三角函數：定義域、反函數分支與有理參數化

證明

我們採用旋轉的幾何事實：繞原點的旋轉保持距離與平面定向（順、逆時針次序），並且對坐標分量是線性的。令 $R_\alpha$ 表示逆時針旋轉 $\alpha$。由單位圓，兩個坐標基向量分別旋轉為

$$R_\alpha e_1=(\cos\alpha,\sin\alpha)^T,\qquad R_\alpha e_2=(-\sin\alpha,\cos\alpha)^T.$$

由線性性，它對角為 $\beta$ 的點的作用為

$$R_\alpha(\cos\beta,\sin\beta)^T =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)^T.$$

從幾何上看，連續旋轉的角度相加，所以同一點也是 $(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))^T$。比較坐標即證明兩個恆等式，而無須預先使用它們。令 $\beta=\alpha=\theta$，得到 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 和 $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$。恆等式對定義域內每個輸入成立；方程詢問哪些輸入使特定等式成立。

三角方程與分支

三角方程不僅是在代數表達式中插入正弦與餘弦。週期性產生重複解，反函數選擇受限分支，而除法可能刪去有效點或產生無定義處。下面整理這些問題，再應用圓的有理參數化。所需基礎包括單位圓定義、加法與倍角恆等式、實反三角函數主分支約定以及二次方程。

1. 記錄等價與單向變形

若新舊方程在固定的允許定義域 $D$ 中有完全相同的解，則變形是等價的。兩邊加上同一實表達式 $h(x)$，須先保證 $h$ 在 $D$ 的每一點都有定義，才是等價變形。兩邊乘以 $h(x)$ 時，還須保證它在 $D$ 上處處非零。若一個有定義的乘數可能為零，乘法會引入候選解；除法則必須限制到它非零的點，可能丟失解。將實數方程平方會保留 $D$ 中所有原解，但可能增加其他解，因為相反數的平方相等。這些規則並不允許在某個允許輸入上進行無定義的運算：例如，在 $\mathbb R$ 上給 $x=0$ 兩邊加 $1/x$，會刪掉其唯一解。

例：診斷平方。 在 $[0,2\pi]$ 上求解 $\sin x+\cos x=1$。平方得到 $1+\sin2x=1$，所以候選值為 $0,\pi/2,\pi,3\pi/2,2\pi$。代回原方程保留 $0,\pi/2,2\pi$，排除左邊等於 $-1$ 的兩個值。候選方程是必要條件，卻不是充分條件。也可以寫成 $\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\pi/4)$，在正確平移後的區間上求解。檢查後兩種方法應一致。

相關表達式 $\sqrt{1-\sin^2x}$ 等於 $|\cos x|$，不總是 $\cos x$。平方根表示非負分支；丟掉絕對值便暗中加入了符號條件。

2. 反函數複合形成折疊圖像

對於 $x\in[0,2\pi]$，

$$\arcsin(\sin x)= \begin{cases} x,&0\le x\le\pi/2,\\ \pi-x,&\pi/2\le x\le3\pi/2,\\ x-2\pi,&3\pi/2\le x\le2\pi. \end{cases}$$

每個分支的正弦值都與 $x$ 相同，而且落在反正弦的值域內；該值域內的唯一性證明了這個公式。重合端點處的各式一致，因此沒有歧義。同理，$\arccos(\cos x)=x$ 在 $[0,\pi]$ 上成立，在 $[\pi,2\pi]$ 上則等於 $2\pi-x$。

例：反函數方程。 要在 $[0,2\pi]$ 上解 $\arcsin(\sin x)=\arccos(\cos x)$，比較分支公式。在 $[0,\pi/2]$ 上兩者都等於 $x$。在 $[\pi/2,\pi]$ 上，等式 $\pi-x=x$ 只給出公共端點 $\pi/2$。在 $[\pi,3\pi/2]$ 上，反正弦值非正，反餘弦值為正。在 $[3\pi/2,2\pi]$ 上，等式 $x-2\pi=2\pi-x$ 給出 $2\pi$。因此完整解集是 $[0,\pi/2]\cup\{2\pi\}$。若假定兩個複合式都能直接消去，就會錯誤地得到整個區間。

證明：反函數分支與全部週期解

我們使用正弦、餘弦的單位圓幾何定義及已經證明的加法公式。基本幾何約定為：沿單位圓逆時針走一周的角度為 $2\pi$；每個點的角度模 $2\pi$ 唯一，而指定半圓上的每個點都有位於所述半周區間的對應角度。坐標正負按通常的象限規則確定。這些是幾何先修事實，不是導數公式。

嚴格單調性。 將加法公式相減，得到

$$\sin y-\sin x=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{y-x}{2},\qquad \cos x-\cos y=2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{y-x}{2}.$$

