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章節 1
任意階多元 Taylor 定理
多重指標係數、積分與 Lagrange 餘項及局部 Peano 定理，附完整證明、例題及練習解答。
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任意階多元 Taylor 定理
多重指標係數、積分與 Lagrange 餘項及局部 Peano 定理，附完整證明、例題及練習解答。
章節 1
多元可微性與中值估計
幾個方向上的變化率未必能組合成良好的線性近似。分析的核心問題是：一個線性映射能否控制所有充分小位移的誤差，而不只是在選定直線上控制誤差。這一區別是鏈式法則、泰勒估計和多元優化的基礎。
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多元可微性與中值估計
幾個方向上的變化率未必能組合成良好的線性近似。分析的核心問題是：一個線性映射能否控制所有充分小位移的誤差，而不只是在選定直線上控制誤差。這一區別是鏈式法則、泰勒估計和多元優化的基礎。
章節 2
泰勒展開與凸性
導數預測一階變化，Hessian 矩陣預測這一變化率如何隨方向改變。泰勒定理使近似定量化，而凸性將局部導數信息轉化為全局比較。每個結果的假設和餘項階數都是結論的一部分。
章節 3
多重 Riemann 積分與 Fubini 定理
累次積分是一系列一元積分；多重積分是小單元上求和的極限。二者相等需要定理保證。我們先在假設明確的矩形連續函數情形下建立這一結論，再用它計算和解釋區域積分。
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多重 Riemann 積分與 Fubini 定理
累次積分是一系列一元積分；多重積分是小單元上求和的極限。二者相等需要定理保證。我們先在假設明確的矩形連續函數情形下建立這一結論，再用它計算和解釋區域積分。
章節 4
一致收斂與極限交換
性質良好的函數序列，其極限可能表現不佳。關鍵是收斂能否從某個共同階段起在所有點都達到所需精度。一致收斂提供這種控制，但它並不對所有運算同樣有效：積分比微分更容易與極限交換。
章節 5
冪級數與實解析性
泰勒多項式以有限階近似函數。解析表示則使無窮級數在某個鄰域中等於該函數。光滑性本身並不保證相等；冪級數的收斂性和餘項控制解釋了這一差別。
章節 6
Riemann 截面與不連續情形的 Fubini 定理
矩形上的連續性是交換積分次序的簡潔充分條件，但許多有用的函數沿曲線發生跳躍。本章證明更廣泛的有界 Riemann 截面定理，解釋截面存在性的獨立作用，並研究交換次序後答案改變的反常積分例子。
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Riemann 截面與不連續情形的 Fubini 定理
矩形上的連續性是交換積分次序的簡潔充分條件，但許多有用的函數沿曲線發生跳躍。本章證明更廣泛的有界 Riemann 截面定理，解釋截面存在性的獨立作用，並研究交換次序後答案改變的反常積分例子。
章節 7
高階導數與多元解析性
多元泰勒公式不能通過在每個坐標中寫出互不相關的一元展開得到。位移同時改變所有坐標，因此出現混合偏導數。多重線性導數組織這些相互作用，餘項估計則告訴我們無窮泰勒展開是否等於函數。
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高階導數與多元解析性
多元泰勒公式不能通過在每個坐標中寫出互不相關的一元展開得到。位移同時改變所有坐標，因此出現混合偏導數。多重線性導數組織這些相互作用，餘項估計則告訴我們無窮泰勒展開是否等於函數。
章節 8
黎曼積分、微積分基本定理與反常積分
即使被積函數有跳躍，積分仍可能存在；在比連續性更弱的條件下，原函數也可以還原積分。反常積分則在無窮端點或奇點引入另一種極限。我們將這些構造分開，確保只在有依據時應用微積分基本定理。
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黎曼積分、微積分基本定理與反常積分
即使被積函數有跳躍，積分仍可能存在；在比連續性更弱的條件下，原函數也可以還原積分。反常積分則在無窮端點或奇點引入另一種極限。我們將這些構造分開，確保只在有依據時應用微積分基本定理。
章節 9
二重級數與 Fubini 換序
先對每一行求和再對各行求和，與先求欄和或擴大正方形部分和是不同的極限過程。在非負性或絕對可和條件下，這些過程的結果相同。條件收斂的例子說明，關於二重積分的章節不能替代二重級數的單獨定理。
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二重級數與 Fubini 換序
先對每一行求和再對各行求和，與先求欄和或擴大正方形部分和是不同的極限過程。在非負性或絕對可和條件下，這些過程的結果相同。條件收斂的例子說明，關於二重積分的章節不能替代二重級數的單獨定理。
章節 10
指數、對數與三角函數的嚴格構造
熟悉的圖像不是數學定義。我們從收斂級數構造初等函數，證明其代數與微分法則，並在證明所需值域之後才定義反函數分支。這不同於對已假定存在且性質已知的函數應用泰勒公式。
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指數、對數與三角函數的嚴格構造
熟悉的圖像不是數學定義。我們從收斂級數構造初等函數，證明其代數與微分法則，並在證明所需值域之後才定義反函數分支。這不同於對已假定存在且性質已知的函數應用泰勒公式。
章節 11
一元中值定理與泰勒定理的證明
多元情形中的線段論證依賴一元定理。本章在本課程內證明這些基礎，並始終區分可微、連續可微及整個區間上的條件。
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一元中值定理與泰勒定理的證明
多元情形中的線段論證依賴一元定理。本章在本課程內證明這些基礎，並始終區分可微、連續可微及整個區間上的條件。