求和、乘積與有限結構

動機

本章需要分數運算和分配律。完成後，你應能讀寫帶指標的和與積，在不改變各項的情況下變換指標，推導簡單的有限累積公式，並檢查公式在端點的意義。這些技能用於數據摘要、重複變化和第 6 章的無窮級數。

大型求和或乘積符號不是新的算術，而是告訴我們執行哪些普通加法或乘法的緊湊指令。困難往往在於讀懂指令，而不是執行運算。

5.1 指標是指令，不是額外變量

定義

對整數 $m\le n$ 和數 $a_m,\ldots,a_n$，定義

$$\sum_{k=m}^{n}a_k=a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n.$$

符號 $k$ 是指標，$m$ 是下限，$n$ 是上限。兩個端點都包含，故有 $n-m+1$ 項。被求和的表達式稱為求和項。計算時，將求和項中每個指標替換為每個允許的整數。

例如，

$$\sum_{k=2}^{5}(2k-1)=3+5+7+9=24.$$

共有四項，不是三項也不是五項。與指標無關的因子保持不變並重複出現：

$$\sum_{k=1}^{n}c=nc\qquad(n\ge1).$$

在有限和中，指標是約束變量或啞變量：$\sum_{k=1}^{n}k^2=\sum_{j=1}^{n}j^2$。改名不改變數值。未被求和符號約束的變量仍是參數，例如

$$F(x)=\sum_{k=1}^{3}(x+k)=3x+6.$$

這裏 $x$ 可自由變化；$k$ 不是 $F$ 的自變量。

例題

例 1：數據記號。 四個讀數為 $x_1=3$、$x_2=5$、$x_3=4$、$x_4=8$。則

$$\sum_{i=1}^{4}x_i=20,\qquad \sum_{i=1}^{4}x_i^2=9+25+16+64=114.$$

但是 $(\sum_{i=1}^{4}x_i)^2=400$。和的平方產生交叉項，不是僅將每個求和項平方。樣本算術平均數為 $\bar x=(1/4)\sum_i x_i=5$，單位與每個讀數相同。

沒有上下限的 $\sum_i$ 只有在指標集合已說明時才可使用，不能在計算間暗中改變指標集合。

5.2 有限和的代數

命題

若 $a_k,b_k$ 在同一整數範圍內定義，且 $\alpha,\beta$ 是與 $k$ 無關的常數，則分配律給出

$$\sum_{k=m}^{n}(\alpha a_k+\beta b_k) =\alpha\sum_{k=m}^{n}a_k+\beta\sum_{k=m}^{n}b_k.$$

證明

這稱為線性性。將兩邊展開成有限項列表並重新分組即可證明，無需各項為正。

在滿足 $m\le p<n$ 的整數 $p$ 處分割範圍，得到

$$\sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=m}^{p}a_k+\sum_{k=p+1}^{n}a_k.$$

第二個和從 $p+1$ 開始；若從 $p$ 開始會重複計算一項。

常見錯誤

常數可提出，但依賴指標的表達式不能。$\sum_{k=1}^{n}ka_k$ 不能改寫為 $k\sum_{k=1}^{n}a_k$：求和後不再有單一的 $k$ 值。

例題

例 2：代數總量。 因為 $1+\cdots+5=15$，

$$\sum_{k=1}^{5}(3k-2)=3(15)-2(5)=35.$$

第二部分的 $2$ 重複五次，而不是只減一次 $2$。

5.3 變換指標保持項列表

改變指標時必須同時改變求和項與上下限。若 $j=k-m$，則 $k=m$ 對應 $j=0$，$k=n$ 對應 $j=n-m$。因此

$$\sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{j=0}^{n-m}a_{j+m}.$$

比較首項、末項和項數，可以檢查換指標並捕捉許多錯誤。

例題

例 3：移位模型。 將 $\sum_{k=3}^{7}(k-2)^2$ 寫成下標從零開始的和。令 $j=k-3$，結果為

$$\sum_{j=0}^{4}(j+1)^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55.$$

若在原公式中直接以 $j$ 代替 $k$ 而不改變上下限，並沒有完成此移位。

也可以反向排列。在 $\sum_{k=0}^{n}a_k$ 中令 $j=n-k$，同樣的項按 $a_n,a_{n-1},\ldots,a_0$ 出現，故

$$\sum_{k=0}^{n}a_k=\sum_{j=0}^{n}a_{n-j}.$$

對有限實數或複數和，加法的結合律和交換律允許重排。第 6 章不會自動將此許可用於任意無窮級數。

5.4 等差總量與裂項相消

對整數 $n\ge1$，令 $S=1+2+\cdots+n$。反轉次序並將對應項相加：

$$2S=(1+n)+(2+n-1)+\cdots+(n+1)=n(n+1).$$

有 $n$ 對，每對等於 $n+1$，因此

$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2.$$

無論 $n$ 為奇數或偶數，證明都成立：我們相加的是兩個完整列表，而不是把一個列表分成對。首項為 $a$、公差為 $d$ 的等差數列，其第 $k$ 項為 $a+(k-1)d$，總和為

