冪、對數與乘法尺度

動機

第 1 章介紹了正底指數函數、作為其逆函數的對數和衰減模型。本章補充其代數發展，而不重複該模型。你應能區分整數、有理數與實數次冪，說明冪和對數律的安全假設，求解基本指數及對數方程和不等式，並將重複因子誤差要求轉換為整數閾值。

關鍵是保持數系和定義域明確。對正底數及任意實指數有效的規律，未必對負底數仍然有效。對數化簡不能產生非正數的實對數。

9.1 整數次冪與零的情況

對正整數 $n$，定義 $a^n$ 為實數 $a$ 的 $n$ 個因子相乘。對 $a\ne0$，規定 $a^0=1$、$a^{-n}=1/a^n$。通過分組和消去因子可得整數指數律：

$$a^{m+n}=a^ma^n,\qquad (a^m)^n=a^{mn}.$$

對非零實數 $a$，這些規律適用於所有整數 $m,n$。另外，對實數 $a,b\ne0$ 和整數 $n$，有 $(ab)^n=a^nb^n$ 和 $(a/b)^n=a^n/b^n$。當所有指數為正時可以弱化非零假設，但負指數或商需要時必須恢復它。

對零，當 $n$ 為正整數時 $0^n=0$。零的負次冪無定義，因為需要除以零。本章不定義 $0^0$。多項式的常數項是給定常數；在有限幾何和中將它寫成第零項，不需要對不定表達式 $0^0$ 作一般賦值。

例題

例 1：先整理再計算。 因為底數二非零，

$$\frac{2^{-3}2^5}{2^4}=2^{-3+5-4}=2^{-2}=\frac14.$$

帶符號底數需要括號：$(-2)^4=16$，而 $-2^4=-(2^4)=-16$。後者的負號不是取冪底數的一部分。

9.2 有理數與實數次冪：正性何時重要

對 $a>0$ 和整數 $p,q$（$q>0$），將 $a^{p/q}$ 定義為 $a^p$ 的唯一正 $q$ 次根。等價分數得到相同定義。特別地 $a^{1/q}$ 為正，即使 $q$ 是偶數也是如此：此記號表示非負根函數，而不是方程的兩個解。

對負底數，當 $q$ 為奇數時存在實數 $q$ 次根。在本章基本約定下，將有理指數 $p/q$ 寫成 $q>0$ 的最簡形式：若 $q$ 為奇數，定義 $a^{p/q}=(\sqrt[q]{a})^p$；若 $q$ 為偶數，表達式不是實數。此約定並未把負底數擴展為具有任意無理指數的實值函數。

例題

例 2：根與解集。 $16^{1/2}=4$，不是 $\pm4$。方程 $x^2=16$ 有兩個解 $x=\pm4$。此外

$$(-8)^{1/3}=-2,\qquad (-8)^{2/3}=4.$$

但 $(-8)^{1/2}$ 不是實數。第 8 章可求對應的複數根方程，卻不能因此對負底數使用所有實指數律。

命題

對正實底數 $a$，實數次冪 $a^x$ 對每個實指數 $x$ 有定義。我們使用與有理次冪一致的通常實指數擴展，以及規律

$$a^{x+y}=a^xa^y,\qquad (a^x)^y=a^{xy},\qquad (ab)^x=a^xb^x\quad(a,b>0).$$

下方的共享構造證明這些法則、連續性、$a\ne1$ 時的嚴格單調性及正數值域。先構造指數，再定義逆對數；公式 $a^x=\exp(x\ln a)$ 因而是結論，不是循環前提。

共享基礎：不循環依賴對數的正底數的實數次冪

基礎約定。 將實數視為完備有序域，並使用非負整數歸納法。基本語言為有限代數、絕對值及數列極限定義。本構造不預設對數、實指數函數、導數、積分或複數冪律，也不定義負底數的無理次冪。構造完成後可選通常的常數 $e>1$ 為底數；這裏的代數不需要 $e$ 的微分刻畫。

