2. 函數、定義域與反映射

學習目標

確定定義域，按正確次序複合函數，解釋圖像變換，並論證反函數是否存在。單靠公式不能指定一個函數：定義域和陪域也是函數資料的一部分。

函數及其運算

函數 $f:A\to B$ 為 $A$ 中每個輸入指定 $B$ 中唯一的值。其值域為 $f(A)=\{f(x):x\in A\}$，可以小於陪域 $B$。若 $f(x)=f(y)$ 蘊含 $x=y$，函數是單射；若 $f(A)=B$，函數是滿射。雙射同時滿足兩者。

實數公式中，平方根要求被開方數非負，實對數要求真數為正，分母不得為零。這些條件須同時滿足。對函數 $f:A\to B$ 和 $g:B\to C$，複合函數 $g\circ f:A\to C$ 為 $x\mapsto g(f(x))$。若實數公式只在部分輸入上有定義，其複合的定義域由 $f$ 的定義域中那些輸出落在 $g$ 定義域內的輸入組成。

當 $a\ne0$，$f(a(x-h))+k$ 的圖像通過調整輸入和輸出得到。輸入關係 $u=a(x-h)$ 表明原圖像上的點 $(u,f(u))$ 變為 $(h+u/a,k+f(u))$。使用這個等式比記憶含糊的伸縮規則更穩妥。

定理：反函數判據

函數 $f:A\to B$ 有雙側反函數 $g:B\to A$，滿足 $g\circ f=\operatorname{id}_A$ 和 $f\circ g=\operatorname{id}_B$，當且僅當 $f$ 是雙射。反函數唯一。

證明。 若反函數存在，且 $f(x)=f(y)$，應用 $g$ 可得 $x=y$。對 $b\in B$，有 $b=f(g(b))$，故 $f$ 是滿射。反之，滿射保證每個 $b$ 至少有一個原像，單射保證原像唯一；定義 $g(b)$ 為該原像，兩條恆等式隨之成立。任何反函數都必須將 $b$ 映到其唯一原像，因此反函數唯一。

嚴格遞增的實函數是單射：$x<y$ 蘊含 $f(x)<f(y)$。單調性本身並不能確定值域。例如把 $e^x$ 看作映入 $\mathbb R$ 的函數時，它不是到 $\mathbb R$ 的滿射。

例題

限制定義域後的反函數。 映射 $f:[2,\infty)\to[0,\infty)$、$f(x)=(x-2)^2$ 嚴格遞增且為滿射。在 $x\ge2$ 下解 $y=(x-2)^2$，得 $x=2+\sqrt y$，因此 $f^{-1}(y)=2+\sqrt y$。同一二次式在整個 $\mathbb R$ 上不是單射；保留平方根的正負號也不能產生反函數。

複合函數的定義域。 設 $f(x)=\sqrt{x-1}$、$g(t)=1/(t-2)$ 分別取自然實定義域。則 $(g\circ f)(x)=1/(\sqrt{x-1}-2)$ 的定義域是 $[1,\infty)\setminus\{5\}$。反過來，$(f\circ g)(x)=\sqrt{1/(x-2)-1}$ 要求 $(3-x)/(x-2)\ge0$，恰在 $(2,3]$ 上成立。不同定義域反映的是不同函數。

分層練習

1. 基礎。 求 $h(x)=\sqrt{4-x^2}/(x-1)$ 的自然實定義域。
2. 核心。 對 $f(x)=2x-3$ 和 $g(x)=x^2$，求兩種複合併解 $(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)$。
3. 核心。 求 $f:(-1,\infty)\to\mathbb R$、$f(x)=\log(x+1)$ 的值域和反函數。
4. 證明。 假設 $g\circ f$ 是單射，證明 $f$ 是單射。$g$ 是否必須在整個定義域上為單射？

詳解

1. 被開方數條件為 $-2\le x\le2$，分母排除 $1$，故定義域為 $[-2,1)\cup(1,2]$。
2. 兩種複合分別為 $2x^2-3$ 和 $(2x-3)^2=4x^2-12x+9$。令它們相等得 $x^2-6x+6=0$，故 $x=3\pm\sqrt3$。
3. 這裏 $\log$ 表示自然對數，即實指數函數的反函數。對每個 $y\in\mathbb R$，令 $x=e^y-1>-1$，則 $\log(x+1)=\log(e^y)=y$，證明值域為 $\mathbb R$。反過來，對每個 $x>-1$，有 $e^{\log(x+1)}-1=x$。兩條恆等式直接驗證反函數為定義在 $\mathbb R$ 上的 $f^{-1}(y)=e^y-1$，無需僅憑單調性與端點行為推斷滿射性。
4. 若 $f(x)=f(y)$，則 $g(f(x))=g(f(y))$；複合函數為單射，故 $x=y$。對 $f(A)$ 之外的 $g$ 不能作出同樣結論。例如令 $f:(0,\infty)\to\mathbb R$ 為包含映射，$g:\mathbb R\to[0,\infty)$ 為 $g(t)=t^2$。其複合函數是單射，但 $g$ 不是。

總結與術語

定義域是允許的輸入集合，陪域是指定的目標集合，值域是實際輸出集合。限制是在較小定義域上使用同一規則。複合將一個函數的輸出送入另一函數。雙射有反函數，而解一個方程可能得到多個分支。化簡之前先檢查定義域，並寫出所有分支限制。