代數基本定理：明確閉合的完整證明

定理及其先備知識

每個非常數多項式 $p\in\mathbb C[z]$ 都有複根；因此每個 $n$ 次複系數多項式都是 $n$ 個線性因式的乘積，按重數計數。以下通過古薩定理、柯西估計及劉維爾定理證明該結論，並明確所用的先備知識。

全純是指在開集每一點複可微；整函數是指在整個 $\mathbb C$ 上全純。以下明確使用的初等基礎是實一元積分及鏈式法則、多項式的連續性和求導、複數模的運算法則，以及歐氏平面的緊緻性（包括遞縮緊三角形、一致連續性和緊覆蓋的勒貝格數）。這些實分析及拓撲基礎是明確的先備知識。沒有預先使用複多項式根定理、最大模定理、解析冪級數表示、恆等定理、留數定理或輻角原理。

複可微推出連續，因為 $u(z+h)-u(z)=h[(u(z+h)-u(z))/h]\to0$。展開乘積差商得到 $(uv)'=u'v+uv'$。在 $v(z)\ne0$ 處，

$$\frac{1/v(z+h)-1/v(z)}h=-\frac{v(z+h)-v(z)}{h\,v(z+h)v(z)}\longrightarrow-\frac{v'(z)}{v(z)^2}.$$

因此全純函數的乘積和分母非零的商仍全純。特別地，$f(z)/(z-a)$ 在 $a$ 之外全純，無根多項式的倒數是整函數。這些事實來自差商，不依賴多項式根定理或正則性定理。

1. 積分記錄路徑及其方向

分段 $C^1$ 曲線是連續映射 $\gamma:[a,b]\to\mathbb C$，它在有限個子區間上連續可微，連接點有單側導數。若 $\gamma(a)=\gamma(b)$，曲線是閉合的。其長度為 $\ell(\gamma)=\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt$。連續函數 $f$ 沿該曲線的圍道積分為

$$\int_\gamma f(z)\,dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt,$$

實部和虛部分別積分。微分 $dz$ 包含運動方向；若改為 $|dz|$，定義的是另一種積分。

保持端點的分段 $C^1$ 遞增參數變換由換元法保持積分不變；反向使積分變號；連接兩條相容曲線時積分相加。這些結論也允許速度為零的曲線段，不要求曲線為單射。

估計引理。 若曲線上 $|f|\le M$，則

$$\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right|\le M\ell(\gamma).$$

因為實參數積分的模不超過模的積分，且 $|f(\gamma)\gamma'|\le M|\gamma'|$。這個簡單不等式是證明輔助弧在極限中貢獻為零的主要工具。

例。 對正向圓周 $z=a+re^{it}$，其中 $0\le t\le2\pi$、$r>0$，

$$\int_\gamma(z-a)^n\,dz=\begin{cases}2\pi i,&n=-1,\\0,&n\in\mathbb Z,\ n\ne-1.\end{cases}$$

當 $n=-1$，被積函數乘以 $dz$ 為 $i\,dt$；否則為 $ir^{n+1}e^{i(n+1)t}\,dt$，積分為零。$n=-1$ 的結果與半徑無關，但反向時變號。

2. 原函數將路徑積分化為端點之差

開集 $U$ 上 $f$ 的原函數是該處滿足 $F'=f$ 的全純函數 $F$。對每個光滑段使用實鏈式法則可得

$$\int_\gamma f(z)\,dz=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))$$

對 $U$ 內每條圍道成立。因此有原函數的函數沿 $U$ 內任何閉圍道的積分為零。

反過來，在區域 $U$ 上，假設連續函數 $f$ 沿每條閉圍道積分為零。平面的開連通集是折線路徑連通的。固定 $a\in U$，定義 $F(z)$ 為沿 $U$ 內任意一條從 $a$ 到 $z$ 的折線路徑對 $f$ 的積分。閉路徑積分抵消保證結果與路徑無關。對充分小的 $h$，從 $z$ 到 $z+h$ 的末端線段仍在 $U$ 內，且