1. 整數界、有理逼近與正根。 正整數無上界：若其上確界為 $s$，必有整數大於 $s-1$，其後繼就大於 $s$，矛盾。因此有阿基米德性質。對每個實數 $x$，足夠大的正、負整數夾住 $x$，其中有限整數列表有不超過 $x$ 的最大成員，故下取整存在。因此 $r_n=\lfloor nx\rfloor/n$ 滿足 $r_n\le x<r_n+1/n$。對不同實數 $u<v$，選 $1/n<v-u$，則 $(\lfloor nu\rfloor+1)/n$ 嚴格位於兩者之間。這些事實來自完備性和整數次序，不使用指數函數。

在完備有序實數域中，對 $b>0$ 和整數 $m\ge1$，令 $S=\{t\ge0:t^m\le b\}$。它包含 $\min\{1,b\}>0$，且以 $\max\{1,b\}$ 為上界，故存在 $r=\sup S>0$。有限因式分解給出：對非負的 $t,r\le M$，

$$t^m-r^m=(t-r)\sum_{j=0}^{m-1}t^{m-1-j}r^j,\qquad |t^m-r^m|\le mM^{m-1}|t-r|.$$

取 $M=r+1$。若 $r^m<b$，選 $0<h<1$ 使 $mM^{m-1}h<b-r^m$，則 $(r+h)^m<b$，與上界 $r$ 矛盾。若 $r^m>b$，選 $0<h<\min\{1,r\}$ 使 $mM^{m-1}h<r^m-b$，則 $(r-h)^m>b$；由非負數整數冪的單調性，$r-h$ 是 $S$ 的上界，與上確界矛盾。因此 $r^m=b$。當 $b=0$，唯一非負根為零。同一因式分解說明 $t>s\ge0$ 時 $t^m>s^m$，故正根唯一。

2. 有理次冪及其法則。 對 $a>0$，以 $a^p$ 的正 $q$ 次根定義 $a^{p/q}$，其中 $p\in\mathbb Z$、$q\ge1$，負整數冪使用倒數。若 $p/q=p'/q'$，將兩個正候選值均取 $qq'$ 次冪，得相同值 $a^{pq'}=a^{p'q}$；由正根唯一性，定義不依賴分數表示。將有理指數通分，所有冪都可寫為同一正根的整數冪，整數分組法則便給出對有理 $r,s$ 的 $a^{r+s}=a^ra^s$、$a^{-r}=1/a^r$。同樣，對整數乘積應用正根唯一性，得到 $a,b>0$、有理 $r$ 時 $(ab)^r=a^rb^r$：若 $r=p/q$，正數 $a^rb^r$ 的 $q$ 次冪為 $a^pb^p=(ab)^p$，因此就是定義中的正根。

當 $a>1$，正有理次冪大於一，所以 $a^r$ 在有理指數上嚴格遞增。歸納證明伯努利不等式 $(1+d)^n\ge1+nd$（$d\ge0$）：乘以 $1+d$ 時，比下一步所需下界多出非負項 $nd^2$。令 $d=a^{1/n}-1\ge0$，得

$$1\le a^{1/n}\le1+\frac{a-1}{n}.$$

故 $a^{1/n}\to1$，且對有理 $|h|\le1/n$，有 $a^{-1/n}\le a^h\le a^{1/n}$。

3. 上確界延拓與加法法則。 對 $a>1$ 和實數 $x$，定義

$$E_a(x)=\sup\{a^r:r\in\mathbb Q,\ r\le x\}.$$

選整數 $M\le x<N$，則 $a^M$ 屬於該集合，$a^N$ 是上界。因此上確界存在且至少為 $a^M>0$；這並非聲稱定義集合的全部成員有正下界。有理 $x$ 時，它等於有理冪 $a^x$。令 $r_n=\lfloor nx\rfloor/n$、$v_n=a^{1/n}$，有理指數的單調性給出

