留數與實積分應用

除非另有說明，圓周與簡單邊界均取正向。

1. 積分後留下的那個系數

對孤立奇點 $a$，留數 $\operatorname{Res}(f,a)$ 是其去心鄰域洛朗展開中的系數 $c_{-1}$。逐項圓周積分給出，對充分小的正數 $r$，

$$\int_{|z-a|=r}f(z)\,dz=2\pi i\operatorname{Res}(f,a)$$

其他負次冪的積分為零。因此二階極點可以有零留數，例如 $1/(z-a)^2$；留數不是極點階數。

留數定理，區域版本。 設 $\Omega$ 是有界區域，其外邊界為正向、分段光滑的簡單閉曲線；也可有有限個這樣的邊界分量，孔洞邊界取順時針。假設 $f$ 在 $\overline\Omega$ 的鄰域上全純，但 $\Omega$ 內有限個孤立奇點 $a_1,\ldots,a_m$ 除外，且邊界沒有奇點。那麼

$$\int_{\partial\Omega}f(z)\,dz=2\pi i\sum_{j=1}^m\operatorname{Res}(f,a_j).$$

證明時，在奇點周圍去掉互不相交的小圓盤。$f$ 在剩餘緊緻區域的鄰域全純。將其切成單連通部分，或作足夠細的有限細分並使用局部原函數；內部邊和割線兩側相互抵消。邊界總積分等於原邊界積分減去正向小圓積分，且為零。每個小圓積分給出相應留數貢獻。這一證明不要求奇點都是極點，也適用於本性奇點。

更一般的閉曲線版本以繞數作為重數，要求相應閉鏈在全純域中圍成邊界。對任意自交圍道，不能用含糊的“把內部所有極點相加”替代這些假設。

2. 高效計算留數

對階數至多為 $m$ 的極點，設 $h(z)=(z-a)^mf(z)$ 可在 $a$ 附近全純延拓。由泰勒展開得

$$\operatorname{Res}(f,a)=\frac{h^{(m-1)}(a)}{(m-1)!}.$$

即使約分使實際階數降低，該公式仍有效。對一階極點，它化為 $\lim_{z\to a}(z-a)f(z)$。

若 $f=g/h$，其中 $g,h$ 全純、$h(a)=0$ 且 $h'(a)\ne0$，則

$$\operatorname{Res}(g/h,a)=g(a)/h'(a).$$

將 $h(z)=(z-a)h_1(z)$ 分解，並注意 $h_1(a)=h'(a)$ 即可證明。若 $g(a)=0$，奇點可去且留數為零；先檢查約分可能更簡便。

例。 在 $z=2$，$e^z/(z-2)^3$ 的留數為 $(e^z)''|_{z=2}/2=e^2/2$。在零處，$e^{1/z}$ 的留數為一，儘管它不是有限階極點。對 $1/(z^4+1)$，分母的每個根 $a$ 都是一階零點，其留數為 $1/(4a^3)=-a/4$，因為 $a^4=-1$。

3. 有理實積分：找極點、估計圓弧，再取極限

考慮

$$I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^4+1}.$$

該實積分絕對收斂。用上半圓閉合 $[-R,R]$，取 $R>2$。上半平面的極點為 $a=e^{i\pi/4}$、$b=e^{3i\pi/4}$，兩者之和為 $i\sqrt2$，所以留數之和為 $-i\sqrt2/4$。在半圓上，

$$|z^4+1|\ge R^4-1,\qquad \left|\int_{\text{arc}}\frac{dz}{z^4+1}\right|\le\frac{\pi R}{R^4-1}\to0.$$

因此

$$I=2\pi i\left(-\frac{i\sqrt2}{4}\right)=\frac\pi{\sqrt2}.$$

由偶性，$\int_0^\infty dx/(x^4+1)=\pi/(2\sqrt2)$。

若有理函數沒有實極點且分母次數至少比分子高二，類似的大半圓估計通常趨零。仍須檢查約分後的實際衰減、所包圍的有限極點，以及實軸上的絕對收斂。實極點需要繞行或明確的主值說明，不能直接套用該方法。

