9. 通過方程與截面研究圓錐曲線和二次曲面

學習目標與定義

配方，分類基本圓錐曲線與二次曲面，並用截面解釋高維方程。圓錐曲線是由非零二次方程定義的平面軌跡；三維二次曲面類似定義。方程可以描述退化集或空集。任意旋轉形式的完整處理需要線性代數；這裏明確推導平移和一個平面旋轉。

對正數 $a,b$，橢圓 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 有界。雙曲線 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 有兩支無界分支，拋物線 $y=x^2$ 有一條軸和一個頂點。平移版本用 $x-h,y-k$ 替換 $x,y$；配方得到這些標準形式而不改變軌跡。

命題：焦點–準線拋物線

到焦點 $(0,p)$ 和準線 $y=-p$ 等距的點，其中 $p>0$，滿足 $x^2=4py$。

證明。 到焦點的距離平方為 $x^2+(y-p)^2$，到準線的距離平方為 $(y+p)^2$。令二者相等並化簡得到 $x^2=4py$。反過來，該方程蘊含兩個非負距離的平方相等，故距離相等。它還迫使 $y\ge0$，與幾何一致。由於兩個距離均非負，這裏平方不會引入多餘點。

對中心在原點的平面二次式 $Ax^2+Bxy+Cy^2$，旋轉

$$x=u\cos\theta-v\sin\theta,\qquad y=u\sin\theta+v\cos\theta$$

經直接展開後得到的混合項系數為 $(C-A)\sin2\theta+B\cos2\theta$。可以選取角度使其為零。隨後可通過平移消去二次系數非零方向的線性項；零系數須另行處理，配方時除以零不合法。

例題

平移與退化。 方程 $x^2+4y^2-2x+8y+1=0$ 化為 $(x-1)^2+4(y+1)^2=4$，即 $(x-1)^2/4+(y+1)^2=1$。這是以 $(1,-1)$ 為中心、半軸為 $2$ 和 $1$ 的橢圓。若右邊為零，軌跡變成單點 $(1,-1)$；若右邊為負，則為空集。

旋轉的圓錐曲線。 對 $xy=1$，取 $x=(u-v)/\sqrt2$、$y=(u+v)/\sqrt2$，則 $xy=(u^2-v^2)/2$，所以方程變為 $u^2-v^2=2$，即旋轉坐標軸中的雙曲線。坐標替換可逆，不會丟失或增加點。

二次曲面的截面。 設 $a,b,c>0$。橢球 $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$ 有界；固定 $z$ 的截面在 $|z|<c$ 時為橢圓，$|z|=c$ 時為一點，超出時為空。曲面 $x^2+y^2-z^2=1$ 對每個 $z$ 都有半徑 $\sqrt{1+z^2}$ 的圓形截面，是單葉雙曲面。方程 $z^2-x^2-y^2=1$ 在 $|z|<1$ 時沒有點，且有兩個分離的葉。圓錐 $z^2=x^2+y^2$ 的兩葉在奇異頂點相接。

分層練習

1. 基礎。 對 $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ 配方並識別曲線。
2. 核心。 求 $x^2=12y$ 的焦點和準線。
3. 核心。 描述 $z=x^2+y^2$ 在 $z=k$、$x=0$ 和 $y=0$ 處的截面。
4. 證明。 證明在 $\mathbb R$ 上 $x^2+y^2+z^2=0$ 是單點，而 $x^2+y^2-z^2=0$ 不是。為甚麼二次型的符號至關重要？

詳解

1. 方程為 $(x+2)^2+(y-3)^2=4$，是以 $(-2,3)$ 為中心、半徑為二的圓，也是兩條半軸相等的特殊橢圓。
2. 與 $x^2=4py$ 比較得 $p=3$，焦點為 $(0,3)$，準線為 $y=-3$。
3. 若 $k>0$，水平截面是半徑為 $\sqrt k$ 的圓；若 $k=0$，是頂點；若 $k<0$，為空。截面 $x=0$ 和 $y=0$ 分別是拋物線 $z=y^2$、$z=x^2$。這些共同支持橢圓拋物面的名稱，但截面不能代替定義方程。
4. 每個平方都非負，故其和為零隻有三個坐標全為零。帶負號時，對每個實數 $t$，$(t,0,t)$ 都滿足第二個方程，所以它有無窮多個點，是圓錐。相反符號允許非零項抵消，而正定性阻止這種抵消。

總結與術語

圓錐曲線是二次平面軌跡；二次曲面是其高維對應對象。截面是曲面與指定平面的交集。退化軌跡是低維或以其他方式坍縮的形式，例如點或相交直線。平移改變中心；正交旋轉改變坐標軸而不改變距離。應寫明半軸參數的正性假設，並在賦予幾何名稱前檢查方程是否為空。