$$a^{r_n}\le E_a(x)\le a^{r_n}v_n.$$

整數 $N>x$ 給出 $a^{r_n}\le a^N$，所以 $0\le E_a(x)-a^{r_n}\le a^N(v_n-1)\to0$，即 $a^{r_n}\to E_a(x)$。對實數 $x,y$，令 $t_n=r_n(x)+r_n(y)$，則 $t_n\le x+y<t_n+2/n$，且

$$a^{t_n}\le E_a(x+y)\le a^{t_n}v_n^2.$$

有理指數加法法則給出 $a^{t_n}=a^{r_n(x)}a^{r_n(y)}\to E_a(x)E_a(y)$，而 $a^{t_n}$ 被某個固定整數次冪從上方界住。由於 $v_n^2\to1$，上述界證明 $E_a(x+y)=E_a(x)E_a(y)$。這裏的基本乘積極限步驟可直接由下式證明：

$$|u_nv_n-uv|\le |u_n|\,|v_n-v|+|v|\,|u_n-u|.$$

收斂的 $u_n$ 在某尾部滿足 $|u_n|\le|u|+1$。在共同尾部取 $|v_n-v|<\varepsilon/[2(|u|+1)]$ 和 $|u_n-u|<\varepsilon/[2(|v|+1)]$，右邊便小於 $\varepsilon$。所用夾逼步驟也只需使所示非負上界小於 $\varepsilon$。

由定義集合可知 $E_a$ 非遞減、$E_a(0)=1$；加法法則給出 $E_a(-x)=1/E_a(x)$。若 $h>0$，選有理 $0<r<h$，便有 $E_a(h)\ge a^r>1$。故 $x<y$ 時 $E_a(y)=E_a(x)E_a(y-x)>E_a(x)$，延拓嚴格遞增。

4. 連續性與全部正輸出。 當 $|h|\le1/n$，

$$a^{-1/n}\le E_a(h)\le a^{1/n}.$$

兩界均趨於一；對 $v_n=a^{1/n}\ge1$，$0\le1-v_n^{-1}\le v_n-1\to0$。給定任意容許誤差，選 $n$ 使兩界與一之差均小於該誤差，再取 $|h|<1/n$，即證在零處連續。由 $E_a(x+h)=E_a(x)E_a(h)$，把容許誤差除以固定正因子 $E_a(x)$，便證每個 $x$ 處連續。

伯努利不等式給出 $E_a(n)=a^n\ge1+n(a-1)$，故正向無界；$E_a(-n)=1/a^n\to0$。固定 $u>0$，實數集合 $T=\{t:E_a(t)\le u\}$ 因而非空且有上界。令 $x=\sup T$。若 $E_a(x)<u$，由連續性可選小的 $h>0$ 使 $E_a(x+h)<u$，與上界 $x$ 矛盾；若 $E_a(x)>u$，可選小的 $h>0$ 使 $E_a(x-h)>u$，單調性就使 $x-h$ 成為 $T$ 的上界，與最小上界矛盾。因此 $E_a(x)=u$，嚴格單調性保證原像唯一。由此不使用對數，構造了連續雙射 $\mathbb R\to(0,\infty)$。

5. 全部正底數與其餘實指數律。 規定 $1^x=1$。當 $0<a<1$，定義 $a^x=E_{1/a}(-x)$；當 $a>1$，寫 $a^x=E_a(x)$。這些定義與有理冪一致，保持加法法則和連續性，且在 $0<a<1$ 時嚴格遞減、值域仍為全部正數。

對 $a,b>0$，取有理 $r_n\to x$。指數變量的連續性及有理法則 $(ab)^{r_n}=a^{r_n}b^{r_n}$ 給出 $(ab)^x=a^xb^x$。對冪的冪，先令 $r=p/q$ 為有理數、$q>0$。加法法則給出 $(a^{x/q})^q=a^x$，由正根唯一性得 $(a^x)^{1/q}=a^{x/q}$。使用整數冪和倒數，得 $(a^x)^{p/q}=a^{xp/q}$。最後取有理 $r_n\to y$，在 $(a^x)^{r_n}=a^{xr_n}$ 中使用兩邊指數函數的連續性，得 $(a^x)^y=a^{xy}$。每次取根和應用連續性時，底數均為正。

