1. 向量、投影與幾何

學習目標與準備

在 $\mathbb R^n$ 中使用正交歸一的笛卡爾坐標系，其中 $n\ge1$；在 $\mathbb R^3$ 中採用右手定向。計算向量運算、向給定方向投影，以及描述直線和平面。先修知識包括算術、平方根和初等方程。選擇坐標軸後，坐標才表示向量；點與位移在幾何中扮演不同角色。

定義與結構

$\mathbb R^n$ 中的向量 $u=(u_1,\ldots,u_n)$ 按分量相加並按分量乘以實標量。點積和長度為

$$u\cdot v=\sum_{j=1}^n u_jv_j,\qquad \|u\|=\sqrt{u\cdot u}.$$

兩個非零向量的點積為零時互相垂直。單位向量的長度為一。對非零 $v$，$u$ 到 $v$ 張成直線上的投影為 $(u\cdot v)v/\|v\|^2$。經過點 $p$ 且方向為非零向量 $v$ 的直線是 $p+tv$，其中 $t\in\mathbb R$。在 $\mathbb R^3$ 中，經過 $p$ 且法向量 $n$ 非零的平面由滿足 $n\cdot(x-p)=0$ 的點 $x$ 組成。同一方程在 $\mathbb R^n$ 中定義維數為 $n-1$ 的超平面。 為驗證維數結論，取 $n_j\ne0$ 的指標 $j$。任意選定其餘 $n-1$ 個坐標後，方程唯一確定 $x_j=p_j-\sum_{k\ne j}n_k(x_k-p_k)/n_j$，所以恰有 $n-1$ 個獨立仿射參數。

定理：柯西–施瓦茨不等式與三角不等式

對 $u,v\in\mathbb R^n$，有 $|u\cdot v|\le\|u\|\|v\|$ 和 $\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|$。柯西–施瓦茨不等式取等當且僅當兩向量線性相關，包括其中一個為零向量的情況。

證明。 若 $v=0$，結論顯然。否則令 $a=(u\cdot v)/\|v\|^2$。展開非負的平方得

$$0\le\|u-av\|^2=\|u\|^2-\frac{(u\cdot v)^2}{\|v\|^2}.$$

整理即得第一條不等式；取等當且僅當 $u=av$。再展開 $\|u+v\|^2$，並用 $\|u\|\|v\|$ 控制 $u\cdot v$ 的上界。兩邊均非負，開平方得到第二條不等式。這也保證對非零向量用 $\cos\theta=(u\cdot v)/(\|u\|\|v\|)$ 定義夾角是有意義的。

在 $\mathbb R^3$ 中定義

$$u\times v=(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1).$$

直接代入得 $(u\times v)\cdot u=(u\times v)\cdot v=0$。展開平方得 $\|u\times v\|^2=\|u\|^2\|v\|^2-(u\cdot v)^2$。因此叉積的模是平行四邊形面積；交換順序會反轉方向。

例題

投影與距離。 設 $u=(3,1)$、$v=(1,2)$。則 $u\cdot v=5$、$\|v\|^2=5$，所以投影為 $(1,2)$。餘量 $(2,-1)$ 與 $v$ 垂直，$u$ 到該直線的距離為 $\sqrt5$。投影是向量，不是標量系數 $1$。

由三點確定平面。 對 $A=(1,0,0)$、$B=(0,1,0)$、$C=(0,0,2)$，取 $B-A=(-1,1,0)$ 和 $C-A=(-1,0,2)$。它們的叉積為 $(2,2,1)$，平面方程為 $2x+2y+z=2$。非零叉積表明三點不共線，因此平面唯一。

分層練習

1. 基礎。 對 $a=(2,-1,2)$ 和 $b=(1,2,0)$，求 $a\cdot b$、兩個長度及夾角。
2. 核心。 求直線 $L=\{(1,1)+t(1,-1):t\in\mathbb R\}$ 上離 $q=(4,2)$ 最近的點。
3. 核心。 求頂點為 $(0,0,0),(1,2,0),(0,1,3)$ 的三角形面積。
4. 證明。 證明投影餘量 $u-av$ 使 $\|u-tv\|$ 在所有實數 $t$ 中取最小值，並證明當 $v\ne0$ 時最小值點唯一。

詳解

1. 點積為 $2-2=0$，長度分別為 $3$ 和 $\sqrt5$。兩向量均非零，夾角為 $\pi/2$。
2. 將 $q-(1,1)=(3,1)$ 投影到 $v=(1,-1)$ 上，系數為 $(3-1)/2=1$。最近點為 $(2,0)$；餘量 $(2,2)$ 與 $v$ 垂直，長度為 $2\sqrt2$。
3. 叉積為 $(6,-3,1)$，長度為 $\sqrt{46}$。三角形面積是平行四邊形面積的一半，故答案為 $\sqrt{46}/2$。
4. 令 $a=(u\cdot v)/\|v\|^2$。因為 $(u-av)\cdot v=0$，展開得 $\|u-tv\|^2=\|u-av\|^2+(a-t)^2\|v\|^2$。最後一項非負，且恰在 $t=a$ 時為零，因此無需依賴圖形便證明兩個結論。

總結與術語

點積可以判斷垂直，並支持距離估計。投影分離平行和垂直部分；叉積在三維中編碼有向面積。法向量與平面內每個方向垂直；投影是指定子空間中最近的分量；兩個向量線性相關指其中一個是另一個的標量倍數，或其中一個為零。不要將零向量單位化，也不要除以其長度的平方。