三角學、幾何與週期模型

學習目標與準備

本章以第 1 章的函數、方程與二次函數為基礎，發展角度和週期函數作為定量工具。你將區分角度與弧度、在定義域內使用三角恆等式、在完整區間內求解方程，並在三角形和反函數問題中選擇正確分支。

2.1 弧度、圓與基本恆等式

角的弧度值是有向弧長除以圓半徑。因此一整圈是 $2\pi$ 弧度，$\theta$ 度等於 $\pi\theta/180$ 弧度。單位圓上的坐標為 $(\cos\theta,\sin\theta)$，故 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$。

正弦和餘弦對所有實角有定義，以 $2\pi$ 為週期。正切是它們的商 $\sin\theta/\cos\theta$，須排除 $\theta=\pi/2+k\pi$，其中 $k\in\mathbb Z$，其週期為 $\pi$。除以三角表達式可能丟失該表達式為零處的解，就像代數方程中除以未知數會丟失零解一樣。

例 1：弧與弦。 半徑為 $10$ 米的圓上，$60^\circ=\pi/3$ 弧度的角對應弧長 $10\pi/3$ 米。直線弦長為 $2(10)\sin(\pi/6)=10$ 米。兩者連接相同端點，但距離不同。

加法公式為

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$ $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

證明

我們採用旋轉的幾何事實：繞原點的旋轉保持距離與平面定向（順、逆時針次序），並且對坐標分量是線性的。令 $R_\alpha$ 表示逆時針旋轉 $\alpha$。由單位圓，兩個坐標基向量分別旋轉為

$$R_\alpha e_1=(\cos\alpha,\sin\alpha)^T,\qquad R_\alpha e_2=(-\sin\alpha,\cos\alpha)^T.$$

由線性性，它對角為 $\beta$ 的點的作用為

$$R_\alpha(\cos\beta,\sin\beta)^T =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)^T.$$

從幾何上看，連續旋轉的角度相加，所以同一點也是 $(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))^T$。比較坐標即證明兩個恆等式，而無須預先使用它們。令 $\beta=\alpha=\theta$，得到 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 和 $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$。恆等式對定義域內每個輸入成立；方程詢問哪些輸入使特定等式成立。

特別地，$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$、$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$。三角恆等式對所有允許輸入均成立，並不是需要單獨求解的方程。

2.2 方程與反函數主值

週期性的正弦函數在整條實線上不是單射；把它限制在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 上，就得到反函數 $\arcsin:[-1,1]\to[-\pi/2,\pi/2]$。類似地，$\arccos$ 取值於 $[0,\pi]$，$\arctan$ 取值於 $(-\pi/2,\pi/2)$。

對 $c\in[-1,1]$，令 $\alpha=\arcsin c$，正弦方程的全部解為 $\theta=\alpha+2k\pi$ 或 $\theta=\pi-\alpha+2k\pi$，其中 $k\in\mathbb Z$。區間限制從中選出允許的解。反函數主值給出方便的參數化，但不是完整的週期解集。

例 2：關於餘弦的二次方程。 在 $0\le\theta<2\pi$ 上解 $2\cos^2\theta-3\cos\theta+1=0$。分解得到 $(2\cos\theta-1)(\cos\theta-1)=0$，所以餘弦值為 $1/2$ 或 $1$。解為 $\pi/3$、$5\pi/3$ 和 $0$；端點 $2\pi$ 被排除。若把方程除以 $\cos\theta-1$，會丟失真正的零解。

例 3：反函數分支的陷阱。 $\arcsin(\sin(5\pi/6))=\pi/6$，因為正弦值為 $1/2$，反函數輸出必須位於 $[-\pi/2,\pi/2]$。若返回 $5\pi/6$，就是忽略了函數指定的值域。

2.3 三角形幾何與歧義

在三角形中，邊長 $a,b,c$ 分別與角 $A,B,C$ 相對，餘弦定理為

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$$

將長度為 $b,c$ 的兩邊視作向量，其端點分別為 $(b,0)$ 和 $(c\cos A,c\sin A)$。端點間距離的平方為 $(b-c\cos A)^2+(c\sin A)^2$，化簡即得該公式。

面積為 $\Delta=bc\sin A/2$。用其他兩對邊角表示面積，得到非退化三角形的正弦定理 $a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C$。

例 4：兩邊與夾角。 若 $b=5$、$c=7$、$A=60^\circ$，則 $a^2=25+49-70(1/2)=39$，故 $a=\sqrt{39}$；面積為 $(35/2)(\sqrt3/2)=35\sqrt3/4$。長度和面積均取幾何上的正值。

已知兩邊與非夾角時，可能存在兩個三角形。若 $a=7$、$b=10$、$A=30^\circ$，正弦定理給出 $\sin B=5/7$。無論取 $B=\arcsin(5/7)$ 還是 $B=\pi-\arcsin(5/7)$，減去 $A$ 後第三個角都仍為正。沒有其他信息時，單次反正弦計算不能選出唯一三角形。若算出的正弦值超過一，則不存在實三角形。