6. 作為逆函數的對數，沒有循環。 對 $a>0$、$a\ne1$，定義 $\log_a$ 為剛證雙射的逆函數。嚴格遞增函數的逆也嚴格遞增；嚴格遞減函數的逆也嚴格遞減，因為兩種輸入次序分別強制相應的嚴格輸出次序。這證明對數不等式所用單調性。本章對數乘積、商、冪和換底公式的證明，現在依賴獨立構造的指數律和逆關係。若 $\exp(x)=e^x$、$\ln=\log_e$，則 $a=e^{\ln a}$，由已證冪律得 $a^x=\exp(x\ln a)$。它是結論，不是用來證明同一批法則的循環定義。

常見錯誤

不要將中間規律移植到任意負底數。取 $a=-1$、$x=2$、$y=1/2$，兩個表達式都有實數意義，但

$$[(-1)^2]^{1/2}=1\quad\text{whereas}\quad(-1)^{2(1/2)}=-1.$$

所以即使各表達式分別有定義，也不使無限制的規律成立。同樣，對實數 $x$，$\sqrt{x^2}=|x|$，一般不是 $x$。

9.3 對數及其規律證明

定義

對 $a>0$、$a\ne1$，函數 $x\mapsto a^x$ 將 $\mathbb R$ 雙射到 $(0,\infty)$，其逆函數為 $\log_a$。因此

$$\log_a u=v\iff a^v=u\qquad(u>0).$$

底數必須為正且不為一，真數必須為正。特別地 $\log_a1=0$、$\log_aa=1$。不存在實數 $\log_a0$；正真數可趨近零不意味著在零處賦予實對數。

命題

對正數 $u,v$ 和實數 $p$，

$$\log_a(uv)=\log_a u+\log_a v,$$$$\log_a(u/v)=\log_a u-\log_a v,\qquad \log_a(u^p)=p\log_a u.$$

證明

證明乘積律時令 $s=\log_a u$、$t=\log_a v$，則 $u=a^s$、$v=a^t$，所以 $uv=a^{s+t}$。應用逆函數即得結果。商律使用 $u/v=a^{s-t}$；冪律使用 $u^p=(a^s)^p=a^{sp}$，此步因底數為正而允許。這些是指數律與可逆性的後果，而非獨立的符號技巧。

例題

例 3：安全展開。 若 $x>0$、$y>0$，

$$\ln\left(\frac{x^2\sqrt y}{3}\right) =2\ln x+\frac12\ln y-\ln3.$$

若 $x<0$、$y>0$，原真數仍為正，但寫出的 $\ln x$ 無定義。對所有 $x\ne0$、$y>0$ 有效的公式是

$$\ln\left(\frac{x^2\sqrt y}{3}\right) =2\ln|x|+\frac12\ln y-\ln3.$$

省略絕對值或分情況時，展開式可能比原表達式要求更嚴格的限制。

不存在將和的對數變為對數之和的規律。例如 $\ln(1+1)=\ln2>0$，而 $\ln1+\ln1=0$。乘積律適用於乘法，不適用於加法。

對另一個允許的底數 $b>0$、$b\ne1$，換底公式為

$$\log_a u=\frac{\log_b u}{\log_b a}\qquad(u>0).$$

證明時令 $v=\log_a u$，則 $u=a^v$。取 $\log_b$ 得 $\log_b u=v\log_b a$。因 $a\ne1$，分母非零。選 $b=e$ 得 $\log_a u=\ln u/\ln a$。

9.4 單調性決定不等號方向

若 $a>1$，$a^x$ 和 $\log_a x$ 均嚴格遞增；若 $0<a<1$，兩者均嚴格遞減。後一情況可由 $a^x=(1/a)^{-x}$（$1/a>1$）及取逆看出。