若 $-\pi/2\le x<y\le\pi/2$，第一式中的餘弦因子和正弦因子均為正，所以正弦在該區間嚴格遞增。若 $0\le x<y\le\pi$，第二式中的兩個正弦因子均為正，所以餘弦嚴格遞減。若 $-\pi/2<x<y<\pi/2$，則

$$\tan y-\tan x=\frac{\sin(y-x)}{\cos x\cos y}>0,$$

因為 $0<y-x<\pi$ 且兩個餘弦均為正。因此正切在該開區間嚴格遞增。正弦、餘弦的論證包括有限端點，而且沒有除以可能為零的因子。

滿射性與精確值域。 對任意 $c\in[-1,1]$，單位圓點 $(\sqrt{1-c^2},c)$ 位於右半圓，所以有角度落在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 且正弦為 $c$。點 $(c,\sqrt{1-c^2})$ 位於上半圓，所以有角度落在 $[0,\pi]$ 且餘弦為 $c$。由於點位於單位圓，正弦、餘弦的值都不可能超出 $[-1,1]$。對任意實數 $t$，點 $(1,t)/\sqrt{1+t^2}$ 位於去掉兩端點的右半圓，其角度 $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ 滿足 $\tan\theta=t$。因此三個限制函數分別雙射到 $[-1,1]$、$[-1,1]$ 和 $\mathbb R$；其反函數正是具有這些定義域和分支值域的 $\arcsin$、$\arccos$ 與 $\arctan$。

全部解，而非只有主值。 若 $|c|\le1$ 且 $\alpha=\arcsin c$，縱坐標為 $c$ 的圓上點，其橫坐標只能是 $\sqrt{1-c^2}$ 或 $-\sqrt{1-c^2}$。它們對應角度 $\alpha$ 和 $\pi-\alpha$。由角度模一整周的唯一性，全部解恰為 $\theta=\alpha+2k\pi$ 或 $\theta=\pi-\alpha+2k\pi$，其中 $k\in\mathbb Z$。當 $c=\pm1$ 時，兩族解重合，不會增加額外解；當 $|c|>1$ 時無解。同理，設 $\beta=\arccos c$，則 $\cos\theta=c$ 的全部解為 $\theta=\pm\beta+2k\pi$。對實數 $t$，設 $\gamma=\arctan t$，斜率為 $t$ 的圓上點是對徑點 $\pm(1,t)/\sqrt{1+t^2}$，所以 $\tan\theta=t$ 的全部解為 $\theta=\gamma+k\pi$；正切的極點始終不允許取入。這在不使用微積分的情況下證明了分支限制與各週期解族的完整性。

3. 正切加法需要判斷分支

設 $\alpha=\arctan u$、$\beta=\arctan v$，兩者均位於 $(-\pi/2,\pi/2)$。當 $1-uv\ne0$ 時，正切加法公式給出 $\tan(\alpha+\beta)=(u+v)/(1-uv)$。應用 $\arctan$ 返回的是主值區間內的代表，並不自動等於實際的角度之和。

對於 $u,v>0$，有 $\alpha+\beta\in(0,\pi)$。因為 $\cos\alpha\cos\beta>0$，角度和的餘弦與 $1-uv$ 同號。因此

$$\arctan u+\arctan v= \begin{cases} \arctan\frac{u+v}{1-uv},&uv<1,\\ \pi/2,&uv=1,\\ \pi+\arctan\frac{u+v}{1-uv},&uv>1. \end{cases}$$

這是一項推導出的分情況結論，而不是無條件套用的恆等式。當 $uv=1$ 時，商式無定義，但角度之和存在。對單個非零實數 $x$，同樣的分支分析得到：若 $x>0$，則 $\arctan x+\arctan(1/x)=\pi/2$；若 $x<0$，則 $-\pi/2$。

4. 推導正切半角參數化

經過圓上固定點 $(-1,0)$ 的直線斜率為 $t$，方程為 $y=t(x+1)$。代入 $x^2+y^2=1$ 得

$$x^2+t^2(x+1)^2-1=(x+1)[(1+t^2)x+t^2-1]=0.$$

一個交點是固定點，另一個是

$$x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad y=\frac{2t}{1+t^2},\qquad t\in\mathbb R.$$

分母恆正。反過來，除 $(-1,0)$ 外每個圓上點都具有有限參數 $t=y/(1+x)$，代入可恢復它的坐標。因此該公式恰好描述除去一個點的圓，而不是毫無例外地描述整個圓。

對於圓上點 $(\cos\theta,\sin\theta)$，若 $\theta\not\equiv\pi\pmod{2\pi}$，由倍角恆等式得到

$$t=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\tan(\theta/2), \quad \cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad \sin\theta=\frac{2t}{1+t^2}.$$

