8. 多項式因式分解與圖像

學習目標與準備

多項式圖像受其因式、重數、首項和連續性約束。本章聯繫這些結構，而不是把圖像描繪當作猜測。你將推導餘式定理和因式定理，分解選定的實多項式，並建立有依據的符號和形狀描述。第 1 章已推導二次根與頂點；第 7 章從函數角度說明定義域和圖像變換。

8.1 結構與次數

實多項式是有限表達式

$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0,$$

具有實系數和非負整數指數。若 $a_n\ne0$，次數為 $n$，$a_n$ 是首項系數。按本章約定，零多項式沒有次數；非零常數次數為零。$x^{-1}$ 或 $\sqrt x$ 等表達式不是 $x$ 的多項式。

對非零多項式 $P,Q$，乘積首項是首項之積，所以 $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$。在和中首項可能相消：$(x^3+x)+(-x^3+2)=x+2$ 的次數是一而不是三。

一些有用恆等式為

$$u^2-v^2=(u-v)(u+v),$$ $$u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2),$$ $$u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2).$$

通過相乘可驗證。嘗試更複雜的方法之前應先提出公因子。在實數上 $x^2+1$ 沒有一次因子，因為對每個實數 $x$ 它的值均為正。因式分解總有背景系數域；本章使用實數。

8.2 除法、餘式與根

對多項式 $P$ 和非零多項式 $D$，除法產生多項式 $Q,R$，滿足

$$P=DQ+R,\qquad R=0\text{ or }\deg R<\deg D.$$

算法反覆減去消去當前最高次項的 $D$ 的倍數。每次減法降低該次數，故有限步後停止。唯一性來自：兩個表示會給出 $D(Q_1-Q_2)=R_2-R_1$。若 $Q_1-Q_2$ 非零，左邊次數至少為 $\deg D$，右邊次數更小，不可能。

對 $D=x-c$，餘式是常數。代入 $x=c$ 得 $P(c)=R$，證明餘式定理。特別地，$P(c)=0$ 當且僅當 $x-c$ 整除 $P$，即因式定理。

例 1——找根並保留商。 對

$$P(x)=x^3-2x^2-5x+6,$$

有 $P(1)=0$。除以 $x-1$ 得 $x^2-x-6$，因此

$$P(x)=(x-1)(x-3)(x+2).$$

三個不同的根為 $-2,1,3$。展開結果可驗證分解併發現符號錯誤；只猜出根還不足以論證完整乘積。

次數為 $n$ 的非零多項式至多有 $n$ 個不同實根。證明時用因式定理提出一個實根，其他不同根都為次數減一的商的根。對次數歸納，從無根的非零常數開始。這是上界，不保證有 $n$ 個實根。

對首項系數為 $a_n$、常數項 $a_0\ne0$ 的整數系數多項式，任何滿足 $q>0$ 的最簡有理根 $p/q$ 必須滿足 $p$ 整除 $a_0$、$q$ 整除 $a_n$。將 $P(p/q)=0$ 乘以 $q^n$，所得整數方程模 $p$ 化簡給出 $p\mid a_0q^n$，由 $p,q$ 互素得 $p\mid a_0$；模 $q$ 化簡同理得 $q\mid a_np^n$，從而 $q\mid a_n$。這限制候選值，不保證任何候選值是根。

8.3 重數與符號變化

若

$$P(x)=(x-c)^mQ(x),\qquad Q(c)\ne0.$$

則根 $c$ 的重數為 $m\ge1$。由於 $Q$ 連續且在 $c$ 非零，其符號在充分小鄰域內不變。若 $m$ 為奇數，$(x-c)^m$ 穿過 $c$ 時變號，$P$ 也變號；若 $m$ 為偶數，則不變號，圖像接觸軸而不穿過。更高重數也使圖像更平：求導產生因子 $(x-c)^{m-1}$，所以 $m\ge2$ 時根處斜率為零。“穿過”與“斜率非零”並不等價：$x^3$ 在零處穿過但切線水平。