因此，對正數 $u,v$，

$$\log_a u\le\log_a v \iff\begin{cases}u\le v,&a>1,\\u\ge v,&0<a<1.\end{cases}$$

反向至關重要。即使最終不等式中對數消失，真數正性條件仍然有效。

例題

例 4：小於一的底數。 解

$$\log_{1/2}(x-1)\ge-2.$$

首先 $x>1$。因為對數遞減，與 $\log_{1/2}4=-2$ 比較得到 $x-1\le4$。結合定義域得

$$1<x\le5.$$

在 $x=5$ 取等；在 $x=1$ 對數無定義。忘記底數導致的反向會選錯端點的一側。

底數大於一時，真數大於一對應正對數；底數小於一時，正對數對應的真數介於零與一之間。負對數是普通實數輸出，不表明其真數為負。

9.5 解方程時避免產生偽解

例題

例 5：對數方程。 解

$$\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3.$$

兩個真數都須為正，所以 $x>1$。在該定義域上，乘積律及可逆性給出

$$\log_2[(x-1)(x+1)]=3 \iff x^2-1=8 \iff x=3\text{ or }x=-3.$$

只有 $x=3$ 屬於原定義域。代入得到 $\log_22+\log_24=1+2=3$。另一個代數根不是原方程的解。乘積為正本身不能保證兩個因子分別為正。

例題

例 6：正數代換。 求實數 $x$ 滿足 $4^x-5\cdot2^x+4=0$。令 $u=2^x>0$，則 $4^x=(2^x)^2=u^2$，所以

$$u^2-5u+4=(u-1)(u-4)=0.$$

兩個根均為正。方程 $2^x=1$ 和 $2^x=4$ 給出 $x=0$、$x=2$，各自可檢驗。若二次方程產生非正 $u$，必須在取對數前捨去。

例題

例 7：變量底數。 解 $\log_x9=2$。轉換前，底數條件為 $x>0$ 且 $x\ne1$。逆關係給出 $x^2=9$，候選為 $x=3$ 和 $x=-3$。只有三是允許的對數底數，故唯一解為 $x=3$。

記號 $\log_a u$ 有兩個數學作用不同的輸入：底數和真數。若任一包含變量，都需要記錄其限制。在科學公式中，未知符號不能按對數計算的方便程度決定。

9.6 幾何誤差估計的整數閾值

假設 $C>0$、$0<q<1$，整數 $N\ge0$ 項後的誤差為 $E_N=Cq^N$。對容許值 $\varepsilon>0$，取自然對數得到

$$E_N\le\varepsilon \iff N\ln q\le\ln(\varepsilon/C) \iff N\ge\frac{\ln(\varepsilon/C)}{\ln q},$$

因為 $\ln q<0$。因此允許的最小整數為

$$N_{\min}=\max\left\{0,\left\lceil \frac{\ln(\varepsilon/C)}{\ln q}\right\rceil\right\}.$$

上取整 $\lceil t\rceil$ 是不小於 $t$ 的最小整數。對嚴格誤差要求 $E_N<\varepsilon$，$N$ 的不等式也是嚴格的，公式變為

$$N_{\min}=\max\left\{0,\left\lfloor \frac{\ln(\varepsilon/C)}{\ln q}\right\rfloor+1\right\}.$$

這裏 $\lfloor t\rfloor$ 是不大於 $t$ 的最大整數。這些公式包括 $N=0$ 時已滿足容許值的情況。若應用只允許 $N\ge1$，將外面的零替換為一。若 $C=0$，每個誤差均為零，不應嘗試以對數除以 $C$；直接處理該情形。