2.4 週期定量模型

對 $f(t)=m+A\cos(\omega t+\phi)$，其中 $A,\omega$ 均非零，中線為 $m$、振幅為 $|A|$、週期為 $T=2\pi/|\omega|$，值域為 $[m-|A|,m+|A|]$。若模型量不能為負，須保證值域符合此限制，或限制模型適用的時間。

時間變量與角頻率必須採用相容單位，使角度參數無量綱。從月改為年時，頻率的數值也改變，不是僅給同一輸入改個名稱。

例 5：合併兩個季節分量。 設

$$Q(t)=120+20\cos(\pi t/6)-15\sin(\pi t/6),$$

其中 $t$ 以月計。選取 $\phi\in(0,\pi/2)$，使 $\cos\phi=4/5$、$\sin\phi=3/5$。由加法恆等式得 $Q(t)=120+25\cos(\pi t/6+\phi)$。週期為 $12$ 個月，值域為 $[95,145]$，零時的值為 $140$。在非負時間的首次最大值出現在 $t=12-6\phi/\pi$，而非零。相位改變出現時間，不改變振幅或週期。

非負週期圖像若未指定支撐和歸一化，就不能直接視為概率密度。

2.5 坐標與方位角

長度為 $R$、從水平正方向逆時針量得角 $\theta$ 的有向位移，分量是 $(R\cos\theta,R\sin\theta)$。若方位角從北向順時針量起，則採用不同約定：東、北分量分別為 $(R\sin\beta,R\cos\beta)$。計算前應先說明約定。

例 6：測量方向。 長度 $10$、方位角 $30^\circ$ 的路徑，其東向分量為 $10\sin30^\circ=5$，北向分量為 $10\cos30^\circ=5\sqrt3$。若 $30^\circ$ 改從正東方量起，這兩個分量會互換；公式變化的原因是參考方向改變。

2.6 分級練習

基礎

1. 將 $150^\circ$ 化為弧度，並將 $7\pi/6$ 弧度化為角度。
2. 半徑為 $4$ 的圓上，求 $90^\circ$ 角對應的弧長和弦長。
3. 寫出所有使 $\tan\theta$ 無定義的實輸入。

核心

4. 在 $0\le x<2\pi$ 上解 $\sin(2x)=0$。
5. 利用主值範圍計算 $\arccos(\cos(4\pi/3))$。
6. 三角形兩邊長為 $3,4$，夾角為直角；用一般公式求第三邊及面積。
7. 求 $f(t)=7-2\sin(\pi t/4)$ 的中線、振幅、值域與週期。
8. 將 $8\cos t+6\sin t$ 寫為 $R\cos(t-\delta)$，其中 $\delta$ 位於第一象限，並給出其正弦與餘弦。

綜合

9. 某三角形擬滿足 $a=3$、$b=8$、$A=30^\circ$。用正弦定理判斷它是否存在，並解釋為甚麼反正弦計算無法補救。
10. 一條長度為 $20$ 的路徑，方位角從北向順時針量為 $120^\circ$。求東、北分量，並驗證分量長度為 $20$。

2.7 完整解答

1. $150^\circ=5\pi/6$ 弧度；反過來，$7\pi/6$ 弧度等於 $210^\circ$。
2. 角為 $\pi/2$ 弧度，故弧長為 $4(\pi/2)=2\pi$，弦長為 $2(4)\sin(\pi/4)=4\sqrt2$。
3. 正切在餘弦為零處無定義：$\theta=\pi/2+k\pi$，其中 $k$ 是整數。
4. $2x=k\pi$，其中 $k\in\mathbb Z$，故 $x=k\pi/2$。四個允許的值為 $0,\pi/2,\pi,3\pi/2$。
5. $4\pi/3$ 處的餘弦為 $-1/2$；在 $[0,\pi]$ 中具有該餘弦的角為 $2\pi/3$。
6. 餘弦定理得 $a^2=3^2+4^2-2(3)(4)\cos(\pi/2)=25$，故第三邊為 $5$；面積為 $(1/2)(3)(4)\sin(\pi/2)=6$。
7. 中線 $7$、振幅 $2$、值域 $[5,9]$、週期 $2\pi/(\pi/4)=8$ 個時間單位。
8. $R=\sqrt{64+36}=10$，其中 $\cos\delta=4/5$、$\sin\delta=3/5$。展開 $10\cos(t-\delta)$ 可得原式。
9. 正弦定理要求 $\sin B=b\sin A/a=8(1/2)/3=4/3>1$。沒有實角的正弦值為此數，故不存在這樣的三角形。輸入超出定義域時主值反函數無定義；改變分支也無法創造有效的正弦值。
10. 東向分量為 $20\sin120^\circ=10\sqrt3$，北向分量為 $20\cos120^\circ=-10$。北向分量為負表示向南運動；長度為 $\sqrt{300+100}=20$。

總結與後續聯繫

角度需要單位和參考方向。反函數分支不會消除週期性解；三角形數據可能有歧義，也可能不可能實現。恆等式給出精確關係，而相位、振幅和頻率描述週期模型的不同特徵。分量坐標為向量與矩陣作準備，弧度函數為後續求導作準備。