4. 指數因子與傅里葉型積分

設 $a>0$、$b\ge0$。在上半平面，$|e^{ibz}|=e^{-b\operatorname{Im}z}\le1$。對 $R>2a$，

$$\left|\int_{\text{upper arc}}\frac{e^{ibz}}{z^2+a^2}\,dz\right| \le\frac{\pi R}{R^2-a^2}\to0.$$

唯一包圍的極點為 $ia$，留數為 $e^{-ab}/(2ia)$。因此

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ibx}}{x^2+a^2}\,dx=\frac\pi a e^{-ab}.$$

虛部由奇性為零，實部給出餘弦積分。若 $b<0$，可在下半平面閉合，此時圍道為順時針；或利用實積分對 $b$ 的對稱性。一般答案是 $\pi e^{-a|b|}/a$。若選錯半平面，指數因子會增長而非衰減。

本例無需單獨使用若爾當引理，因為有理因子本身以 $R^{-2}$ 衰減。初等估計已足夠時，不應引用更強的漸近工具。

5. 三角積分化為有理圍道積分

令 $z=e^{it}$，則 $dt=dz/(iz)$、$\cos t=(z+z^{-1})/2$。對實數 $a>|b|$ 且 $b\ne0$，

$$\int_0^{2\pi}\frac{dt}{a+b\cos t} =\int_{|z|=1}\frac{2\,dz}{i(bz^2+2az+b)}.$$

令 $d=\sqrt{a^2-b^2}>0$，根為 $r_\pm=(-a\pm d)/b$，兩根乘積為一，且

$$|r_+|=\frac{|b|}{a+d}<1,\qquad |r_-|>1.$$

$r_+$ 處留數為 $2/[i(2br_++2a)]=1/(id)$，結果是

$$\int_0^{2\pi}\frac{dt}{a+b\cos t}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}.$$

當 $b=0$，積分為 $2\pi/a$，與公式一致。條件 $a>|b|$ 使實分母嚴格為正，且圍道極點不在單位圓上。其他參數情形需要另行分析。

6. 主值不同於普通廣義積分

對零處實奇點，對稱柯西主值定義為

$$\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx =\lim_{R\to\infty}\lim_{\varepsilon\downarrow0} \left(\int_{-R}^{-\varepsilon}f(x)dx+\int_\varepsilon^Rf(x)dx\right),$$

前提是所示的極限存在。其他同時取極限的約定必須明確說明。普通廣義積分要求在每個奇異端點及每個無窮遠端分別單側收斂；即使這些單獨極限不存在，對稱抵消也可能存在。

繞行例子：$e^{iz}/z$。 使用上半圓，並在零點周圍用從 $-\varepsilon$ 到 $\varepsilon$ 順時針行進的小上半圓繞行。所包圍區域不含極點。小弧積分趨於 $-i\pi$，因為其上 $e^{iz}=1+O(\varepsilon)$ 且 $\int dz/z=-i\pi$。

大弧積分確實趨零，但粗略估計 $|e^{iz}|\le1$ 只能給出 $\pi$，不能證明趨零。參數化後改用

$$\left|\int_{\text{large arc}}\frac{e^{iz}}z\,dz\right| \le\int_0^\pi e^{-R\sin t}dt \le2\int_0^{\pi/2}e^{-2Rt/\pi}dt\le\pi/R.$$