例題

例 8：比較相鄰整數。 設 $E_N=5(0.7)^N$，要求 $E_N\le0.02$。對數閾值約為 $15.4804$，候選整數為 $16$。檢查相鄰整數對應的冪，而不要只依賴四捨五入的閾值：

$$5(0.7)^{15}\approx0.0237378>0.02,\qquad 5(0.7)^{16}\approx0.0166165<0.02.$$

由於誤差隨 $N$ 遞減，這證明最小允許整數為 $16$。當計算閾值接近整數，過早四捨五入可能給出錯誤選擇。

9.7 冪律與無量綱對數尺度

正輸入的冪律可寫為量綱清晰的形式

$$\frac y{y_0}=\left(\frac x{x_0}\right)^p, \qquad x,x_0,y,y_0>0.$$

取對數得

$$\ln(y/y_0)=p\ln(x/x_0).$$

真數是無量綱比值，因此等式不依賴測量單位。在記錄這些對數比值的坐標軸上，模型是過原點、斜率為 $p$ 的直線。數據在這種坐標上近似成直線，是候選冪律的證據，而不是在觀測範圍外也成立的精確物理定律證明。

例題

例 9：由比值恢復指數。 在某模型中，$x$ 加倍使 $y$ 變為三倍。則 $3=2^p$，所以

$$p=\frac{\ln3}{\ln2}.$$

指數不是三：冪律指數記錄變化的對數比。選定此理想化指數後，$x$ 乘以四使 $y$ 乘以 $4^p=(2^p)^2=9$。

也可將對數評分定義為 $D=10\log_{10}(Q/Q_0)$，其中 $Q,Q_0$ 為正。$D$ 增加十使 $Q/Q_0$ 乘以十；增加三使比值乘以 $10^{0.3}$，不是乘以三。此結論來自定義，不假設特定物理應用。對數顯示壓縮乘法範圍，但不會使原量的加法變化成為等間距。

9.8 分級練習

基礎

思考檢查

練習 1

1. 將 $3^{-2}$、$(-3)^2$、$-3^2$、$16^{3/4}$ 和 $(-32)^{2/5}$ 計算為實數。

思考檢查

練習 2

2. 按本章約定，$0^{-2}$、$0^3$、$(-4)^{1/2}$、$(-27)^{1/3}$ 中哪些作為實數有定義？

思考檢查

練習 3

3. 計算 $\log_327$、$\log_{1/2}8$ 和 $\log_51$。

思考檢查

練習 4

4. 用一個允許的底數和正真數，給出並檢查 $\log_a(u+v)=\log_a u+\log_a v$ 的反例。

核心

思考檢查

練習 5

5. 給出 $\ln[(x-2)/(x+1)]$ 的實數定義域，並與 $\ln(x-2)-\ln(x+1)$ 的定義域比較。兩式在哪裡相等？

思考檢查

練習 6

6. 在實數上解 $\ln x+\ln(x+3)=\ln10$。

思考檢查

練習 7

7. 在實數上解 $9^x-10\cdot3^x+9=0$。

思考檢查

練習 8

8. 解 $\log_3(x+1)\le2$。

思考檢查

練習 9

9. 解 $\log_{1/2}(2x+1)>1$。

思考檢查

練習 10

10. 解 $\log_x16=4$，先說明底數限制。

思考檢查

練習 11

11. 對每個實數 $x\ne0$ 證明 $\ln(x^2)=2\ln|x|$。解釋為甚麼 $2\ln x$ 在整個定義域上不是等價的實表達式。

思考檢查

練習 12

12. 對整數 $N\ge0$，誤差為 $E_N=8(1/2)^N$。分別求滿足 (a) $E_N\le1/8$ 和 (b) $E_N<1/8$ 的最小 $N$。

綜合

思考檢查

練習 13

13. 在正輸入冪律模型中，$x$ 乘以三使 $y$ 乘以五。求指數，以及 $x$ 乘以九時的乘數。說明取對數所需正性。

思考檢查

練習 14

14. 對定義的評分 $D=10\log_{10}(Q/Q_0)$，求 $D=-20$ 時的 $Q/Q_0$；當 $Q_0$ 固定、$D$ 從 $-20$ 升至 $-5$ 時，求 $Q$ 的乘法變化。

