8. 高維仿射與正交幾何

學習目標與定義

區分點與方向，描述 $\mathbb R^n$ 中的仿射集，求直線與超平面的交點並證明距離公式。對 $u,v\in\mathbb R^n$，使用 $u\cdot v=\sum u_iv_i$、$\|u\|=\sqrt{u\cdot u}$。向量子空間包含零，且對加法和數乘封閉。仿射子空間是向量子空間 $V$ 的平移 $p+V$；它不一定包含零。

直線為 $p+tv$，其中 $v\ne0$。超平面為 $H=\{x:n\cdot x=c\}$，法向量 $n\ne0$。在三維中它是平面，在二維中是直線。不同基點或法向量倍數可能描述同一集合。超平麵包含所有垂直於 $n$ 的方向。

標準正交族 $e_1,\ldots,e_k$ 滿足當 $i\ne j$ 時 $e_i\cdot e_j=0$，並滿足 $\|e_i\|=1$。這些向量線性無關：將 $\sum a_ie_i=0$ 與 $e_j$ 作點積得到 $a_j=0$。

定理：超平面上的最近點

對 $q\in\mathbb R^n$，$H$ 上唯一最近點為

$$p=q-\frac{n\cdot q-c}{\|n\|^2}n, \qquad \operatorname{dist}(q,H)=\frac{|n\cdot q-c|}{\|n\|}.$$

證明。 直接代入得 $n\cdot p=c$，故 $p\in H$。對任意 $x\in H$，向量 $x-p$ 垂直於 $n$，而 $q-p$ 是 $n$ 的倍數。因此在下式中交叉項為零：

$$\|q-x\|^2=\|(q-p)-(x-p)\|^2=\|q-p\|^2+\|x-p\|^2.$$

距離恰在 $x=p$ 時最小。計算所示 $q-p$ 公式的長度便得到距離。非零 $n$ 保證除法有效，也保證唯一性。

更一般地，若 $V$ 有標準正交基 $e_1,\ldots,e_k$，則向 $V$ 的投影為 $\sum_j(q\cdot e_j)e_j$。從 $q$ 減去該投影得到與每個 $e_j$ 垂直的向量，因而與整個 $V$ 垂直。相同的平方距離論證證明它是 $V$ 中唯一的最近向量。對 $p+V$，先投影位移 $q-p$，再加上 $p$。

例題

高維距離。 在 $\mathbb R^4$ 中，設 $H$ 為 $x_1+x_2+x_3+x_4=2$，$q=(2,0,0,2)$。這裏 $n=(1,1,1,1)$、$n\cdot q-c=2$、$\|n\|^2=4$。垂足為 $(3/2,-1/2,-1/2,3/2)$，距離為 $2/2=1$。

交點分類。 直線 $p+tv$ 與超平面相交時滿足 $n\cdot p+t(n\cdot v)=c$。若 $n\cdot v\ne0$，恰有一個交點，對應 $t=(c-n\cdot p)/(n\cdot v)$。若 $n\cdot v=0$，當 $n\cdot p=c$ 時整條直線位於超平面中，否則沒有交點。僅說“平行”不能區分包含與不相交。

分層練習

1. 基礎。 求經過 $(1,2,3)$ 且平行於 $(2,-1,1)$ 的直線，並判斷它是否經過 $(5,0,5)$。
2. 核心。 求 $(1,-1,2)$ 到 $2x-y+2z=3$ 的距離。
3. 核心。 對標準正交向量 $e_1=(1,1,0)/\sqrt2$、$e_2=(0,0,1)$，將 $q=(2,0,3)$ 投影到它們的張成空間上。
4. 證明。 證明仿射子空間 $p+V$ 包含任意兩點之間的線段。反命題是否刻畫仿射子空間？

詳解

1. 直線為 $(1,2,3)+t(2,-1,1)$。當 $t=2$ 時到達 $(5,0,5)$，故該點在直線上。
2. 法向量為 $(2,-1,2)$，長度為 $3$。它與給定點的點積為 $7$，所以距離為 $|7-3|/3=4/3$。
3. 點積為 $\sqrt2$ 和 $3$。投影是 $\sqrt2e_1+3e_2=(1,1,3)$。餘量 $(1,-1,0)$ 與兩個基向量都垂直。
4. 將兩點寫成 $p+u,p+v$，其中 $u,v\in V$。對 $0\le t\le1$，其凸組合為 $p+((1-t)u+tv)$，仍屬於 $p+V$。反命題不成立：閉球包含任意兩點之間的線段，卻不是仿射子空間。包含線段是凸性，條件較弱。

總結與術語

仿射集是線性空間的平移。超平面是 $n$ 個變量中的一個非平凡線性方程所定義的集合。標準正交基同時具有垂直性和單位長度。凸集包含連接任意兩點的線段。正交分解可在每個有限維度證明距離結論，不需要三維叉積或圖形。