一元中值定理與泰勒定理的證明

多元情形中的線段論證依賴一元定理。本章在本課程內證明這些基礎，並始終區分可微、連續可微及整個區間上的條件。

1 導數與內點極值

對定義在 $a$ 的某個鄰域上的 $f$，$f'(a)$ 是非零 $h\to0$ 時 $[f(a+h)-f(a)]/h$ 的有限極限。它給出 $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(|h|)$，因而函數連續。和與乘積法則通過展開增量得到；鏈式法則通過代入局部線性近似得到。這些法則需要相應導數存在；商法則還需要分母非零。

費馬必要條件。 在可微的內點局部最大值或最小值處，$f'(a)=0$。

證明。 在局部最大值處，充分小的正增量給出非正差商，負增量給出非負差商。雙側導數的極限要同時滿足兩種符號，只能為零。對函數取負處理最小值。$\square$

內點條件很重要：$f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上的極值出現在端點，儘管導數為 1。逆命題不成立：$x^3$ 在零處導數為零，但那裡不是極值。

對乘積法則，寫 $\Delta f=f(a+h)-f(a)=f'(a)h+o(|h|)$，對 $g$ 也這樣寫。於是

$$f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a)=g(a)\Delta f+f(a)\Delta g+\Delta f\Delta g.$$

最後的乘積為 $O(h^2)$；除以 $h$ 得到 $(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$。加法法則由兩式線性近似相加得到。若 $g(a)\ne0$，連續性保證附近函數值非零，而且

$$\frac{1/g(a+h)-1/g(a)}h=-\frac{[g(a+h)-g(a)]/h}{g(a+h)g(a)}\longrightarrow-\frac{g'(a)}{g(a)^2}.$$

結合倒數與乘積法則，便在分母非零的定義域內得到商法則。對複合函數，第一增量為 $k=f'(a)h+o(|h|)=O(|h|)$；代入 $g(f(a)+k)=g(f(a))+g'(f(a))k+o(|k|)$，即得鏈式法則。當 $k=0$ 時餘項為零，因此推導不需除以可能為零的中間增量。

2 Rolle 定理與中值定理

Rolle 定理。 若 $a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上連續、在 $(a,b)$ 上可微，且 $f(a)=f(b)$，則存在 $c\in(a,b)$ 使 $f'(c)=0$。

證明。 極值定理保證最大值和最小值存在。若函數為常數，任意內點均符合要求。否則某值不同於相等的端點值，因此最大值或最小值之一出現在內部。可在該處應用費馬條件。$\square$

中值定理。 在相同的連續與可微條件下，不要求端點值相等，則存在 $c\in(a,b)$ 滿足 $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$。

從 $f$ 減去割線 $f(a)+[f(b)-f(a)](x-a)/(b-a)$，再應用 Rolle 定理即可。這一證明不假定 $f'$ 連續。推論包括：導數在區間上為零則函數為常數；導數非負則函數不減；區間上 $|f'|\le M$ 則其中各點滿足 $|f(y)-f(x)|\le M|y-x|$。不能由一點的導數值推出整個區間上的導數界。

導數可以不連續而定理仍適用。設 $f(0)=0$，其餘處 $f(x)=x^2\sin(1/x)$，則 $f'(0)=0$，但 $f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ 在零附近振蕩。可微性弱於某些積分證明所用的 $C^1$ 條件。

3 Cauchy 雙函數版本

若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上連續、在內部可微，對

$$H(x)=[f(b)-f(a)][g(x)-g(a)]-[g(b)-g(a)][f(x)-f(a)]$$

應用 Rolle 定理可得內點 $c$ 滿足

$$[f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c).$$

若 $g'$ 在 $(a,b)$ 上處處非零，Rolle 定理還保證 $g(b)\ne g(a)$，所以可以除以相關量得到比值公式。沒有這些非零條件時，交叉相乘的等式才是正確表述。這個區別避免在定理名稱下掩蓋無效的除法。