其中在 $[0,\pi/2]$ 上 $\sin t\ge2t/\pi$，另一半由對稱性處理。圍道方程給出

$$\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}x\,dx=i\pi.$$

其實部 $\cos x/x$ 跨過零時沒有普通積分；其對稱主值為零。虛部 $\sin x/x$ 在零處可連續延拓，尾部積分收斂：分部積分對 $B>A>0$ 給出 $|\int_A^B\sin x/x\,dx|$ 至多為 $3/A$。因此其普通廣義積分存在，且

$$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx=\pi/2.$$

最後這個普通積分由零點的連續延拓和尾部收斂共同保證，並非僅由主值記號保證。

7. 練習

P01 - 基礎。 求 $z/(z^2+1)$ 在 $i$ 和 $-i$ 的留數。

P02 - 核心。 求 $\sin z/z^4$ 在零的留數。

P03 - 核心。 沿逆時針方向計算 $\int_{|z|=2}e^z/[z(z-1)]\,dz$。

P04 - 核心。 使用半圓計算 $\int_{-\infty}^{\infty}dx/(x^2+4)$，並給出圓弧估計。

P05 - 核心。 計算 $\int_0^{2\pi}dt/(3+2\cos t)$，並驗證分母從不為零。

P06 - 診斷。 為甚麼二階極點不一定對圍道積分貢獻非零值？舉例說明。

P07 - 證明。 若 $f$ 在 $a$ 附近全純，證明其導數在 $a$ 的留數為零。將結論推廣到去心圓盤上全純函數的導數。

P08 - 拓展。 對 $b>0$，計算 $\int_{-\infty}^{\infty}\cos(bx)/(x^2+9)\,dx$，並解釋允許閉合的半平面。

P09 - 診斷。 解釋為何 $\operatorname{PV}\int_{-1}^1dx/x=0$ 不能證明普通廣義積分存在。

8. 詳解

P01. 在 $z^2+1$ 的任一簡單零點 $a$，比值公式給出 $a/(2a)=1/2$。

P02. $\sin z/z^4=z^{-3}-\tfrac16z^{-1}+\cdots$，所以留數為 $-1/6$，極點為三階。

P03. 被包圍的一階極點是零和一，留數分別為 $-1$、$e$。積分為 $2\pi i(e-1)$。

P04. 上半平面極點是 $2i$，留數為 $1/(4i)$。在上半圓弧上 $|z^2+4|\ge R^2-4$，所以圓弧積分的模至多為 $\pi R/(R^2-4)\to0$。因此積分為 $2\pi i/(4i)=\pi/2$。實被積函數連續且按 $x^{-2}$ 衰減，故普通積分絕對收斂。

P05. 因為 $-1\le\cos t\le1$，分母至少為一。公式給出 $2\pi/\sqrt{9-4}=2\pi/\sqrt5$。

P06. 積分檢測的是 $z^{-1}$ 的系數，而非所有負次系數。$1/(z-a)^2$ 有二階極點但留數為零，因此其沿小正向圓周積分為零；它在去心平面上甚至有原函數 $-1/(z-a)$。

P07. 若 $f=\sum c_n(z-a)^n$ 是洛朗級數，其導數在緊子圓環上為 $\sum n c_n(z-a)^{n-1}$。要產生 $(z-a)^{-1}$ 項必須 $n=0$，但系數 $0c_0=0$。這證明去心圓盤的結論，並包含全純情況。

P08. 在上半平面使用 $e^{ibz}$，其模至多為一。上方極點為 $3i$，留數為 $e^{-3b}/(6i)$，圓弧估計為 $\pi R/(R^2-9)\to0$。取實部得到 $\pi e^{-3b}/3$。若不改變指數因子而在下半平面閉合，指數會增長，使該估計失效。

P09. 對稱截斷的兩項恰好抵消。但 $\int_\varepsilon^1dx/x=-\log\varepsilon\to+\infty$，而 $\int_{-1}^{-\varepsilon}dx/x=\log\varepsilon\to-\infty$。分別的有限單側極限不存在；無定義的無窮之和不是普通積分。

9. 總結

留數將圍道積分壓縮為局部洛朗數據。有效的實積分計算還必須確定所包圍的極點及方向、輔助圓弧是否趨零，以及正確的實收斂概念。下一章用對數導數的留數計數零點，而不是顯式積分。