思考檢查

練習 15

15. 學生由冪的冪法則聲稱 $(-1)^{2(1/2)}=[(-1)^2]^{1/2}$。分別計算兩邊並指出缺失假設。

思考檢查

練習 16

16. 假設 $C>0$、$0<q<1$，且 $N$ 是非負整數。推導滿足 $Cq^N\le C$ 的最小 $N$，再推導滿足 $Cq^N<C$ 的最小 $N$。與上取整和下取整公式比較，不要假定兩個容許條件相同。

9.9 完整解答

解答 · 練習 1

1. 結果為 $1/9$、$9$、$-9$、$(16^{1/4})^3=2^3=8$ 和 $[(-32)^{1/5}]^2=(-2)^2=4$。

解答 · 練習 2

2. 第一個因需要除以零而無定義。第二個有定義且等於零。第三個沒有實數值，因為實數平方不能為負。第四個有定義且等於 $-3$。

解答 · 練習 3

3. 分別為三、負三和零：$3^3=27$、$(1/2)^{-3}=8$、$5^0=1$。

解答 · 練習 4

4. 取底數二和 $u=v=1$。左邊為 $\log_22=1$，所提右邊為 $0+0=0$。反例中的所有對數均有定義。

解答 · 練習 5

5. 第一個表達式要求 $(x-2)/(x+1)>0$ 且 $x\ne-1$。符號表給出 $x<-1$ 或 $x>2$。展開式要求 $x-2>0$ 且 $x+1>0$，故只有 $x>2$；商律證明它們在那裡相等。對 $x<-1$，原正比值有實對數，但各個對數無定義，故展開式不能表示它。在原完整定義域上的另一表達式是 $\ln|x-2|-\ln|x+1|$。

解答 · 練習 6

6. 定義域要求 $x>0$。合併對數得 $x(x+3)=10$，即 $(x+5)(x-2)=0$。候選 $-5$ 不允許；$x=2$ 給出 $\ln2+\ln5=\ln10$。故二是唯一解。

解答 · 練習 7

7. 令 $u=3^x>0$，得到 $u^2-10u+9=(u-1)(u-9)=0$。兩根均為正，故 $x=0$ 或 $x=2$，兩者均滿足原方程。

解答 · 練習 8

8. 定義域為 $x>-1$。底數三大於一，故不等式等價於 $x+1\le9$，因此 $-1<x\le8$。

解答 · 練習 9

9. 要求 $2x+1>0$，即 $x>-1/2$。由於底數小於一，與 $\log_{1/2}(1/2)=1$ 比較得 $2x+1<1/2$，即 $x<-1/4$。合併得 $(-1/2,-1/4)$，兩個端點均排除。

解答 · 練習 10

10. 要求 $x>0$、$x\ne1$。方程給出 $x^4=16$，其實數候選為二和負二，只有二是允許的底數。故 $x=2$。

解答 · 練習 11

11. 由於 $x\ne0$，有 $|x|>0$ 和 $x^2=|x|^2$。正真數冪律給出 $\ln(x^2)=\ln(|x|^2)=2\ln|x|$。對負 $x$，$\ln x$ 無定義，但原表達式有定義；例如 $x=-1$ 給出 $\ln1=0$。

解答 · 練習 12

12. 條件 $8/2^N\le1/8$ 等價於 $2^N\ge64$，最小整數為六。嚴格不等式要求 $2^N>64$，最小整數為七。六處誤差恰為 $1/8$，這解釋了區別。

解答 · 練習 13

13. 輸入和輸出參考比值為正時，$5=3^p$，故 $p=\ln5/\ln3$。$x$ 乘以九使 $y$ 乘以 $9^p=(3^p)^2=25$。正比值確保實對數有定義；輸入的參考比值為三而非一，所以分母對數非零。

解答 · 練習 14

14. 整理得 $Q/Q_0=10^{D/10}$。當 $D=-20$，比值為 $10^{-2}=1/100$。評分增加十五，故乘數為 $10^{15/10}=10^{3/2}=10\sqrt{10}$。負評分對應小於一的正比值，而不是負量。