例 2——含重根的符號表。 對 $P(x)=(x+2)(x-1)^2$，平方因子除 $1$ 外均為正。因此 $P<0$ 在 $(-\infty,-2)$ 上，$P>0$ 在 $(-2,1)$ 和 $(1,\infty)$ 上，零點為 $-2,1$。故 $P(x)\le0$ 的解為 $(-\infty,-2]\cup\{1\}$。符號表不能丟棄接觸根處的孤立零點。

8.4 首項決定端部行為

對非零 $n$ 次多項式，

$$\frac{P(x)}{a_nx^n}=1+\frac{a_{n-1}}{a_nx}+\cdots+\frac{a_0}{a_nx^n}\longrightarrow1 \quad\text{as }x\to\pm\infty.$$

每個倒數冪都趨於零。因此當 $n\ge1$，在兩個方向足夠遠處，$P$ 與首項同號且絕對值無界。正首項偶次圖像兩端上升，負首項偶次圖像兩端下降。正首項奇次圖像左降右升，負首項奇次圖像相反。非零常數是水平直線，而不是無界尾部。

連續性填補重要邏輯空隙。兩個輸入之間變號，由介值定理迫使中間有根。但偶重根不迫使變號，所以變號搜索可能遺漏根。

例 3——有依據的三次圖像。 對 $P(x)=(x+2)(x-1)^2=x^3-3x+2$：

• 截距為 $(-2,0)$、$(1,0)$ 和 $(0,2)$。
• 根 $-2$ 為單根並穿過，根 $1$ 為二重根並接觸。
• 首項為 $x^3$，故圖像左降右升。
• 使用第 4 章的冪法則，$P'(x)=3(x-1)(x+1)$。在 $-1,1$ 分出的區間上，其符號依次為 $+,-,+$。
• 因此圖像上升至 $(-1,4)$，下降至 $(1,0)$，之後上升。這兩點分別為局部最大與局部最小，而不是整個 $\mathbb R$ 上的全局極值。

這些性質無需繪圖軟件即可確立。圖畫應與其一致，而不是用來證明它們。

8.5 變換與非唯一圖像

對 $y=A P(B(x-h))+k$（$A,B\ne0$），水平位移為 $h$，竪直位移為 $k$。水平長度比例為 $1/|B|$，不是 $|B|$；負 $B$ 表示關於平移後的竪直軸反射。負 $A$ 反轉竪直方向。將變換視作複合有助於保持次序。

例 4——變換後的四次冪。 對 $Q(x)=16-(x-2)^4$，最大值為 $16$，在 $x=2$ 處取得，因為四次冪非負。圖像關於 $x=2$ 對稱，零點為 $0,4$，兩端趨於負無窮。值域為 $(-\infty,16]$。零點是單根：在每個零點附近值都變號。指數四描述中心 $x=2$ 附近的行為，不是根 $0,4$ 的重數。

變號本身只證明重數為奇數，並不證明是單根；$x^3$ 就是該推斷的反例。對這個特定 $Q$，使用精確分解

$$Q(x)=\bigl(4-(x-2)^2\bigr)\bigl(4+(x-2)^2\bigr)=x(4-x)\bigl(4+(x-2)^2\bigr).$$

在 $x=0$，其他因子之積為 $(4-0)(4+4)=32\ne0$；在 $x=4$，寫成 $Q(x)=-(x-4)x(4+(x-2)^2)$，其他因子之積為 $-32\ne0$。因此由重數定義，兩根的重數都恰好為一。

僅有根不能唯一確定多項式。$(x-1)(x+2)$ 和 $5(x-1)(x+2)$ 有相同根，$(x-1)^2(x+2)$ 則改變重數和次數。首項系數、重數與其他數值區分它們。同樣，正確符號表本身不能定位每個轉折點。

