真值表与逻辑等价
先复习 1.1 命题逻辑， 因为这一页会沿用同样的连接词。
真值表做什么
定义
真值表
真值表会列出一个公式在每一种变量取值下的真假。
它是检查两个公式是否永远一致的最稳妥方法。
先看一个例子
例题
逐行检查蕴含
考虑公式 P → Q。
| P | Q | P → Q |
| --- | --- | --- |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
它只有在 P 真而 Q 假时为假。
解答
为什么 `P → Q` 等于 `¬P ∨ Q`
逻辑等价
定义
逻辑等价
如果两个公式在真值表的每一行都给出相同真假值，它们就是逻辑等价。
这表示你不能只看一个例子就下结论，必须整张表都一致，或者使用已知等价式。
常见错误
只对上一行不算证明
两个公式在某一组取值下相同，不代表它们逻辑等价。你要比较所有列，或者直接使用已知等价式，例如 P → Q ≡ ¬P ∨ Q。
永真式与永假式
定义
两类特别的公式
- 永真式：无论怎样代入都是真。
- 永假式：无论怎样代入都是假。
例子：
P ∨ ¬P是永真式。P ∧ ¬P是永假式。
小检查
快速检查
`P ∧ Q` 和 `Q ∧ P` 是否逻辑等价？
试用互动工具
边读边试
真值表建立器
互动工具让你切换公式，并观察每一列如何影响最后的真假。
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |