10. 複數、極坐標形式與根

在完備有序實數域中，對 $b>0$ 和整數 $m\ge1$，令 $S=\{t\ge0:t^m\le b\}$。它包含 $\min\{1,b\}>0$，且以 $\max\{1,b\}$ 為上界，故存在 $r=\sup S>0$。有限因式分解給出：對非負的 $t,r\le M$，

$$t^m-r^m=(t-r)\sum_{j=0}^{m-1}t^{m-1-j}r^j,\qquad |t^m-r^m|\le mM^{m-1}|t-r|.$$

取 $M=r+1$。若 $r^m<b$，選 $0<h<1$ 使 $mM^{m-1}h<b-r^m$，則 $(r+h)^m<b$，與上界 $r$ 矛盾。若 $r^m>b$，選 $0<h<\min\{1,r\}$ 使 $mM^{m-1}h<r^m-b$，則 $(r-h)^m>b$；由非負數整數冪的單調性，$r-h$ 是 $S$ 的上界，與上確界矛盾。因此 $r^m=b$。當 $b=0$，唯一非負根為零。同一因式分解說明 $t>s\ge0$ 時 $t^m>s^m$，故正根唯一。

證明

我們採用旋轉的幾何事實：繞原點的旋轉保持距離與平面定向（順、逆時針次序），並且對坐標分量是線性的。令 $R_\alpha$ 表示逆時針旋轉 $\alpha$。由單位圓，兩個坐標基向量分別旋轉為

$$R_\alpha e_1=(\cos\alpha,\sin\alpha)^T,\qquad R_\alpha e_2=(-\sin\alpha,\cos\alpha)^T.$$

由線性性，它對角為 $\beta$ 的點的作用為

$$R_\alpha(\cos\beta,\sin\beta)^T =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)^T.$$

從幾何上看，連續旋轉的角度相加，所以同一點也是 $(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))^T$。比較坐標即證明兩個恆等式，而無須預先使用它們。令 $\beta=\alpha=\theta$，得到 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 和 $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$。恆等式對定義域內每個輸入成立；方程詢問哪些輸入使特定等式成立。

學習目標與定義

計算複數，使用共軛與模，以極形式相乘，並求根而不遺漏分支。複數寫作 $z=a+bi$，其中 $a,b\in\mathbb R$、$i^2=-1$。加法按分量進行；乘法按分配律並使用 $i^2=-1$。複數相等要求實部和虛部分別相等。

共軛為 $\overline z=a-bi$，模為 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。直接相乘得 $z\overline z=|z|^2$。因此對 $z\ne0$，$z^{-1}=\overline z/|z|^2$。展開模的平方或使用共軛可得 $|zw|=|z||w|$。在複平面中，$|z-w|$ 是通常的歐幾里得距離。

對 $z\ne0$，極形式為 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中 $r=|z|>0$。輻角 $\theta$ 只在模 $2\pi$ 意義下確定；零沒有輻角。主輻角採用一種約定，這裏取 $-\pi<\operatorname{Arg}z\le\pi$。即使複數運算連續，商的輻角也可能跨越該分支割線。

定理：極形式乘法與De Moivre（棣莫弗）公式

對 $\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta$，

$$\operatorname{cis}\alpha\operatorname{cis}\beta=\operatorname{cis}(\alpha+\beta),\qquad (r\operatorname{cis}\theta)^n=r^n\operatorname{cis}(n\theta)$$

其中 $r>0$、$n$ 為非負整數；當 $n\ge1$ 時，冪恆等式對 $r=0$ 也成立。

證明。 展開乘積並使用正弦、餘弦加法公式得到第一個恆等式。反覆相乘以歸納法證明第二個；底數非零時也包含 $n=0$。底數為零時只在 $n\ge1$ 使用冪恆等式，避免無定義的 $0^0$。

若 $w=R\operatorname{cis}\phi\ne0$ 且 $n\ge1$，$z^n=w$ 的所有解為

$$z_k=R^{1/n}\operatorname{cis}\left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right),\qquad k=0,\ldots,n-1.$$

事實上模要求 $|z|^n=R$，輻角要求 $n\theta=\phi+2k\pi$。這 $n$ 個輻角模 $2\pi$ 互不相同，任何整數 $k$ 對模 $n$ 都歸到其中之一。若 $w=0$，唯一根為零。單個實根式不能列出所有複根。

例題

除法。 將 $(2+3i)/(1-i)$ 的分子分母乘以 $1+i$，得到 $(-1+5i)/2=-1/2+(5/2)i$。可將結果乘以 $1-i$，檢查是否得到 $2+3i$。

立方根。 由於 $-8=8\operatorname{cis}\pi$，其立方根的模為 $2$，輻角為 $\pi/3,\pi,5\pi/3$；根為 $1+\sqrt3i,-2,1-\sqrt3i$。負實根只是其中一個。

軌跡。 方程 $|z-1|=|z+1|$ 表示一點到 $1$ 和 $-1$ 等距。寫 $z=x+iy$ 並平方，得 $(x-1)^2+y^2=(x+1)^2+y^2$，故 $x=0$。軌跡是虛軸，包括零；無需使用輻角。

分層練習

1. 基礎。 計算 $(1+2i)(3-i)$ 及其模。
2. 核心。 求 $16$ 的所有四次方根。
3. 核心。 在 $\mathbb C$ 上解 $z^2-2z+5=0$ 並驗證兩個根。
4. 證明。 證明實系數多項式的根成共軛對：若 $p(z)=0$，則 $p(\overline z)=0$。解釋實系數假設為何重要。

詳解

1. 乘積為 $5+5i$，模為 $\sqrt{25+25}=5\sqrt2$。另外，兩因子的模分別為 $\sqrt5$、$\sqrt{10}$，乘積也是 $5\sqrt2$。
2. 根的模為 $2$，輻角為 $0,\pi/2,\pi,3\pi/2$，即 $2,2i,-2,-2i$。各自的四次方都是 $16$，求根公式證明沒有遺漏。
3. 配方得 $(z-1)^2=-4$，所以 $z=1\pm2i$。兩種符號都滿足 $(z-1)^2+4=0$，故代入驗證原方程。
4. 共軛保持和與積。若每個系數 $a_j$ 為實數，則 $p(\overline z)=\sum a_j\overline z^j=\overline{\sum a_jz^j}=\overline{p(z)}=0$。系數非實時結論可能不成立：$p(z)=z-i$ 以 $i$ 為根，卻不以 $-i$ 為根。

總結與術語

共軛是關於實軸的反射；模是到零的距離；輻角是模 $2\pi$ 的角。主輻角是選擇的一個代表值，不是代數上可加的實函數。極形式乘法將角度相加；求根時必須先加入所有 $2k\pi$ 分支再除以根指數。求和、商和距離軌跡通常用直角坐標形式更簡單。