繞數、輻角原理與儒歇定理

1. 連續地計數轉動

設 $\gamma:[0,1]\to\mathbb C\setminus\{a\}$ 是分段 $C^1$ 閉曲線。沿參數區間，可以為 $\gamma(t)-a$ 選擇連續輻角 $\theta(t)$：先在小角度坐標圖中選取，再通過覆蓋緊緻參數區間的有限個相互重疊坐標圖延續，並在連接處加上 $2\pi$ 的整數倍。這不與整個去心平面不存在整體輻角相矛盾；參數區間在比較兩端之前沒有將它們識別為一個點。

令 $r(t)=|\gamma(t)-a|>0$。在光滑段上取對數導數得到

$$\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-a}=\frac{r'(t)}{r(t)}+i\theta'(t).$$

積分並利用 $r(1)=r(0)$ 得

$$\frac1{2\pi i}\int_\gamma\frac{dz}{z-a}=\frac{\theta(1)-\theta(0)}{2\pi}\in\mathbb Z.$$

該整數是繞數 $\operatorname{Ind}(\gamma,a)$。正向簡單圓周繞每個內部點一周、繞每個外部點零周；順時針使符號反轉。圍道走兩遍就計數兩次；自交曲線須用繞數分析，不能只憑含糊的“內部”。

避開 $a$ 的連續變形保持繞數不變。對光滑圍道族，這來自所示積分的連續性和整數值；一般情況可由連續輻角或局部網格論證得到。繞數作為曲線外的 $a$ 的函數局部常數，且在無界連通分量上為零，因為當 $|a|\to\infty$ 時積分趨零而始終為整數。

2. 對數導數檢測重數

開集上的亞純函數除孤立極點外處處全純。假設它在區域上不恆為零。在 $m$ 階零點附近，寫 $f(z)=(z-a)^mg(z)$，其中 $g(a)\ne0$，則

$$\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac m{z-a}+\frac{g'(z)}{g(z)},$$

所以其留數為 $m$。在 $m$ 階極點附近，使用指數 $-m$ 的同一公式得到留數 $-m$。在有限且非零的函數值處，對數導數全純。它記錄的是重數，而不只是不同點的數目。

輻角原理，簡單邊界版本。 設 $f$ 在有界 Jordan 區域 $\Omega$ 閉包的鄰域上亞純，邊界分段光滑且取正向。假設邊界上沒有零點或極點，則

$$\frac1{2\pi i}\int_{\partial\Omega}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=N-P,$$

其中 $N$ 和 $P$ 分別按重數計數內部零點和極點。

該緊緻區域內的零點和極點有限：否則鄰域中的聚點會違反零點孤立性或亞純性的局部定義，而邊界沒有零點或極點。對 $f'/f$ 應用留數定理及上述局部計算，即得公式。對帶孔區域，按 C05 定向各邊界分量；對更一般的閉鏈，須在有效定義域假設下加入繞數重數。

同一積分是像邊界 $f\circ\gamma$ 繞零的繞數，因為 $d(f(\gamma(t)))/dt=f'(\gamma(t))\gamma'(t)$。因此 $f$ 沿圍道的總輻角變化為 $2\pi(N-P)$。圖像可以提示這一變化，但採樣圖可能遺漏小環，單靠圖像不能證明結論。

例。 對 $|z|=3$ 上的 $f(z)=(z-1)^3/(z+2)^2$，按重數有三個零點和兩個極點，故 $N-P=1$，像曲線繞零一周。在 $|z|=3/2$ 上計數為三，因為極點 $-2$ 在外部。在 $|z|=1$ 上定理不能使用，因為一個零點位於圍道上。

3. 儒歇定理：較小擾動保持零點數

定理。 設 $f,g$ 在有界 Jordan 區域閉包的鄰域上全純，邊界分段光滑。若邊界上 $|g(z)|<|f(z)|$，則 $f$ 和 $f+g$ 的內部零點數按重數計相同。

證明。 對 $0\le t\le1$，令 $h_t=f+tg$。在邊界上，

$$|h_t|\ge|f|-t|g|\ge|f|-|g|>0.$$

由緊緻性，邊界上存在共同的正下界。因此

$$n(t)=\frac1{2\pi i}\int_{\partial\Omega}\frac{f'+tg'}{f+tg}\,dz$$

對 $t$ 連續。由輻角原理，$n(t)$ 是計數 $h_t$ 內部零點的非負整數。區間上的連續整數值函數為常數，取 $t=0,1$ 即得結論。∎

嚴格不等式排除整個同倫過程中的邊界零點。沒有額外信息時，不能把它換成非嚴格比較。

例：$z^5$ 的小擾動。 對 $|z|=2$ 上的 $p(z)=z^5+2z+1$，

$$|2z+1|\le5<32=|z^5|.$$

所以 $p$ 在 $|z|<2$ 內有五個零點。在 $|z|=1/3$ 上，用 $2z+1$ 比較 $z^5$：$|2z+1|\ge1/3>1/243$。線性比較函數的根 $-1/2$ 在該圓盤外，因此 $p$ 在該圓盤內沒有零點。圓環 $1/3<|z|<2$ 包含全部五個零點，按重數計。