$$\sum_{k=1}^{n}[a+(k-1)d] =na+\frac{dn(n-1)}2=\frac n2[2a+(n-1)d].$$

例題

例 4：計劃測量。 一項研究安排 $12$ 次測量，首次在參考時刻後 $5$ 分鐘，此後每次測量時刻增加 $3$ 分鐘。這些時刻是 $5,8,\ldots,38$ 分鐘，平均為 $(5+38)/2=21.5$ 分鐘，和為 $12(21.5)=258$ 分鐘。這個和是相對於參考時刻的時間戳之和，不是研究歷時；最後一次測量在 $38$ 分鐘時進行。

命題

展開後大多數項相消的和稱為裂項相消和。對任意有定義的 $b_1,\ldots,b_{n+1}$，

$$\sum_{k=1}^{n}(b_k-b_{k+1})=b_1-b_{n+1}.$$

中間的 $b_2,\ldots,b_n$ 各以正負號出現一次。由於表達式有限，相消有效。

例題

例 5：有理式裂項。 對正整數 $k$，

$$\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.$$

因此

$$\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}=1-\frac1{n+1}=\frac n{n+1}.$$

先通分證明恆等式，再求和。當 $n=1$ 時公式給出 $1/2$，檢查了下端點。裂項消去中間項，而不是末尾邊界項。

第 3 章已推導的有限幾何級數公式也是累積恆等式。用當前記號，對 $n\ge1$，

$$\sum_{k=0}^{n-1}ar^k=\begin{cases} a(1-r^n)/(1-r),&r\ne1,\\ na,&r=1. \end{cases}$$

首項為 $a$，末項為 $ar^{n-1}$。這是有限公式，即使 $|r|>1$ 也有效；只有提出無窮極限時才涉及收斂。

5.5 乘積記號、階乘與相消

定義

相應的乘積定義為

$$\prod_{k=m}^{n}a_k=a_ma_{m+1}\cdots a_n\qquad(m\le n).$$

現在 $a_k$ 稱為因子。對整數 $n\ge1$，階乘為 $n!=\prod_{k=1}^{n}k$。規定 $0!=1$；從一到零沒有正整數可乘。更一般地，空和為 $0$，空積為 $1$，分別是加法和乘法單位元。這裏使用的空範圍沒有指標，不是倒序求和的指令。

含零因子的乘積為零。乘積之商要求分母非零。若相關因子均有定義，

$$\prod_{k=m}^{n}(a_kb_k)=\left(\prod_{k=m}^{n}a_k\right)\left(\prod_{k=m}^{n}b_k\right),$$

且當每個 $b_k\ne0$ 時，

$$\prod_{k=m}^{n}\frac{a_k}{b_k}= \frac{\prod_{k=m}^{n}a_k}{\prod_{k=m}^{n}b_k}.$$

對 $N=n-m+1$ 個因子，$\prod_{k=m}^{n}(ca_k)=c^N\prod_{k=m}^{n}a_k$。除非特殊值使兩者相等，否則這不是 $c\prod a_k$。乘積不具有類似和的線性性：一般 $\prod(a_k+b_k)\ne\prod a_k+\prod b_k$。

例題

例 6：相消乘積。 對 $n\ge1$，

$$\prod_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k} =\frac21\frac32\cdots\frac{n+1}{n}=n+1.$$

所有被消去的因子均非零。當 $n=0$，將左邊解釋為空積得到 $1$，與 $n+1$ 一致。相比之下，若某個指標處的分母為零，表達式無定義；漂亮的相消模式不能使除零合法。

例題

例 7：變化的百分比。 無量綱比例 $p_k$ 在第 $k$ 階段以乘數 $1+p_k$ 改變量。從 $Q_0$ 開始，經過 $n$ 個階段後的量為

$$Q_n=Q_0\prod_{k=1}^{n}(1+p_k).$$

先上升 $10\%$ 再下降 $10\%$ 的乘數為 $1.1(0.9)=0.99$，所以最終為起始量的 $99\%$。直接相加百分比會忽略基數變化。對於非負量，每階段乘數應非負；負的代數乘數需要不同的模型解釋。

5.6 雙重指標與統計恆等式

有限矩形雙重和為

$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij} =\sum_{i=1}^{m}(a_{i1}+\cdots+a_{in}).$$

