真值表與邏輯等價
先複習 1.1 命題邏輯， 因為這一頁會沿用同樣的連接詞。
真值表做甚麼
定義
真值表
真值表會列出一個公式在每一種變量取值下的真假。
它是檢查兩個公式是否永遠一致的最穩妥方法。
先看一個例子
例題
逐行檢查蘊含
考慮公式 P → Q。
| P | Q | P → Q |
| --- | --- | --- |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
它只有在 P 真而 Q 假時為假。
解答
為甚麼 `P → Q` 等於 `¬P ∨ Q`
邏輯等價
定義
邏輯等價
若兩個公式在真值表的每一行都給出相同真假值，它們就是邏輯等價。
這表示你不能只看一個例子就下結論，必須整張表都一致，或者使用已知等價式。
常見錯誤
只對上一行不算證明
兩個公式在某一組取值下相同，不代表它們邏輯等價。你要比較所有列，或者直接使用已知等價式，例如 P → Q ≡ ¬P ∨ Q。
永真式與永假式
定義
兩類特別的公式
- 永真式：無論怎樣代入都是真。
- 永假式：無論怎樣代入都是假。
例子：
P ∨ ¬P是永真式。P ∧ ¬P是永假式。
小檢查
快速檢查
`P ∧ Q` 和 `Q ∧ P` 是否邏輯等價？
試用互動工具
邊讀邊試
真值表建立器
互動工具讓你切換公式，並觀察每一列如何影響最後的真假。
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |