集合與函數：先判斷定義域再進行代數運算

學習目標

準確使用集合記號，區分同時成立的條件與可選分支，並在運算前確定定義域。

1. 元素、子集與空集

$x\in A$ 表示 $x$ 是元素；$A\subseteq B$ 表示 $A$ 的每個元素都屬於 $B$。這兩種陳述的對象類型不同。集合由其元素決定，而不由排列順序或重複次數決定：$\{1,2,2\}=\{2,1\}$。空集 $\varnothing$ 沒有元素，是每個集合的子集，因為不存在違反包含關係的元素。

集合 $\{\varnothing\}$ 不是空集：它有一個元素，即空集。冪集 $\mathcal P(A)$ 是 $A$ 的所有子集組成的集合，總含有 $\varnothing$；這不意味著每個 $A$ 都滿足 $\varnothing\in A$。例如實區間 $[0,1]$ 包含的是數，而不是作為額外端點的集合。

實區間記號記錄端點是否屬於區間：$(a,b)$ 排除兩個端點，$[a,b]$ 包含兩個端點，半開區間包含方括號指明的端點。無窮不是實數元素，延伸到無窮處總用圓括號。

2. 集合運算與邏輯連接詞

補集一定要先指定全集 $E$。在這一單元之中，我們通常默認所有集合都在某個 固定 $E$ 之中，所以 $A^c$ 也就是 $E \setminus A$。

這裡以 $U$ 表示上述固定全集。具體記為

$$A\cup B=\{x\in U:x\in A\text{ or }x\in B\},\quad A\cap B=\{x\in U:x\in A\text{ and }x\in B\},$$ $$A^c=U\setminus A,\qquad A\setminus B=\{x\in A:x\notin B\}.$$

“或”是包含兩者都成立的或。補集依賴全集，而 $A\setminus B$ 由這兩個集合確定。

命題：De Morgan 與差集法則

對固定全集的子集，$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$、$(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$，以及 $A\setminus B=A\cap B^c$。

證明。 元素不屬於聯集，當且僅當它兩個集合都不屬於，得到第一條；它不屬於交集，當且僅當至少有一個所屬關係不成立，得到第二條。屬於差集意味著屬於 $A$ 且不屬於 $B$，得到第三條。每一步都是等價關係，因此證明了兩個方向的包含。

對有限集合，$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$：前兩個基數相加時交集被數了兩次，減去一次即可。Cartesian 積 $A\times B$ 包含有序對 $(a,b)$，故有限基數為 $|A||B|$：每個第一分量都對應 $|B|$ 個第二分量。這是計數結論，並非概率事件獨立的假設。

3. 函數在每個聲明的輸入上恰有一個輸出

定義

函數

由 $X$ 到 $Y$ 的函數，是 $X \times Y$ 的一個子集，並且要求 $X$ 中每個 $x$ 都只會配對到 $Y$ 中唯一一個 $y$。

函數 $f:X\to Y$ 的定義域為 $X$、陪域為 $Y$；像或值域是 $f(X)$，不一定填滿 $Y$。圖像是 $X\times Y$ 的子集，每個輸入恰對應一個有序對。若一個公式在聲明包含的某輸入上無定義，它就沒有在所聲明的定義域上定義函數。

對目標子集 $B\subseteq Y$，原像 $f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}$ 即使沒有反函數也有定義。整個陪域上的反函數則要求雙射：單射排除兩個輸入共享輸出，滿射保證每個目標都有原像。

定義域選擇例。 從 $\mathbb R$ 到 $[0,\infty)$ 的規則 $x\mapsto x^2$ 是滿射但不是單射。把定義域限制為 $[0,\infty)$ 後，它是雙射，反函數為 $\sqrt y$。若將陪域聲明為整個 $\mathbb R$，即使作了該限制也不是滿射。定義域和陪域是函數的數據。

4. 同時進行的運算取定義域交集

兩個實函數相加、相乘或相除時，輸入必須屬於兩個原定義域；相除還要求分母非零。平方根要求被開方數非負，對數要求真數嚴格為正。這些條件同時成立，因此取交集。

設 $f_a(x)=\sqrt{a-x}/(x+1)$，參數 $a$ 為實數。其定義域為 $\{x:x\le a\}\setminus\{-1\}$。按參數分類：

• 若 $a<-1$，定義域為 $(-\infty,a]$，被排除的值本已在區間外。
• 若 $a=-1$，定義域為 $(-\infty,-1)$；被開方數允許端點，但分母排除它。
• 若 $a>-1$，定義域為 $(-\infty,-1)\cup(-1,a]$。

再令 $g_a(x)=\ln(f_a(x))$。對數要求商嚴格為正；平方根分子不可能為負，因此須 $x<a$ 且 $x>-1$。故 $a>-1$ 時定義域為 $(-1,a)$，$a\le-1$ 時為空。取對數改變了定義域，不能只保留被開方數與分母條件。空定義域在數學上是可能的；對某個實模型而言，它也可能表示沒有允許的輸入。