表中每個元素出現一次，因此可以按欄而不是按行求和。特別地，普通有限分配律給出

$$\left(\sum_{i=1}^{m}u_i\right)\left(\sum_{j=1}^{n}v_j\right) =\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}u_iv_j.$$

兩個指標必須獨立。例如 $(u_1+u_2)(v_1+v_2)$ 有四項，而不只是指標相同的兩項 $u_1v_1+u_2v_2$。這是代數事實，不假設統計獨立性。

對實數觀測值 $x_1,\ldots,x_n$（$n\ge1$），令 $\bar x=(1/n)\sum_i x_i$。展開各平方並使用線性性，得到

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2 &=\sum_i x_i^2-2\bar x\sum_i x_i+\sum_i\bar x^2\\ &=\sum_i x_i^2-2n\bar x^2+n\bar x^2\\ &=\sum_i x_i^2-n\bar x^2. \end{aligned}$$

此恆等式涉及離差平方總和；除以 $n$ 或 $n-1$ 屬於不同的統計約定。$n-1$ 的約定在 $n=1$ 時無定義。對例 1 的讀數，離差平方總和為 $114-4(25)=14$，直接計算也得 $4+0+1+9$。其單位是讀數單位的平方。

5.7 分級練習

基礎

思考檢查

練習 1

1. 展開並計算 $\sum_{k=0}^{3}(2k+1)$ 和 $\prod_{k=1}^{4}(k+1)$。

思考檢查

練習 2

2. 對 $n\ge4$，$\sum_{j=4}^{n}a_j$ 有多少項？計算 $\sum_{j=4}^{8}7$。

思考檢查

練習 3

3. 對 $a_1=1,a_2=-2,a_3=4$，在 $i=1,2,3$ 範圍內計算 $\sum a_i$、$\sum a_i^2$ 和 $(\sum a_i)^2$。

思考檢查

練習 4

4. 解釋為甚麼 $\prod_{k=1}^{3}(2a_k)$ 等於 $8a_1a_2a_3$，而不是 $2a_1a_2a_3$。

核心

思考檢查

練習 5

5. 將 $\sum_{k=5}^{9}(k-4)^3$ 改寫為下標從零開始的和，並指出首項和末項。

思考檢查

練習 6

6. 對 $n\ge1$，推導 $\sum_{k=1}^{n}(4k-1)$ 的閉式公式，檢查 $n=1$ 和 $n=3$。

思考檢查

練習 7

7. 對 $n\ge2$，計算 $\sum_{k=2}^{n}1/[k(k+1)]$。

思考檢查

練習 8

8. 對 $n\ge2$，計算 $\prod_{k=2}^{n}(k-1)/k$。給出 $n=1$ 的空積值，並檢查同一閉式公式是否適用。

思考檢查

練習 9

9. 人口模型連續使用乘數 $1.2$、$0.75$、$1.1$。剩下初始量的多少？總百分比變化是否為 $20-25+10$？

思考檢查

練習 10

10. 分別按行和按欄計算 $\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}(i+2j)$。

綜合

思考檢查

練習 11

11. 使用等差求和公式證明 $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2$。解釋為甚麼它計數前 $n$ 個正奇數，包括末項。

思考檢查

練習 12

12. 對 $x_1=2,x_2=4,x_3=9$，精確求平均值和離差平方總和，分別使用直接展開與第 5.6 節恆等式。

思考檢查

練習 13

13. 對 $n\ge1$，化簡 $\prod_{k=1}^{n}(1-1/(k+1)^2)$。仔細展示相消，不要跨加法相消。

思考檢查

練習 14

14. 學生寫出 $\sum_{k=1}^{n}x^k=x\sum_{k=1}^{n}x^{k-1}=x(1-x^n)/(1-x)$。說明商式對哪些 $x$ 有效，給出排除值處的單獨答案，並檢查 $x=0$。

思考檢查

練習 15

15. 取 $a_1=1,a_2=2$ 和 $b_1=3,b_2=5$，給出數值反例否定 $\prod_{k=1}^{2}(a_k+b_k)=\prod_{k=1}^{2}a_k+\prod_{k=1}^{2}b_k$。

思考檢查

練習 16

16. 假設 $q_1,\ldots,q_n>0$ 且 $n\ge1$。反覆使用雙因子對數律證明 $\ln(\prod_{k=1}^{n}q_k)=\sum_{k=1}^{n}\ln q_k$。解釋為甚麼即使最終乘積恰好為正，只要有一個非正因子，實對數陳述就無效。