$$\frac{F(z+h)-F(z)}h=\int_0^1 f(z+th)\,dt\longrightarrow f(z)$$

由連續性成立。因此 $F'=f$。只假設所有閉折線路徑的積分為零也可採用同樣構造；得到原函數後便可處理所有圍道。

3. 古薩三角形論證：不假設導數連續

定理。 若 $f$ 在包含閉三角形 $T$ 的開集上全純，則沿 $T$ 正向邊界的積分為零。

證明。 連接邊中點將 $T$ 分為四個三角形。內部邊的積分抵消，所以外邊界積分 $I$ 等於四個子三角形積分之和。至少一個子三角形的積分模不小於 $|I|/4$。在這樣的子三角形中重複，得到嵌套閉三角形 $T_n$，其直徑為 $D/2^n$、周長為 $P/2^n$，並滿足

$$|I|\le4^n\left|\int_{\partial T_n}f\,dz\right|.$$

由緊緻性及直徑趨零，存在共同點 $z_0$。在 $z_0$ 可微意味著

$$f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+(z-z_0)\varepsilon(z),\qquad\varepsilon(z)\to0.$$

常數項和線性項都有原函數，故沿三角形邊界積分為零。對任意 $\eta>0$，當 $n$ 充分大時，整個 $T_n$ 上 $|\varepsilon|\le\eta$。由於 $z_0\in T_n$，估計引理給出

$$\left|\int_{\partial T_n}f\,dz\right|\le\eta(D/2^n)(P/2^n).$$

因此 $|I|\le\eta DP$。由 $\eta$ 的任意性，$I=0$。這裡沒有使用 $f'$ 的連續性。∎

推論：每個圓盤上有原函數。 若 $f$ 在圓盤 $D$ 上全純，固定圓心 $a$，令 $F(z)=\int_{[a,z]}f$。當 $z,z+h\in D$ 且充分接近時，以 $a,z,z+h$ 為頂點的三角形位於 $D$ 中。三角形定理給出 $F(z+h)-F(z)=\int_{[z,z+h]}f$；第 2 節的極限計算得到 $F'=f$。因此圓盤內所有閉圍道積分均為零。同樣論證適用於任何開凸集。

4. 同倫與“無孔”的含義

路徑 $\gamma_0,\gamma_1$ 之間的固定端點同倫是連續映射 $H:[0,1]^2\to U$，滿足 $H(s,0)=\gamma_0(s)$、$H(s,1)=\gamma_1(s)$，且 $H(0,t),H(1,t)$ 不隨 $t$ 改變。它在不離開 $U$ 的情況下將一條路徑變形為另一條。若每條閉路徑都可通過這樣的同倫收縮到其基點，則區域是單連通的。

同倫不變性。 若 $f$ 在 $U$ 上全純，而 $U$ 內兩條分段 $C^1$ 路徑在其中固定端點同倫，則其積分相等。

僅用局部原函數的證明。 $H$ 的緊緻像可由有限個 $f$ 有原函數的圓盤覆蓋。由勒貝格數性質和一致連續性，將參數正方形細分為矩形網格，使每個閉網格的像都落在某個這樣的圓盤中。用線段連接相鄰網格頂點的像；由於圓盤是凸的，每個網格的這些線段都位於其圓盤內。由原函數知其多邊形邊界積分為零。對所有網格求和，內部線段與其反向線段抵消。在底邊和頂邊，每段原路徑與替代線段位於同一圓盤且有相同端點，故由局部原函數它們的積分相等。端點固定，側邊線段的貢獻為零。剩下的是底邊積分減頂邊積分。這證明了結論，即使同倫的中間路徑不可微也成立。∎

