1. 命題、邏輯與量詞次序

學習目標與數學語言

區分命題與開放謂詞，追蹤每個變量的範圍，並區分蘊含、逆命題和等價。命題具有真值。$x^2>1$ 這樣的開放謂詞，只有在指定 $x$ 或在聲明的定義域上量化之後才具有真值。同一公式在不同定義域上可以有不同真值。

對命題 $P,Q$，合取 $P\land Q$ 在兩者都為真時為真；$P\lor Q$ 是包含性的“或”，至少一個為真時便為真。否定 $\neg P$ 反轉真值。蘊含 $P\Rightarrow Q$ 僅在 $P$ 為真而 $Q$ 為假時為假。因此假前提使蘊含為真，但不證明結論本身為真。等價 $P\Leftrightarrow Q$ 包含兩個方向的蘊含。

全稱命題 $\forall x\in A\ P(x)$ 斷言每個元素都滿足謂詞；存在命題 $\exists x\in A\ P(x)$ 斷言至少有一個見證。空集上的全稱命題為真，空集上的存在命題為假；這與不存在反例或見證的情況一致。

定理：否定量詞與蘊含

以下等價關係成立：

$$\neg(\forall x\in A\ P(x))\ \Leftrightarrow\ \exists x\in A\ \neg P(x),$$ $$\neg(\exists x\in A\ P(x))\ \Leftrightarrow\ \forall x\in A\ \neg P(x), \qquad \neg(P\Rightarrow Q)\ \Leftrightarrow\ P\land\neg Q.$$

此外 $P\Rightarrow Q$ 等價於其逆否命題 $\neg Q\Rightarrow\neg P$，但一般不等價於逆命題 $Q\Rightarrow P$。

證明。 全稱斷言不成立恰當且僅當存在反例，得到第一個等價式。存在性不成立恰當且僅當每個候選對象都不滿足條件，得到第二個。蘊含為假的唯一情況是前提真、結論假，得到第三個。蘊含及其逆否命題恰在同一真值賦值下不成立；逆命題不成立則對應 $P$ 假、$Q$ 真，因此不具有同樣的等價性。

量詞次序與例題

依賴輸入的見證。 在 $\mathbb R$ 上，$\forall x\exists y\ (y>x)$ 為真：選定 $x$ 後取 $y=x+1$。但 $\exists y\forall x\ (y>x)$ 為假：對任何提議的固定 $y$，取 $x=y+1$ 便反駁它。寫成 $y=y(x)$ 可以提醒我們允許的依賴關係，但不能代替證明。

否定最終有界條件。 斷言

$$\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb N\ \forall n\ge N: |a_n-L|<\varepsilon$$

的否定為 $\exists\varepsilon_0>0\ \forall N\in\mathbb N\ \exists n\ge N:|a_n-L|\ge\varepsilon_0$。一個早期的壞項不足以否定最終收斂；每個提議的閾值之後都必須出現壞指標。

受限全稱命題。 “每個被六整除的整數都是偶數”寫作 $\forall n\in\mathbb Z\,[6\mid n\Rightarrow2\mid n]$。其否定需要一個被六整除卻不被二整除的整數。不能用不被六整除的奇數作反例，因為前提為假。

分層練習

1. 基礎。 否定“每個實數的平方都是正數”，並判斷原命題真假。
2. 核心。 在整數範圍內，寫出“若 $n$ 被四整除，則 $n$ 是偶數”的逆命題與逆否命題，判斷各自真假。
3. 核心。 比較 $\forall x\in\mathbb R\exists y\in\mathbb R:x+y=0$ 與 $\exists y\in\mathbb R\forall x\in\mathbb R:x+y=0$。
4. 證明。 否定 $\exists M>0\forall n\in\mathbb N:|a_n|\le M$，並解釋為何結果表示無界。

詳解

1. 否定為“存在實數 $x$ 使 $x^2\le0$”。見證 $x=0$ 證明否定為真，所以原全稱斷言為假。
2. 逆命題是“若 $n$ 是偶數，則四整除 $n$”，在 $n=2$ 時為假。逆否命題是“若 $n$ 不是偶數，則四不整除 $n$”，它為真，因為四的倍數是某個整數的兩倍。原命題也為真。
3. 第一個為真：指定 $x$ 後取 $y=-x$。第二個為假：固定的 $y$ 不能同時滿足 $0+y=0$ 與 $1+y=0$。
4. 否定為 $\forall M>0\exists n\in\mathbb N:|a_n|>M$。每個提議的正上界都會在某個指標處失效；指標可以依賴 $M$。這正是不存在有限絕對界。

總結與術語

謂詞含有自由變量；量詞說明變量如何取值。反例滿足全稱斷言的前提，卻違反其結論。逆命題交換蘊含兩端，逆否命題交換並否定兩端。量詞次序記錄依賴關係；應逐層否定並保留聲明的定義域。