5.8 完整解答

解答 · 練習 1

1. 和為 $1+3+5+7=16$，積為 $2\cdot3\cdot4\cdot5=120$。

解答 · 練習 2

2. 項數為 $n-4+1=n-3$。上限為八時有五項，故值為 $35$。

解答 · 練習 3

3. 和為 $1-2+4=3$，平方和為 $1+4+16=21$，和的平方為 $9$。差異反映交叉項。

解答 · 練習 4

4. 有三個獨立的因子二：$(2a_1)(2a_2)(2a_3)=2^3a_1a_2a_3$。即使某個 $a_k=0$ 仍成立。

解答 · 練習 5

5. 令 $j=k-5$，則 $k-4=j+1$。結果為 $\sum_{j=0}^{4}(j+1)^3$，首項 $1^3$，末項 $5^3$。

解答 · 練習 6

6. 線性性給出 $4n(n+1)/2-n=2n^2+n=n(2n+1)$。在一處為 $3$，在三處為 $21$，與 $3+7+11$ 一致。

解答 · 練習 7

7. 每項寫成 $1/k-1/(k+1)$，剩下邊界項 $1/2-1/(n+1)=(n-1)/[2(n+1)]$。當 $n=2$，值為 $1/6$，即和中的唯一一項。

解答 · 練習 8

8. 乘積為 $(1/2)(2/3)\cdots((n-1)/n)=1/n$。當 $n=1$，空積為 $1$，與 $1/n=1$ 一致。

解答 · 練習 9

9. 精確乘數為 $(6/5)(3/4)(11/10)=99/100$。因此剩下 $99\%$，總變化為下降 $1\%$。階段百分比之和為 $5\%$，未考慮不同基數。

解答 · 練習 10

10. 按行得到 $(3+5+7)+(4+6+8)=15+18=33$；按欄得到 $(3+4)+(5+6)+(7+8)=7+11+15=33$。六個元素各計一次。

解答 · 練習 11

11. 線性性給出 $2[n(n+1)/2]-n=n^2$。指標表達式從一開始，每次增加二，以 $2n-1$ 結束，故恰列出前 $n$ 個正奇數。當 $n=1$，兩邊均為一。

解答 · 練習 12

12. 平均值為 $15/3=5$。直接計算總和為 $(2-5)^2+(4-5)^2+(9-5)^2=9+1+16=26$。恆等式給出 $4+16+81-3(25)=101-75=26$。

解答 · 練習 13

13. 由於 $1-1/(k+1)^2=k(k+2)/(k+1)^2$，將乘積分為 $\prod_{k=1}^{n}k/(k+1)$ 和 $\prod_{k=1}^{n}(k+2)/(k+1)$。它們分別為 $1/(n+1)$ 和 $(n+2)/2$，得到 $(n+2)/[2(n+1)]$。當 $n=1$，值為 $3/4$，與原式首因子一致。分解先因式分解平方差，再使用乘法，而不是消去和中的項。

解答 · 練習 14

14. 對所有實數 $x\ne1$，有限商式有效。在 $x=1$，和為 $n$。在 $x=0$，原和的冪從一開始，故為零，商式也給出零。有限幾何表達式 $\sum_{k=0}^{n-1}x^k$ 的常數項取一，包括 $x=0$ 時；不需要為一般不定表達式 $0^0$ 下定義。

解答 · 練習 15

15. 左邊為 $(1+3)(2+5)=28$，所提右邊為 $1\cdot2+3\cdot5=17$，故該規律錯誤。

以下解答所用雙因子對數律在第 9 章證明，所需實冪構造見實冪基礎證明。

解答 · 練習 16

16. 當 $n=1$，陳述顯然。合併前兩個正因子得 $\ln(q_1q_2)=\ln q_1+\ln q_2$；將它們的正乘積與 $q_3$ 合併再加上 $\ln q_3$。繼續有限列表即得全部 $n$ 項。正性使每個對數都有定義。兩個負因子的乘積可以為正，但各自的實對數無定義；零因子也使乘積的對數無定義。

總結

• 有限和列出加法，有限積列出乘法。端點與項數是其意義的一部分。
• 和具有線性性；逐項乘積的積可拆成兩個積相乘，但不能類似地對加法拆分。
• 換指標時改變指標表達式及上下限，並比較首末項。
• 等差總和、裂項和幾何總和是精確有限恆等式；例外分母須單獨檢查。
• 空和、空積分別為零和一。非空分母仍不能為零。
• 數據平均數和離差平方展示了平方和與和的平方的區別。

聯繫。 有限部分和導向第 6 章的無窮級數定義；本章恆等式提供第 7 章歸納證明的命題。乘積乘數與第 9 章指數及對數律相聯繫。第 4 章的矩陣元素記號也是指標和。