圓周變形所用的開集

在柯西證明中，令 $U$ 為原來包含 $\overline{D(c,R)}$ 的開全純鄰域，$d=|a-c|<R$。取 $0<\varepsilon<R-d$。$g(z)=f(z)/(z-a)$ 所用的正確全純集是 $U\setminus\{a\}$，其中包含外圓；單獨的開圓盤 $D(c,R)\setminus\{a\}$ 不包含外圓。該開集包含邊界圓周；下面的不等式證明變形始終留在這個開集內。

令 $c_t=(1-t)c+ta$、$r_t=(1-t)R+t\varepsilon$，以及 $H(s,t)=c_t+r_te^{2\pi i s}$。對 $0\le s,t\le1$，

$$|H(s,t)-c|\le R-t(R-d-\varepsilon)\le R,$$ $$|H(s,t)-a|\ge r_t-|c_t-a|=(1-t)(R-d)+t\varepsilon>0.$$

因此整個緊緻同倫像都在 $U\setminus\{a\}$ 內。網格／局部原函數證明也適用於閉路的這個自由同倫：$H(0,t)=H(1,t)$，所以兩條折線側邊軌跡相同、邊界方向相反，互相抵消，不必為常數。頂邊及底邊圓周為分段 $C^1$，不需要中間同倫可微。這補全了下文所用的定義域及移動基點步驟。

1. 邊界積分確定內部值

對 $c\in\mathbb C$、$R>0$，令圓周 $C:|z-c|=R$ 取逆時針方向。假設 $f$ 在閉圓盤 $\overline{D(c,R)}$ 的開鄰域上全純。對每個滿足 $|a-c|<R$ 的 $a$，

$$f(a)=\frac1{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz.$$

分母在 $C$ 上不為零。該公式給出內部點的值，並不適用於外部點或圍道上的點。

證明。 取 $\varepsilon>0$ 使 $|a-c|+\varepsilon<R$。用圓心 $(1-t)c+ta$、半徑 $(1-t)R+t\varepsilon$，將外圓變形為小圓 $C_\varepsilon:|z-a|=\varepsilon$ 而不經過 $a$。每個移動的圓都圍住 $a$ 並留在原圓盤內。對去心圓盤上的 $f(z)/(z-a)$ 使用 C02 的網格／局部原函數證明。雖然移動基點不固定，兩條側邊軌跡相同並互相抵消，因此閉路積分不變。故

$$\int_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz=\int_{C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z-a}\,dz =2\pi if(a)+\int_{C_\varepsilon}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz.$$

最後一項的模至多為 $2\pi\sup_{|z-a|=\varepsilon}|f(z)-f(a)|$，由 $f$ 在 $a$ 的連續性，該上界趨於零，證明公式。∎

這個證明沒有預先假設 $(f(z)-f(a))/(z-a)$ 在 $a$ 有全純延拓；該性質是下面所得正則性的結果。

帶一致界的一階導數

劉維爾定理只需一階柯西導數估計。對固定圓周 $C$ 內部的點 $a$，令 $\delta=\min_{z\in C}|z-a|>0$。當 $0<|h|<\delta/2$，將兩個柯西公式相減得到差商核

$$\frac1h\left(\frac1{z-a-h}-\frac1{z-a}\right)=\frac1{(z-a-h)(z-a)}.$$

它與 $1/(z-a)^2$ 之差為

$$\frac{h}{(z-a-h)(z-a)^2},\qquad \sup_{z\in C}\left|\frac{h}{(z-a-h)(z-a)^2}\right|\le\frac{2|h|}{\delta^3}.$$

若 $M=\max_C|f|$、$L=\ell(C)$，估計引理給出除以 $2\pi i$ 並積分後的誤差至多為 $ML|h|/(\pi\delta^3)$，趨於零。因此 $f'(a)=(2\pi i)^{-1}\int_C f(z)/(z-a)^2\,dz$。若圓心為 $a$、半徑為 $r$，便有 $|f'(a)|\le M_r/r$。重複同樣論證得到下列高階公式；劉維爾定理只使用一階估計。