4 具有嚴格中間點的泰勒定理

設 $f$ 在 $[a,b]$ 的一個開鄰域上屬於 $C^{n+1}$，且 $a<b$。存在 $\xi\in(a,b)$ 使

$$f(b)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}.$$

證明。 令 $T_n$ 為上式中的多項式，選取 $K$ 使 $H(t)=f(t)-T_n(t)-K(t-a)^{n+1}$ 在 $b$ 處為零。它在 $a$ 處的函數值及前 $n$ 階導數均為零。首先由 Rolle 定理得 $H'$ 在 $a,b$ 嚴格之間有零點；利用 $H'(a)=0$，再在 $a$ 與該點之間應用 Rolle 定理。反覆進行，得到 $H^{(n+1)}$ 在嚴格內點 $\xi$ 處為零。那裡 $0=f^{(n+1)}(\xi)-(n+1)!K$，故公式成立。$\square$

若目標點在展開點另一側，對兩點之間的區間使用相同的反覆 Rolle 論證。若目標點等於展開點，餘項為零；這一退化情形不聲稱存在嚴格中間點。

若線段上有一致界 $|f^{(n+1)}|\le M$，則誤差至多為 $M|b-a|^{n+1}/(n+1)!$。這個階依賴鄰域上的界，而不僅是 $a$ 處的導數。課程其他地方證明的積分餘項，在其所述正則性條件下提供互補形式。

5 作為導數陳述的一元凸性

開區間上的可微函數是凸函數，當且僅當對所有點有 $f(y)\ge f(x)+f'(x)(y-x)$。從凸性的弦不等式除以適當的增量並取單側極限，可得這一支撐線不等式。反之，在 $x,y$ 之間的一點應用支撐不等式並按弦權重組合，導數項抵消，即得凸性。

若 $f\in C^2$，則凸性等價於 $f''\ge0$。一個方向由中值定理使 $f'$ 不減，再通過積分或比較割線斜率得到；另一方向由非負二階差分及其導數極限得到。因此凸函數的駐點是其區間上的全局最小點，而任意駐點不一定如此。

練習與完整解答

E1 基礎。 對 $[1,3]$ 上的 $f=x^2$，求中值定理給出的點。

S1. 割線斜率為 $(9-1)/(3-1)=4$。由於 $f'=2x$，所求點為 $c=2$，嚴格位於 1 和 3 之間。

E2 條件。 為甚麼不能對 $[-1,1]$ 上的 $|x|$ 應用 Rolle 定理來推出內部有導數為零的點？

S2. 函數在零處不可微，因此重要條件不成立。其左側導數為 $-1$，右側導數為 1；在導數存在的地方沒有零導數。端點值相等及連續性並不足夠。

E3 泰勒誤差界。 使用 $e^x$ 在零處的二階泰勒多項式，估計 $x=1$ 處的誤差，並單獨說明 $x=0$ 處的餘項。

S3. 多項式為 $1+x+x^2/2$。在 $[0,1]$ 上，三階導數滿足 $e^x\le e$，故在 1 處的誤差至多為 $e/6$。對此非零步長，泰勒定理給出嚴格中間點 $\xi\in(0,1)$。在 $x=0$ 處近似精確，餘項為零，並不是聲稱空區間里有中間點。

E4 導數不連續。 驗證在零處延拓為零的 $x^2\sin(1/x)$ 在零處的導數，並給出兩個數列，表明它的導數在那裡不連續。

S4. 零處的差商為 $x\sin(1/x)\to0$。在 $x_n=1/(2\pi n)$ 處，導數為 $-1$；在 $y_n=1/((2n+1)\pi)$ 處，導數為 1。兩個數列均趨於零，但導數值不趨於 $f'(0)=0$。函數仍可微，因此中值定理仍適用於適當的緊區間。

小結

Rolle 定理由緊區間上的極值和導數定義得出；中值定理通過減去割線得出。比值版本需要額外非零條件。反覆應用 Rolle 定理只在步長非零時給出嚴格的泰勒中間點；凸性則將局部導數信息轉化為全局支撐不等式。