8.6 分級練習

基礎

1. 判斷哪些是多項式，適用時寫出次數：$3x^4-2$、$x+1/x$、$7$、零多項式。
2. 在實數上完全分解 $x^4-16$。
3. 求 $2x^3+x-5$ 除以 $x+1$ 的餘式。

核心

4. 已知 $x=-1$ 是根，分解 $x^3-4x^2+x+6$。
5. 對 $P(x)=-(x+1)^2(x-3)^3$，給出根的重數、穿過或接觸行為，以及兩端走勢。
6. 解 $(x+1)^2(x-3)\ge0$。
7. 二次多項式的根為 $-2,3$，在 $0$ 處值為 $12$。求該多項式。
8. 求 $2x^3-3x^2-8x+12$ 的全部有理根，並在實數上分解。

綜合

9. 對 $P(x)=x^3-3x$，求截距和駐點，分類駐點並說明尾部。
10. 證明非零奇次多項式至少有一個實根，並說明使用的連續性事實。偶次多項式必須有實根嗎？
11. 構造一個五次多項式，在 $-1$ 有二重根，在 $2$ 有三重根，且在 $0$ 處值為 $8$。
12. 學生在 $R(x)=(x-1)(x+2)/(x-1)$ 中消去 $x-1$ 並畫出整條直線 $y=x+2$。解釋缺失的圖像特徵，以及 $x=1$ 是否為原函數的根。

8.7 完整解答

1. $3x^4-2$ 為四次。$x+1/x$ 不是 $x$ 的多項式。非零常數 $7$ 次數為零。按本章約定零多項式無次數。
2. $x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)$。最後的二次式無實根，也無實一次因子。
3. 除式為 $x-(-1)$，故餘式為 $P(-1)=-2-1-5=-8$。
4. 除以 $x+1$ 得 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$，因此多項式為 $(x+1)(x-2)(x-3)$。
5. 根 $-1$ 為二重並接觸；$3$ 為三重並以零斜率穿過。次數為五、首項系數為 $-1$：左端趨於 $+\infty$，右端趨於 $-\infty$。
6. 除 $-1$ 外，平方因子為正，故符號與 $x-3$ 相同。包括零點 $-1$ 和所有 $x\ge3$，答案為 $\{-1\}\cup[3,\infty)$。
7. 寫 $P(x)=A(x+2)(x-3)$，則 $P(0)=-6A=12$，故 $A=-2$、$P(x)=-2x^2+2x+12$。
8. 分組：$x^2(2x-3)-4(2x-3)=(2x-3)(x^2-4)=(2x-3)(x-2)(x+2)$。全部根為 $3/2,2,-2$；三次排除其他不同根。
9. $P=x(x^2-3)$ 給出截距 $-\sqrt3,0,\sqrt3$。由 $P'=3(x^2-1)$，駐點輸入為 $-1,1$。導數在 $[-1,1]$ 外為正、內部為負，故 $(-1,2)$ 為局部最大，$(1,-2)$ 為局部最小。三次首項使左端趨於 $-\infty$、右端趨於 $+\infty$。
10. 首項在充分大的正負輸入處符號相反，選擇符號相反的有限端點。多項式在兩端之間的閉區間連續，介值定理給出零點。偶次不一定有根：$x^2+1>0$ 處處成立；也可能有根，例如 $x^2-1$。
11. 所需形式為 $A(x+1)^2(x-2)^3$，零處值為 $-8A=8$，故 $A=-1$。每個根處另一因子非零，因此重數恰為所需值。
12. 原定義域排除 $1$，因此直線在 $(1,3)$ 處有空點。函數在 $1$ 處無定義，該點不能是根；唯一根為 $-2$。如第 9 章所述，空點處極限存在且為 $3$。

總結與遷移

除法解釋餘式與因式定理。因式給出根和重數；奇重數穿過，偶重數接觸。首項控制尾部，使用導數時可定位其他轉折行為。連續性允許介值結論，但變號搜索不能發現每個重根。化簡成多項式的有理表達式仍可能有不同定義域和圖像。