例：不求根而計數。 對 $|z|=1$ 上的 $q(z)=z^4+4z+1$，取 $f=4z$、$g=z^4+1$。由 $|g|\le2<4$，單位圓盤內恰有一個零點，無需顯式解四次方程。

4. 零點位置與數值圖像的風險

尋找圍道比較時，選擇在整個邊界上佔優的一項或較簡單多項式；界必須一致。邊界上少數採樣點不能證明嚴格不等式，特別是在接近抵消的地方。三角不等式和反向三角不等式常能提供經證明的餘量。

若已有導數和根的近似值，有時可在近似值周圍取小圓，用儒歇定理將線性泰勒項與余項分離，證明存在唯一根。余項需要嚴格界，不能只依賴浮點殘差。僅憑 $p(z_0)$ 很小，若沒有導數或條件性信息，不能推斷附近一定有零點。

輻角原理也區分零點和極點。若 $N-P=0$，並不表示兩者都沒有：零點和極點總數可能相等。淨繞數為零也不意味著像曲線不會接近零或在子環中包圍零。

5. 練習

P01 — 基礎。 求 $\gamma(t)=2e^{-4\pi it}$、$0\le t\le1$ 繞零的繞數。

P02 — 核心。 對 $f(z)=z^2(z-1)/(z-3)^4$，求 $\frac1{2\pi i}\int_{|z|=2}f'/f\,dz$。

P03 — 核心。 使用儒歇定理計數 $z^6+3z+1$ 在 $|z|<1$ 內的零點。

P04 — 核心。 證明 $z^4+z+1$ 的所有零點都在 $|z|<2$ 內。

P05 — 診斷。 解釋為何不修改圍道便不能對 $f(z)=z^2-1$ 在 $|z|=1$ 上應用輻角原理。

P06 — 證明。 對 $m$ 階零點，不直接對無窮洛朗級數求導，證明對數導數的留數為 $m$。

P07 — 拓展。 證明 $z^5-5z+1$ 在 $|z|<1/2$ 內恰有一個零點，在 $|z|<2$ 內恰有五個。

P08 — 證明。 給出一個在 $|z|=2$ 內既有零點又有極點、但 $N-P=0$ 的亞純函數，並計算其對數導數的積分。

6. 詳解

P01. 連續輻角為 $-4\pi t$，變化量為 $-4\pi$，所以繞數是 $-2$。半徑不影響計數。

P02. 零點零的階數為二，零點一的階數為一；三處極點在外部。因此 $N-P=3$，歸一化積分為三。邊界無零點或極點。

P03. 在單位圓上 $|z^6+1|\le2<3=|3z|$。與 $3z$ 比較，內部有一個零點，按重數計。

P04. 在 $|z|=2$ 上，$|z+1|\le3<16=|z^4|$。因此內部有四個零點，按重數計，已涵蓋四次多項式的全部四個零點。嚴格比較也排除邊界根。

P05. 根 $1$、$-1$ 位於圍道上，$f'/f$ 在其處無定義。所需圍道積分與無邊界零點假設均不成立。稍小或稍大的半徑分別給出零或二的有效計數；兩者都不是邊界本身的計數。

P06. 分解 $f=(z-a)^mg$，其中 $g$ 全純且 $g(a)\ne0$。縮小鄰域使 $g\ne0$。由乘積和商法則，$f'/f=m/(z-a)+g'/g$，第二項全純，故留數為 $m$。

P07. 在 $|z|=1/2$ 上，以 $-5z$ 比較 $z^5+1$：$|z^5+1|\le1+1/32=33/32<5/2$，故內部恰有一個零點。在 $|z|=2$ 上，以 $z^5$ 比較 $-5z+1$；後者的模至多十一，小於三十二，故大圓盤內恰有五個零點。其餘四個零點按重數計位於圓環 $1/2<|z|<2$。

P08. 取 $f(z)=z/(z-1)$。圓盤內在零處有一個一階零點，在一處有一個一階極點，故 $N-P=0$。直接計算 $f'/f=1/z-1/(z-1)$，兩處留數為 $1$、$-1$，故圍道積分為零。計數抵消不代表沒有奇點。

7. 總結

對數導數將局部零點和極點階數轉為留數，其邊界積分測量整數繞數。邊界上更小的擾動不能改變該整數，這是儒歇定理的機制。只要檢查所有邊界和重數假設，這種方法無需解方程便能計數根。