2. 所有高階導數及其界

對開圓盤中的 $a$，從 $a$ 到圍道的距離為正。在 $a$ 附近充分小的圓盤內，核 $1/(z-a)$ 的差商對 $z\in C$ 一致收斂到 $1/(z-a)^2$。估計引理允許將極限移入圍道積分。重複論證得到

$$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz,\qquad n=0,1,2,\ldots.$$

核的一致收斂論證證明這些導數存在，並未假設 $f$ 起初屬於 $C^\infty$。同一公式還說明導數局部連續，因為分母一致遠離零。

在以 $a$ 為圓心、半徑為 $r$ 的圓周上，令 $M_r=\max_{|z-a|=r}|f(z)|$。由長度估計得到柯西估計

$$|f^{(n)}(a)|\le\frac{n!M_r}{r^n}.$$

所選圓盤的邊界必須有全純鄰域；不能將半徑擴大到穿過奇點。

劉維爾定理與多項式根定理

對整函數，每個半徑都可使用前面的估計。將估計用於有界整函數便得到劉維爾定理；再把劉維爾定理用於多項式的倒數便證明根的存在。

劉維爾定理。 有界整函數為常數。若 $\mathbb C$ 上 $|f|\le M$，對任意 $a$ 和任意半徑 $r$ 的圓盤使用 $n=1$ 的估計：$|f'(a)|\le M/r$。令 $r\to\infty$ 得 $f'=0$，故函數在連通平面上為常數。

代數基本定理。 每個非常數複系數多項式都有複根。若 $p$ 無根，$1/p$ 便是整函數。其最高次項表明當 $|z|\to\infty$ 時 $|p(z)|\to\infty$，故 $1/p$ 在大圓盤之外有界；在剩餘緊緻圓盤上由連續性也有界。劉維爾定理使 $1/p$ 為常數，與 $p$ 的次數矛盾。反覆除以線性因式後，每個 $n$ 次多項式都恰好分解為 $n$ 個線性因式，按重數計數。

多項式反證中的初等細節

為寫全細節，若 $F$ 在 $\mathbb C$ 上滿足 $F'=0$，則它為常數：沿 $\gamma(t)=a+t(b-a)$，$F(\gamma(t))$ 的實部和虛部導數均為零，實中值定理給出 $F(a)=F(b)$。

寫 $p(z)=a_nz^n+\sum_{k<n}a_kz^k$，其中 $n\ge1$、$a_n\ne0$，令 $S=\sum_{k<n}|a_k|$。當 $|z|\ge R=\max(1,2S/|a_n|)$，

$$|p(z)|\ge |a_n||z|^n-S|z|^{n-1}\ge\frac{|a_n|}{2}|z|^n.$$

若 $p$ 無根，其倒數處處連續並且全純，因為

$$\frac{1/p(z+h)-1/p(z)}h=-\frac{p(z+h)-p(z)}{h\,p(z+h)p(z)}\longrightarrow-\frac{p'(z)}{p(z)^2}.$$

上述增長界使 $1/p$ 在半徑為 $R$ 的圓盤外有界；在剩餘閉圓盤上，由緊緻性和連續性也有界。劉維爾定理使 $1/p$ 成為常數；該常數非零，因此 $p$ 為常數，矛盾。故存在根 $\alpha$。

最後，由 $z^k-\alpha^k=(z-\alpha)\sum_{j=0}^{k-1}z^{k-1-j}\alpha^j$ 得到 $p(z)-p(\alpha)=(z-\alpha)q(z)$，其中 $q$ 為 $n-1$ 次、最高次項系數為 $a_n$。若 $q$ 非常數，對它使用根定理並對次數歸納。恰好除以 $n$ 個線性因式後，餘下非零常數 $a_n$。由次數和乘積恆等式，恰有 $n$ 個線性因式，按重數計數。這也證明了有限維譜論或 Jordan 論證所需的複數域分裂結論；並未斷言任意實數域或其他基域上也分裂。