5. 分段備選分支取聯集

考慮規則：當 $x\le0$ 使用 $\sqrt{-x}$，當 $x>0$ 使用 $\ln(x-1)$。第一分支在 $(-\infty,0]$ 有效；第二分支須同時滿足 $x>0$ 和 $x-1>0$，得 $(1,\infty)$。實際定義域是聯集 $(-\infty,0]\cup(1,\infty)$。

它不是交集：沒有輸入需要同時使用兩個備選分支。它也不是全體實數：分支條件 $x>0$ 不會使 $\ln(x-1)$ 在 $(0,1]$ 上有定義。分段規定須使各分支在其指定輸入上有有效公式，且重疊處輸出相容；若重疊分支輸出不同，規則便不滿足函數的單值要求。

相比之下，普通和 $\sqrt{-x}+\ln(x-1)$ 同時要求兩個公式有定義，其實數定義域為空。同樣的兩個公式作為備選分支與作為加數，定義域邏輯不同。

6. 代數方程仍須檢查原輸入集

方程 $\sqrt{x+2}=x$ 要求 $x\ge0$，因為左側非負。平方得 $x^2=x+2$，根為二和負一；只有二滿足原方程。平方產生候選值，原來的符號條件篩選真正的解。

類似地，$(x^2-1)/(x-1)$ 約去因子後只在原定義域 $x\ne1$ 上等於 $x+1$。以所有實數為定義域的公式 $x+1$ 是不同的函數，是填補缺點後的延拓。在共同定義域上的代數值相等，並不使不同定義域的函數相等。

集合語言與模型練習

1. 元素與子集。 解釋為何總有 $\varnothing\subseteq A$，卻不一定有 $\varnothing\in A$。求 $\mathcal P(\varnothing)$ 和 $\mathcal P(\{0\})$。
2. 全集。 對 $A=[0,1]$，比較它在 $U=\mathbb R$ 和 $V=[-1,2]$ 中的補集，並在不改變 $A$ 的情況下證明結果為何不同。
3. 定義域。 求 $\ln(x^2-1)/\sqrt{4-x^2}$ 的實定義域，說明各端點或零點為何包含或排除。
4. 分段函數。 一規則在 $x\le1$ 時給出 $x$，在 $x\ge0$ 時給出 $2-x$。它按原寫法在全體實數上定義函數嗎？找出每處衝突，並說明一種修復方式，勿聲稱修復唯一。
5. 參數複合。 對 $g_a(x)=\ln(\sqrt{a-x}/(x+1))$，證明定義域非空當且僅當 $a>-1$，並解釋兩個嚴格端點來自不同條件。
6. 函數相等。 自然定義域上的 $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$ 與全實數上的 $h(x)=x+1$ 是相同函數嗎？說明確切成立的相等關係及如何定義延拓。

完整解答

1. 若包含關係失敗，必須存在空集中的元素落在 $A$ 外，這是不可能的。元素關係則是 $A$ 是否把空集當作一個元素的獨立問題，例如 $A=\{0\}$ 時不成立。空集的唯一子集是自身，故 $\mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\}$。$\{0\}$ 的子集為 $\varnothing$ 和 $\{0\}$，其冪集有兩個元素。
2. 在 $\mathbb R$ 中補集為 $(-\infty,0)\cup(1,\infty)$；在 $[-1,2]$ 中為 $[-1,0)\cup(1,2]$。補集由全集中不屬於 $A$ 的元素組成，第二個全集去掉了其外部分，但非所屬條件不變；因此必須指定全集。
3. 對數要求 $x^2-1>0$，即 $x<-1$ 或 $x>1$。分母要求平方根有定義且非零，即 $4-x^2>0$、$-2<x<2$。交集為 $(-2,-1)\cup(1,2)$。$\pm1$ 使對數真數為零，$\pm2$ 使分母為零；四點均排除，但原因不同。
4. 兩個分支都適用於 $[0,1]$，只有 $x=2-x$、即 $x=1$ 時輸出相同；它們在每個 $x\in[0,1)$ 衝突。可改為第一分支用 $x<1$、第二分支用 $x\ge1$；也可選擇其他不重疊的分界。原條件沒有指定唯一修復方式。
5. 要使對數輸入為正，平方根須嚴格為正，故 $x<a$；分子不能為負，因此分母須正，即 $x>-1$。允許輸入存在當且僅當嚴格區間 $(-1,a)$ 非空。右端點使分子為零，左端點使商的分母為零；兩個端點因不同環節而無效。
6. 兩者定義域不同，所以不是相等函數。對每個 $x\ne1$，因式分解給出 $f(x)=h(x)$，即 $f$ 等於 $h$ 限制在 $\mathbb R\setminus\{1\}$ 上的函數。定義新函數在該集合上與 $f$ 一致，並令其在 $x=1$ 處取值 $2$，就得到延拓 $h$。單獨約分不會為原函數添上該值。

總結與術語

集合運算編碼邏輯連接詞。定義域交集彙總同時滿足的要求，分段定義域聯集彙總有效的備選分支。限制縮小函數定義域，延拓增加輸入並給出相容輸出。每個函數都有原像，但不一定有反函數。集合語言使公式定義域、分支條件與模型有效性在代數運算前變得明確。