二次形式時，可先寻找平方距離恆等式。

例：選擇證明方法

對正數 $a_j$，證明 $\sum_{j=1}^n1/a_j\ge n^2/\sum_{j=1}^na_j$ 時，直接通分並不方便。對 $u_j=\sqrt{a_j}$、$v_j=1/\sqrt{a_j}$ 用 Cauchy–Schwarz，其點積恰為 $n$，再除以正的和即得所需界。等號要求所有 $j$ 都滿足 $u_j=\lambda v_j$，因此各 $a_j$ 相等。代換的目的是簡化點積。

反駁不加限制的倒數不等式時，選符號更有效：一對異號數使精確餘項為負。構造定理、檢查定義域和寻找反例需要不同的方法。

證明與診斷練習

1. 方法選擇。 對正實數證明 $(\sum a_j)(\sum1/a_j)\ge n^2$ 並刻畫等號，說明根號與除法為何有定義。
2. 參數範圍。 求所有實數 $t$，使 $(1-t)a^2+tb^2\ge[(1-t)a+tb]^2$ 對每對實數 $a,b$ 成立。
3. 全稱量詞。 求所有實數 $t$，使 $x^2+2tx+1\ge0$ 對所有實數 $x$ 成立，並說明何時可取等。
4. 符號檢查。 分析未經符號檢查就將有理不等式兩邊乘以 $ab$ 的證明；用精確倒數恆等式給出 $ab>0$ 和 $ab<0$ 時的正確結論。
5. 複數等號。 用平方距離恆等式證明 $|z+w|^2\le2(|z|^2+|w|^2)$，並給出包括零輸入的完整等號條件。
6. 定量加強。 若 $a,b\ge0$、$a+b=S>0$、$ab\ge S^2/4-\delta$ 且 $\delta\ge0$，給出每個數到 $S/2$ 的距離界，說明為何這是穩定性結論而不只是等號結論。

完整解答

1. 令 $u_j=\sqrt{a_j}$、$v_j=1/\sqrt{a_j}$，正性使所有式子有定義。點積為 $n$，Cauchy–Schwarz 給出 $n^2\le(\sum a_j)(\sum1/a_j)$。當且僅當每個 $j$ 都滿足 $\sqrt{a_j}=\lambda/\sqrt{a_j}$ 時取等，即每個 $a_j=\lambda$；反之正數都相等時取等。沒有除以零，也沒有複數平方根分支。
2. 差為 $t(1-t)(a-b)^2$。若 $0\le t\le1$，它對所有數對非負；若 $t$ 在該區間外，取 $a=0,b=1$ 即使差嚴格為負。因此恰好閉區間 $[0,1]$ 可行。
3. 配方得 $(x+t)^2+1-t^2$。若 $|t|\le1$，它對所有 $x$ 非負；若 $|t|>1$，取 $x=-t$ 得負數，證明必要性。只有 $|t|=1$ 且 $x=-t$ 時取等；當 $|t|<1$，處處嚴格為正。
4. 正分母保持不等式方向，負分母反轉方向，零分母使原倒數無定義。與四之差為 $(a-b)^2/(ab)$，故 $ab>0$ 時乘積至少為四，當 $a=b$ 取等；$ab<0$ 時嚴格小於四，因為異號非零輸入不可能相等，分子為正。未經核實的符號是第一處錯誤推論。
5. 展開 $|z-w|^2=|z|^2+|w|^2-2\operatorname{Re}(z\overline w)$，並從 $2(|z|^2+|w|^2)$ 中減去 $|z+w|^2$，得 $|z-w|^2\ge0$。當且僅當 $z-w=0$、即 $z=w$ 時取等，包括兩數都為零。
6. 由 $(a-b)^2=S^2-4ab\le4\delta$ 得 $|a-b|\le2\sqrt\delta$。恆等式 $a-S/2=(a-b)/2$、$b-S/2=(b-a)/2$ 表明兩個距離均至多 $\sqrt\delta$。$\delta=0$ 恢複精確等號；正 $\delta$ 控制近等號情形能偏離多少，這就是穩定性的額外內容。

總結與術語

不等式恆等式先精確表達兩邊之差，再判斷符號。等號條件記錄所有非負餘項何時消失。穩定性界量化餘項較小時的接近程度。定義域條件保證根號、倒數和依賴符號的乘法有效。完整證明包括這些條件和等號描述，而不止最後的不等號。