12. 綜合模型與解題工作坊

目的與準備

本工作坊通過假設的商業與社會科學模型聯繫基本方法。完整解答說明定義域、選擇數學表示、推導結論並檢查結論在模型中的含義。第 1–4 章和第 5–11 章提供基礎內容。

12.1 一個問題，多種有效表示

假設虛構項目的價格規則為 $p(q)=12-q$，可變成本為 $2q$，固定成本為 $9$。作為連續規劃近似，允許實數產量 $0\le q\le10$。收入為 $R(q)=12q-q^2$，利潤為

$$\Pi(q)=R(q)-(2q+9)=10q-q^2-9.$$

因式分解給出 $\Pi(q)=-(q-1)(q-9)$，故非負利潤出現在 $[1,9]$。配方得 $\Pi(q)=16-(q-5)^2$，確立可行區間內 $q=5$ 處全局最大值為 $16$。獨立求導得 $\Pi'=10-2q$，在 $5$ 前為正、之後為負。端點給出 $\Pi(0)=\Pi(10)=-9$，與全局結論一致。

不同表示高效回答不同問題：因式定位盈虧平衡水平，平方形式定位最優值，導數描述局部變化，它們不是互相競爭的答案。若只有整數產量有意義，必須另行檢查整數可行性；此處 $5$ 已是整數。收入最大值則在 $q=6$，$R(6)=36$，說明“最大化收入”和“最大化利潤”不可互換。

12.2 變化率、累積總量與非初等反函數

考慮假設處理速率 $r(t)=(t+1)e^{-t}$，其中 $t\ge0$、$t$ 以小時計，速率單位與之相容。到時間 $T$ 的處理總量為

$$A(T)=\int_0^T(t+1)e^{-t}\,dt=2-(T+2)e^{-T}.$$

推導時分部積分得 $\int t e^{-t}dt=-(t+1)e^{-t}$；加上 $\int e^{-t}dt=-e^{-t}$ 得 $-(t+2)e^{-t}$。端點相減得到所示總量，求導恢復 $A'=r$ 作為檢驗。

速率為正，故 $A$ 嚴格遞增。由於 $(T+2)e^{-T}>0$，有 $A(T)<2$。指數項最終壓倒線性因子，可由第 11 章練習 11 的界論證，故 $A(T)\to2$。因此值域為 $[0,2)$，該範圍內每個總量有唯一反向時間。目標總量 $2$ 沒有有限解。

反函數存在，但未必能用這裏教授的初等函數表達。解 $A(T)=1$ 得 $(T+2)e^{-T}=1$，取對數得到 $\ln(T+2)-T=0$。變量同時出現在對數和線性項中；取對數沒有將其分離。計算 $A(1)\approx0.896$、$A(2)\approx1.459$，由連續性和單調性將唯一解夾在一至兩小時之間。證明存在、唯一及給出有用區間不需要精確公式。

12.3 週期性水平與週期性變化率

假設每周工作量指數按月觀察，令

$$Q(t)=100+20\cos(\pi t/6),\qquad0\le t\le12.$$

週期為 $12$ 個月，值域為 $[80,120]$，並且

$$Q'(t)=-\frac{10\pi}{3}\sin(\pi t/6),\qquad Q''(t)=-\frac{5\pi^2}{9}\cos(\pi t/6).$$

水平從 $0$ 至 $6$ 個月下降，從 $6$ 至 $12$ 個月上升。在 $6$ 處最小為 $80$，兩端點最大為 $120$。淨變化為

$$Q(12)-Q(0)=\int_0^{12}Q'(t)\,dt=0.$$

這不同於 $\int_0^{12}Q(t)dt=1200$，後者單位為工作量指數乘月。若所指量是以每月任務數計的速率，後一個積分的單位則是任務數。代數不能決定哪種解釋是原意；必須由模型定義給出。

12.4 分級綜合練習

基礎到核心遷移

1. 等差計劃從 $10$ 項任務開始，每周增加 $2$ 項；等比計劃從 $10$ 項開始，每周數量乘 $1.1$。求各自第五周水平和五周總量。哪些比較是水平，哪些是累積？
2. 使用二項式定理展開 $(1+h)^4$，再用 Bernoulli 不等式證明每個 $h\ge-1$ 滿足 $(1+h)^4\ge1+4h$。當 $h$ 為負時，丟棄二項展開前兩項之外的所有項能否證明後一個不等式？
3. 設 $S(t)=60(1-e^{-t/3})$，$t\ge0$。求值域、該值域上的反函數、前兩階導數，以及 $S=30$ 的時間。
4. 設報告指標在 $x\le0$ 時 $f(x)=x^2$，$x>0$ 時 $f(x)=\sin x$。從定義判斷零處連續性與可微性。

