泰勒級數、洛朗級數與孤立奇點

1. 收斂是答案的一部分

以 $a$ 為中心的冪級數寫作 $\sum_{n\ge0}c_n(z-a)^n$。存在半徑 $R\in[0,\infty]$，使它在 $|z-a|<R$ 絕對收斂，在 $|z-a|>R$ 發散；邊界點需另行檢驗。根值判別法給出

$$R^{-1}=\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n},$$

其中 $1/0=\infty$、$1/\infty=0$。事實上，當 $|z-a|$ 小於該上極限的倒數時，各項的根最終小於某個小於一的固定數；大於該倒數時，存在不趨零的項的子列。在每個更小的閉圓盤上，級數及所有逐項導數都一致收斂。對導數而言，理由是 $n$ 的冪可由一個稍大的等比界控制。因此其和全純，且 $c_n=f^{(n)}(a)/n!$。

C03 證明每個全純函數在任何沒有障礙的圓盤內有這樣的泰勒展開。若函數在 $D(a,R)$ 全純，其泰勒級數在整個圓盤表示它。邊界點處的奇點阻止級數具有更大的收斂圓盤：更大圓盤會定義一個在原函數附近與其相同的全純延拓。但選定區域的邊界不一定是真正奇點；將整函數限制在小圓盤不會縮小其泰勒收斂半徑。

例。 在零點展開 $f(z)=1/(1-z)$，級數 $\sum_{n\ge0}z^n$ 恰在 $|z|<1$ 收斂。在 $z=1$ 處函數無定義；在滿足 $|z|=1$ 的其他點，級數各項不趨零。對 $e^z$，階乘系數給出無窮收斂半徑。不能因為兩個函數在零附近全純就推斷它們有相同半徑。

2. 為甚麼圓環需要負次冪

假設 $f$ 在圓環

$$A=\{z:r<|z-a|<R\},\qquad0\le r<R\le\infty.$$

上全純，則它有唯一的洛朗展開

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n,$$

在 $A$ 每點絕對收斂，在緊子圓環上一致收斂。對任何滿足 $r<\rho<R$ 的半徑 $\rho$，

$$c_n=\frac1{2\pi i}\int_{|\zeta-a|=\rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\,d\zeta,\qquad n\in\mathbb Z.$$

這裡圓周均取正向。圓環區域上的柯西定理或 C03 的圓周變形說明該值與 $\rho$ 無關。

推導。 固定 $r<r_1<|z-a|<r_2<R$。兩圓之間區域的邊界公式為

$$f(z)=\frac1{2\pi i}\int_{|\zeta-a|=r_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta -\frac1{2\pi i}\int_{|\zeta-a|=r_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta.$$

為證明該公式，去掉 $z$ 附近的小圓盤，沿不相交的弧切開所得雙孔區域，再應用 C02 的局部原函數抵消論證。每條割線的兩側抵消；按 C03 的連續性論證，小圓貢獻趨於 $2\pi if(z)$。因此沒有假設內孔內部全純。

第一個積分中，將 $1/(\zeta-z)$ 展開為 $(z-a)/(\zeta-a)$ 的非負冪；第二個積分中，將它展開為

$$-\frac1{z-a}\sum_{k\ge0}\left(\frac{\zeta-a}{z-a}\right)^k.$$

兩者在各自圍道上都是一致收斂的等比級數，得到具有所述系數的正、負次冪。對緊子圓環，可選 $r_1,r_2$ 嚴格位於其邊界之外，同樣估計給出一致絕對收斂。最後將一致收斂的洛朗級數乘以 $(z-a)^{-m-1}$ 後逐項積分，由 C02 的單項式圓周積分恰好取出第 $m$ 個系數，證明唯一性。∎