推導解釋了為何漏掉 $\pi$ 的奇數倍，並給出逆變換，因此也說明了何時將三角方程換成有理方程才窮盡所有解。

例：有理變換。 在 $[0,2\pi)$ 上求解 $\cos\theta+2\sin\theta=2$。先檢查遺漏點：當 $\theta=\pi$ 時左邊為 $-1$，不等於 2。對於其他點，代入有理公式：

$$1-t^2+4t=2(1+t^2),\qquad 3t^2-4t+1=0.$$

因此 $t=1$ 或 $1/3$。對應的圓上點為 $(0,1)$ 和 $(4/5,3/5)$，給出 $\theta=\pi/2$ 和 $\theta=2\arctan(1/3)$。第一個點在正 $y$ 軸上，第二個點在第一象限；兩者都滿足原方程。遺漏點已單獨檢查，故沒有漏掉分支。

5. 根據問題選擇方法

對於單個正弦或餘弦方程，先寫出完整週期解族，再與指定區間取交集。對於反函數複合方程，推導相關的分段折疊式。對於線性組合 $A\sin x+B\cos x$，振幅與相位揭示其值域和解的個數。對於正弦餘弦的有理表達式，半角代換可以將問題化為代數，但必須檢查遺漏點和原分母。平方後的方程給出候選值，必須回到原符號條件檢驗。

對於不等式，整個分支區間都重要，而不僅是孤立的根。例如，在 $[0,2\pi]$ 上的 $\sin x+\cos x>1$，在平移區間 $[\pi/4,9\pi/4]$ 上變為 $\sin(x+\pi/4)>1/\sqrt2$。唯一解區間是 $0<x<\pi/2$；滿足等號的端點排除。圖像可以提示該區間，而平移後的正弦不等式證明它。

分層綜合與診斷

1. 反函數定義域。 求滿足 $\arcsin(\sin x)=x$ 的所有實數 $x$，不用有限角度試驗，而證明兩個包含方向。
2. 原分母。 在 $[0,2\pi)$ 上解 $\sin x/(1+\cos x)=1$。解釋為甚麼展開乘法所得方程可能含無效的額外點。
3. 分支修正。 用主值 $\arctan(4/3)$ 和適當的 $\pi$ 倍數表示 $2\arctan2$。
4. 絕對值。 求 $\sqrt{1-\sin^2x}=\cos x$ 的完整實數解集。
5. 有理幾何。 證明每個滿足 $x^2+y^2=1$ 且 $(x,y)\ne(-1,0)$ 的有理圓點 $(x,y)$ 都能由半角公式中的有理參數 $t$ 得到，反向也成立。
6. 參數分類。 對實數 $A,B,C$，分類方程 $A\sin x+B\cos x=C$ 在模 $2\pi$ 意義下解的個數，包括 $A=B=0$ 和相切情況。

完整解答

1. 若 $x\in[-\pi/2,\pi/2]$，正弦在該區間上一一對應到 $[-1,1]$，其反函數返回 $x$。反過來，反正弦的輸出總在此區間，故相等迫使 $x$ 位於其中。因此該區間恰是解集，沒有其他週期副本，因為右邊是真正的實數 $x$。
2. 原分母在 $x=\pi$ 處為零，故該點排除。有效的半角關係將方程化為 $t=1$，在指定區間得到 $x=\pi/2$。乘開得到 $\sin x=1+\cos x$，它也在 $\pi$ 成立，因為兩邊均為零，但該點不在原定義域。回查原分母即可排除。
3. 取 $u=v=2$，乘積滿足 $uv=4>1$。加法公式給出 $2\arctan2=\pi+\arctan(-4/3)=\pi-\arctan(4/3)$。角度和位於 $(\pi/2,\pi)$；單獨的主值負反正切不能表示它。
4. 左邊等於 $|\cos x|$，故當且僅當 $\cos x\ge0$ 時成立。完整解集為 $\bigcup_{k\in\mathbb Z}[-\pi/2+2k\pi,\pi/2+2k\pi]$。端點包含在內，因為兩邊均為零。
5. 有理參數給出有理坐標，因為兩個公式只使用有理運算且 $1+t^2\ne0$；直接代入可得圓的恆等式。反過來，對不是遺漏點的有理點，$1+x\ne0$ 且 $t=y/(1+x)$ 為有理數。前面的逆變換恢復該點。遺漏點本身也是有理點，但在這個參數化中從它自身出發沒有有限斜率；必須單獨列出。
6. 若 $A=B=0$，則當 $C=0$ 時每個角都是解，當 $C\ne0$ 時沒有解。否則令 $R=\sqrt{A^2+B^2}>0$，並選取 $\phi$ 使 $\cos\phi=A/R$、$\sin\phi=B/R$。方程為 $R\sin(x+\phi)=C$。若 $|C|>R$，沒有解；若 $|C|=R$，在模 $2\pi$ 意義下有一個解類，位於正弦的頂部或底部；若 $|C|<R$，有兩個不同解類。按週期取模，或在長度為 $2\pi$ 的半開區間計數，可避免重複計算端點。

總結與術語

等價變形在聲明的定義域上保留完整解集。候選方程只給出必要條件。反函數複合的折疊將值反射到主值範圍。有理參數化用一個參數的有理函數表示坐標，並需要檢查遺漏點。選擇合適的方法可以揭示結構，定義域和分支記錄則保證結構在數學上有效。