綜合

5. 對第 12.1 節利潤模型加入容量限制 $0\le q\le4$。求最優可行利潤，解釋為甚麼只令導數為零不夠。再對容量 $q\le4$、$q$ 為非負整數的情況重複。
6. 對 $g(x)=(x^2+2x)/(x^2+x-2)$，求最大實數定義域、截距、空點、竪直漸近線和水平漸近線，並給出每條竪直漸近線處的單側符號。
7. 使用分部積分再作代數運算，計算 $\int_0^1x\ln(1+x)dx$。由 $\ln(1+x)\le x$ 給出簡單上界，並檢查精確答案。
8. 解釋並修復三個錯誤：(a)“$x^2$ 在 $\mathbb R$ 上的反函數是 $\sqrt x$”；(b)“$\lim_{h\to0}\sin(5h)/h=1$”；(c)“$\int_0^1x e^{x^2}dx=e+C$”。

12.5 完整解答與方法說明

1. 等差第五項為 $10+4(2)=18$，總和為 $5(10+18)/2=70$。等比第五項為 $10(1.1)^4=14.641$，總和為 $10[(1.1)^5-1]/0.1=61.051$。比較 $18$ 與 $14.641$ 是比較單周水平；比較 $70$ 與 $61.051$ 是比較五周累積。增長按比例發生，並不意味著等比計劃最初就必須超過等差計劃。

2. 展開為 $1+4h+6h^2+4h^3+h^4$。第 6 章的 Bernoulli 不等式直接證明 $h\ge-1$ 上的界。對負 $h$，三次項為負，故未經論證逐項丟棄所有額外項不合法。正確的直接檢查將餘項分組為 $h^2(h^2+4h+6)=h^2[(h+2)^2+2]\ge0$；實際上這證明此四次冪不等式對所有實數 $h$ 成立。

3. 值域為 $[0,60)$。解 $s=60(1-e^{-t/3})$ 得 $t=-3\ln(1-s/60)$，其中 $0\le s<60$。導數為 $S'=20e^{-t/3}>0$、$S''=-(20/3)e^{-t/3}<0$。當 $s=30$，$t=3\ln2$。水平增加而變化率下降；極限水平 $60$ 在有限時間內不會取得。

4. 由正弦連續性，左右極限均為零；$f(0)=0$，故連續。在零處，$h<0$ 時差商為 $h$，$h>0$ 時為 $\sin h/h$。兩者極限為 $0$ 和 $1$，因此雙側導數不存在。

5. 在 $[0,4]$ 上，$\Pi'=10-2q\ge2>0$，故利潤遞增。最大值在 $q=4$ 處，值為 $40-16-9=15$。駐點輸入 $5$ 不可行。此例中整數可行性不改變結果，因為 $4$ 是允許的整數端點；其他模型中非整數容量或駐點需要單獨比較整數。

6. 分解得 $g(x)=x(x+2)/[(x+2)(x-1)]$。原定義域排除 $-2,1$，在那裡化簡式為 $x/(x-1)$。唯一截距為 $(0,0)$；$-2$ 被排除，故不是根。$(-2,2/3)$ 是空點，$1$ 處為竪直漸近線。由於 $g=1+1/(x-1)$，在 $1$ 處左極限為 $-\infty$、右極限為 $+\infty$。兩端水平漸近線為 $y=1$。

7. 令 $u=\ln(1+x)$、$dv=x\,dx$，分部積分得到

   $$\int_0^1x\ln(1+x)dx=\tfrac12\ln2-\tfrac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}dx.$$

   除法得 $x^2/(1+x)=x-1+1/(1+x)$，其積分為 $1/2-1+\ln2=\ln2-1/2$。因此精確答案為 $1/4$。當 $x\ge0$，面積定義給出 $\ln(1+x)\le x$，故原積分至多為 $\int_0^1x^2dx=1/3$。正的精確值 $1/4$ 符合此界。

8. (a) 平方在 $\mathbb R$ 上不單射。在限制定義域 $[0,\infty)$ 上，它在 $[0,\infty)$ 上的反函數是 $\sqrt x$；在 $(-\infty,0]$ 上反函數為 $-\sqrt x$。(b) 將商寫成 $5[\sin(5h)/(5h)]$，在弧度輸入下極限為 $5$。(c) 換元 $u=x^2$ 帶來因子 $1/2$，積分界從 $0,1$ 變為 $0,1$；值為 $(e-1)/2$。定積分是數，不帶任意 $C$。

總結：可靠的解題流程

計算前先轉換問題：識別輸入集合、單位、模型假設及所求輸出。有意識地選擇表示：用因式求根、用平方形式確定全局二次界、用反函數處理反向問題、用導數求變化率、用積分求累積變化。然後檢查定義域、端點、符號與尺度。連續模型之後可能還需要檢查整數可行性。反函數可以存在而沒有初等公式，有限的極限水平也可能在實際值域之外。