該級數是兩個普通冪級數之和：一個以 $z-a$ 為變量，另一個以 $(z-a)^{-1}$ 為變量；它不是條件收斂的雙無窮和的任意重排。

例：同一函數，兩個圓環。 由於

$$\frac1{z(z-1)}=-\frac1z+\frac1{z-1},$$

在 $0<|z|<1$ 上得到

$$-z^{-1}-\sum_{n=0}^{\infty}z^n.$$

在 $|z|>1$ 上則寫成 $1/[z(z-1)]=z^{-2}/(1-z^{-1})$，得到 $\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n-2}$。系數不同並不違反唯一性：兩個圓環不同，中間由 $1$ 處的奇點分隔。

3. 孤立奇點分類

若 $f$ 在某個去心圓盤 $0<|z-a|<R$ 上全純，但在 $a$ 無值或無全純定義，則 $a$ 是孤立奇點。其洛朗級數將障礙分為：

• 可去奇點： 所有負次系數為零。泰勒部分在 $a$ 給出唯一的全純延拓。
• $m\ge1$ 階極點： $c_{-m}\ne0$ 且對所有 $n<-m$ 有 $c_n=0$。等價地，在 $a$ 附近 $f(z)=g(z)/(z-a)^m$，其中 $g$ 全純且 $g(a)\ne0$。
• 本性奇點： 無窮多個負次系數非零。

該分類只針對孤立奇點。$\operatorname{Log}z$ 在零的分支點不是定義在完整去心圓盤上的單值全純函數的孤立奇點，因此不改變設定就不能應用這一三分法。

可去奇點判據。 孤立奇點可去，當且僅當 $f$ 在某個去心鄰域有界。一方向來自延拓的連續性。反過來，若在充分小的圓周上 $|f|\le M$，則對每個整數 $k\ge1$，系數估計給出

$$|c_{-k}|\le M\rho^k.$$

令 $\rho\downarrow0$，所有負次系數為零。由此也可知，若 $\lim_{z\to a}f(z)$ 有有限值，該極限便是延拓值。

對極點，由 $g(a)\ne0$ 知 $|f(z)|\to\infty$。反過來，若 $|f(z)|\to\infty$，則 $1/f$ 在足夠小的去心圓盤上全純且非零，趨於零，並可全純延拓，在 $a$ 有零點。延拓不恆為零，故由零點孤立性該零點有有限正整數階。取倒數表明 $f$ 有相同階的極點。

例。 $\sin z/z$ 在零有可去奇點，延拓值為一。$(e^z-1)/z^3=z^{-2}+\tfrac12z^{-1}+\tfrac16+\cdots$ 有二階而非三階極點：分子的零點抵消了表觀分母階數的一部分。$e^{1/z}=\sum_{n\ge0}z^{-n}/n!$ 在零有本性奇點。

4. 本性奇點附近不可能漏掉整個開圓盤

卡索拉蒂–魏爾斯特拉斯定理。 若 $a$ 是孤立本性奇點，則在 $a$ 的每個去心鄰域中，$f$ 的值在 $\mathbb C$ 中稠密。

證明。 若某個去心鄰域遺漏了以 $w$ 為中心的開圓盤，則存在 $\delta>0$ 使其上 $|f-w|\ge\delta$。函數 $h=1/(f-w)$ 在該去心鄰域上全純、有界且非零，因而可在 $a$ 全純延拓。若 $h(a)\ne0$，恆等式 $f=w+1/h$ 將給出可去延拓；若 $h(a)=0$，由於 $h$ 不恆為零，零點孤立性給出有限階零點，從而 $f$ 有極點。兩者均與本性奇點矛盾。∎

稠密並不等於滿射，也不表示每個值都能取到。例如 $e^{1/z}$ 永不等於零，但其值可以趨於零。這裡不需要更強的值分布結果。

5. 練習

P01 — 基礎。 在零點展開 $1/(2-z)$ 並給出收斂半徑。

P02 — 核心。 求 $1/[z(z-2)]$ 在 $0<|z|<2$ 和 $|z|>2$ 上的洛朗級數。

P03 — 核心。 分類 $(1-\cos z)/z^4$ 在零處的奇點，給出前三個非零洛朗項。

P04 — 核心。 分類 $z\sin(1/z)$ 在零處的奇點，並解釋為何沿一條射線有有限極限不能決定該問題。

P05 — 證明。 假設 $g$ 和 $h$ 在 $a$ 的鄰域全純，$g$ 在 $a$ 有有限階零點 $m\ge1$，且 $h(a)\ne0$。求 $h/g$ 在 $a$ 的奇點階數。

