3. 多項式與有理函數

學習目標

用除法算法尋找多項式的根，解有理不等式時避免錯誤改變符號，並區分可去空點與真正的漸近線。除非另有說明，系數均為實數。

多項式代數

當 $a_n\ne0$，非零多項式 $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ 的次數為 $n$。按這裏的約定，零多項式沒有次數。對非零除式多項式 $d$，多項式長除法給出唯一的 $q,r$，滿足 $p=dq+r$，且 $r=0$ 或 $\deg r<\deg d$。

除法算法的證明。 若當前餘式的次數至少為 $\deg d$，減去 $d$ 的適當倍數以消去最高次項。每次相減都嚴格降低次數，所以過程會停止。若有兩種表示，則 $d(q_1-q_2)=r_2-r_1$。若左邊非零，其次數至少為 $\deg d$；右邊次數卻更小。因此兩邊均為零，證明唯一性。

定理：因式與根數上界

對每個實數 $a$，$p(a)=0$ 當且僅當 $x-a$ 整除 $p$。次數為 $n$ 的非零多項式至多有 $n$ 個不同實根。

證明。 除以 $x-a$，餘式是常數 $r$；代入 $a$ 得 $r=p(a)$。若 $p(x)=(x-a)s(x)$，而 $b\ne a$ 是另一個根，則 $0=p(b)=(b-a)s(b)$ 且 $b-a\ne0$，所以 $s(b)=0$。因此除去一個根對應的因式後，其餘不同的根仍然保留，可以繼續除去。除去 $k$ 個不同因式後，剩餘次數為 $n-k$，故 $k$ 不能超過 $n$。這是上界，不表示所有根都是實數。

若 $p(x)=(x-a)^m s(x)$ 且 $s(a)\ne0$，則根 $a$ 的重數為 $m$。當 $m$ 為奇數時，符號在 $a$ 處改變；當 $m$ 為偶數時符號不變，因為在充分接近 $a$ 的地方 $s$ 符號固定。

有理函數與不等式

對 $R=p/q$，原定義域排除 $q$ 的每個零點。約去公因子只保證在原定義域上值相等，並不能恢復被排除的輸入。在沒有被約去的分母根處，若分子非零，附近的模會無界增大。長除法描述無窮遠行為：若 $R=s+r/q$ 且 $\deg r<\deg q$，則當 $|x|\to\infty$ 時 $R-s\to0$。常數 $s$ 是水平漸近線，線性 $s$ 是斜漸近線，更高次的 $s$ 描述多項式漸近線。

解有理不等式時，標出分子及分母的所有零點，檢查各區間的符號；只在非嚴格不等式中包含分子零點，絕不包含分母零點。未經分類便乘以符號未知的表達式是無效的。

證明橋樑：多項式符號與有理式極限

設 $f(x)=\sum_{j=0}^d c_jx^j$ 的系數為實數。在 $|x-a|\le1$ 時，有限恆等式 $x^j-a^j=(x-a)\sum_{\ell=0}^{j-1}x^{j-1-\ell}a^\ell$ 給出

$$|f(x)-f(a)|\le C_a|x-a|,\qquad C_a=\sum_{j=1}^d j|c_j|(|a|+1)^{j-1}.$$

若 $C_a=0$，則 $f$ 為常數。否則，當 $f(a)\ne0$ 時，取 $|x-a|<\min(1,|f(a)|/(2C_a))$，就使 $f(x)$ 與 $f(a)$ 同號，且 $|f(x)|>|f(a)|/2$。這證明重數論證中使用的局部同號結論，無需暗中假設連續性定理。

若 $p(a)\ne0$，非零多項式 $q$ 滿足 $q(a)=0$，則上述估計保證在 $a$ 附近 $|p(x)|>|p(a)|/2$，而 $|q(x)|\le C_q|x-a|$，其中 $C_q$ 是有限正常數。所以在附近商有定義之處，$|p(x)/q(x)|\ge |p(a)|/(2C_q|x-a|)$。對任意 $M>0$，充分小的非零 $|x-a|$ 使它大於 $M$。根數上界保證可取一個區間，其中 $q$ 沒有其他零點，所以商在該去心區間處處有定義。這證明所述分子非零情況下的竪直漸近線結論。

在無窮遠，設 $q(x)=b_dx^d+\cdots+b_0$，其中 $b_d\ne0$，並設 $r=0$ 或 $\deg r=k<d$。當 $|x|\ge1$，

$$\left|\frac{q(x)}{x^d}-b_d\right|\le\frac{\sum_{j<d}|b_j|}{|x|}.$$

因此當 $|x|$ 充分大時，$|q(x)/x^d|\ge|b_d|/2$。若 $r\ne0$，令 $C_r$ 為其系數絕對值之和，則在 $|x|\ge1$ 時 $|r(x)|\le C_r|x|^k$。所以 $|r(x)/q(x)|\le 2C_r/(|b_d||x|^{d-k})\to0$。$r=0$ 時結論顯然。所有估計均在原分母非零的定義域上進行；約去因式不會補入原本排除的點。

例題

約分後保留空點。 對 $R(x)=(x^2-1)/(x^2-x)$，原定義域排除 $0$ 和 $1$。在該定義域上 $R=(x+1)/x=1+1/x$。故 $x=0$ 是竪直漸近線，$y=1$ 是水平漸近線，$(1,2)$ 是缺失點。稱 $x=1$ 為竪直漸近線是錯誤的。

符號表。 解 $(x-1)/(x+2)\ge0$。關鍵值為 $-2$ 和 $1$；商在 $(-\infty,-2)$ 和 $(1,\infty)$ 上為正，在 $(-2,1)$ 上為負，在 $1$ 處為零。解為 $(-\infty,-2)\cup[1,\infty)$。

分層練習

1. 基礎。 用 $x-2$ 除 $x^3-2x^2+4$，並判斷 $2$ 是否為根。
2. 核心。 解 $(x-2)^2(x+1)/(x-3)<0$。
3. 核心。 求 $(x^2+2x-3)/(x-1)$ 的定義域、空點和漸近線。
4. 證明。 若兩個次數至多為 $n$ 的多項式在 $n+1$ 個不同實數處相等，證明它們相同，並解釋為甚麼不必要求“次數恰為 $n$”。

詳解

1. 長除法給出商 $x^2$、餘數 $4$：$x^3-2x^2+4=(x-2)x^2+4$。在 $2$ 處的值為 $4$，所以 $2$ 不是根。
2. 在 $2$ 以外，平方因子為正，符號由 $(x+1)/(x-3)$ 決定；它在 $-1<x<3$ 上為負。嚴格不等式排除零點 $-1,2$ 和極點 $3$，答案為 $(-1,2)\cup(2,3)$。
3. 分子分解為 $(x+3)(x-1)$。定義域是 $\mathbb R\setminus\{1\}$；圖像為直線 $y=x+3$ 去掉點 $(1,4)$。沒有竪直漸近線；$y=x+3$ 是斜漸近線（事實上在定義域上公式處處與它相同）。
4. 兩多項式之差若非零，其次數至多為 $n$，卻有 $n+1$ 個不同的根，與根數上界矛盾。因此差為零。允許較低次數不可或缺，因為相減時最高次項的系數可能抵消。

總結與術語

因式整除多項式且餘數為零；重數記錄線性因式重複的次數。有理函數是在分母非零的定義域上定義的商。空點是極限有限但缺失的點，不是無界分支。漸近線描述靠近某點或無窮遠時的極限行為。畫圖或解不等式之前，應先精確分解因式並記錄定義域。