P06 — 診斷。 為何第 2 節中 $|z|>1$ 上的洛朗展開可以沒有 $z^{-1}$ 項，儘管同一函數在零有一階極點？

P07 — 證明。 不使用恆等定理，證明穿過可去孤立奇點的全純延拓唯一。

P08 — 拓展。 證明若函數在去心圓盤上全純且滿足 $|f(z)|\le C|z-a|^{-\alpha}$，其中實數 $\alpha\ge0$ 固定，則它有階數至多為 $\lfloor\alpha\rfloor$ 的極點，或有可去奇點。

P09 — 核心。 $f$ 在零的泰勒系數對偶數 $n$ 為 $c_n=3^{-n}$、對奇數 $n$ 為 $0$。求級數和及最大收斂圓盤。

6. 詳解

P01. $1/(2-z)=\tfrac12(1-z/2)^{-1}=\sum_{n\ge0}z^n/2^{n+1}$，其中 $|z|<2$。二處的極點阻止更大的收斂圓盤，故半徑為二。

P02. 部分分式為 $-1/(2z)+1/[2(z-2)]$。在內圓環上得到 $-1/(2z)-\sum_{n\ge0}z^n/2^{n+2}$；在外圓環上使用 $z^{-2}(1-2/z)^{-1}=\sum_{n\ge0}2^nz^{-n-2}$。各等比公比在所述圓環上模均小於一。

P03. 由於 $1-\cos z=z^2/2-z^4/24+z^6/720-\cdots$，商為 $\tfrac12z^{-2}-1/24+z^2/720-\cdots$。極點階數為二，$z^{-1}$ 的系數為零。

P04. 展開得 $z\sin(1/z)=1-1/(3!z^2)+1/(5!z^4)-\cdots$。無窮多個負次冪使該孤立奇點為本性奇點。沿一條射線的行為不能建立在整個去心圓盤上的有界性，也不能建立完整的複極限。

P05. 寫 $g=(z-a)^mg_0$，其中 $g_0(a)\ne0$。於是 $h/g=(h/g_0)/(z-a)^m$，分子全純且在 $a$ 非零。極點階數恰為 $m$。

P06. 零處奇點分類使用不含其他奇點的零的去心鄰域，這裡是 $0<|z|<1$。外圓環排除零和一，也不接近零。系數只在指定圓環上唯一，不能跨奇異圓周比較。外圓周積分合併了兩個被包圍極點的效應，它們可在 $z^{-1}$ 系數中抵消。

P07. 全純延拓在 $a$ 連續，所以其在該點的值必須等於已固定的去心圓盤函數值的極限。兩個這樣的延拓在 $a$ 外按定義相同，在 $a$ 由連續性相同，不需要整體唯一性定理。

P08. 對整數 $k>\alpha$，洛朗估計給出 $|c_{-k}|\le C\rho^{k-\alpha}\to0$。因此低於 $-\lfloor\alpha\rfloor$ 的負次系數都為零；剩餘有限主部給出所述極點階數上界，若主部為空則奇點可去。特別地，$0\le\alpha<1$ 的界強制奇點可去。

P09. 級數為 $\sum_{k\ge0}(z^2/9)^k=1/(1-z^2/9)$，其中 $|z|<3$。$\pm3$ 處的奇點使半徑三為最大值。奇數項系數為零不會增大半徑。

7. 總結

泰勒級數屬於圓盤，洛朗級數屬於圓環。圍道上的一致展開給出存在性和系數唯一性。在孤立奇點處，負次冪部分不存在、有限或無限，分別對應可去、極點或本性奇點。$(z-a)^{-1}$ 的系數是留數，下一章將用它建立一般積分方法。