解答 · 練習 15

15. 左邊為 $(-1)^1=-1$，右邊為 $1^{1/2}=1$。實指數的冪的冪法則只對正底數陳述；原底數為負。每個表達式各自具有實數意義，不足以推廣該法則。

解答 · 練習 16

16. 除以 $C>0$。對於 $q^N\le1$，$N=0$ 已取等，故最小 $N$ 為零。對於 $q^N<1$，零不滿足，一成立，因為 $q<1$，故最小 $N$ 為一。在一般公式中，$\varepsilon/C=1$ 使對數閾值為零。非嚴格公式給出 $\max\{0,\lceil0\rceil\}=0$，嚴格公式給出 $\max\{0,\lfloor0\rfloor+1\}=1$，符合要求。

圖像專題 G4

思考檢查

圖像題 G4

在哪一種坐標軸上是直線？

某校準練習構造以下精確的正無量綱比值。它們是為練習構造的數據，不是外部實驗測量值。設 $u=x/x_0$、$q=Q/Q_0$，其中 $x,x_0,Q,Q_0>0$，每個分子與其自身參考分母的物理單位相同。

輸入比值 $u$	$1/2$	$1$	$2$	$4$	$8$
輸出比值 $q$	$1/4$	$1$	$4$	$16$	$64$

左圖使用普通比值坐標；右圖使用 $X=\log_2u$ 和 $Y=\log_2q$。候選曲線只畫出數據的輸入區間 $[1/2,8]$。

1. 變換全部五組數值，用右圖中兩點求斜率。在假設冪律模型 $q=u^p$ 下，確定 $p$ 並恢復普通比值坐標中的方程。
2. 右圖上水平增加一個單位，對原輸入意味著甚麼？若模型有效範圍內輸入變為三倍，輸出變為多少倍？
3. 為甚麼零或負的輸入／輸出比值都不能放在對數圖上？$X$ 或 $Y$ 為負是否表示物理比值為負？
4. 五個變換後的點共線，是否證明冪律在每個正輸入上成立，或證明普通坐標中的圖像是直線？區分圖像證據、假設模型與普遍結論。

解答 · 圖像題 G4

1. 變換後的各對為

   $$(-1,-2),\quad(0,0),\quad(1,2),\quad(2,4),\quad(3,6).$$

   例如通過 $(0,0)$ 和 $(3,6)$ 的斜率為 $6/3=2$。若 $q=u^p$ 且 $u>0$，取以二為底的對數得 $Y=pX$。冪律模型因此要求 $p=2$，故 $q=u^2$。代入可檢驗原來全部五對數據。物理變量中的候選模型為 $Q/Q_0=(x/x_0)^2$，即 $Q=Q_0(x/x_0)^2$。參考量保留模型的單位；取對數的是比值，而不是帶單位的濃度或時間。

2. $X$ 增加一，使 $u$ 乘以二，因為 $u=2^X$。變換圖上的相等水平距離對應相等的乘法因子，而不是原輸入的相等加法增量。指數為二時，將 $u$ 換成 $3u$ 得 $(3u)^2/u^2=9$，所以輸出乘以九。若它是經驗候選模型，原輸入和三倍後的輸入都必須處於實際確立的有效範圍內。

3. 實對數要求真數為正，因此 $u=0$、$q=0$ 和負比值沒有可繪製的對數坐標。相反，$X=-1$ 表示 $u=2^{-1}=1/2>0$，$Y=-2$ 表示 $q=2^{-2}=1/4>0$。負對數坐標表示小於一的正比值，而不是負物理量。圖上的截距 $(X,Y)=(0,0)$ 對應 $(u,q)=(1,1)$，不是零輸入或零輸出。

4. 五組讀數都與這一冪律假設一致；在該數學模型內，給定公式證明所有正輸入對應直線。有限數據本身不能確立各讀數之間或其外的物理規律。其他函數也可以在全部五個輸入處相同，而在其他地方不同。另外，變換坐標中的直線在原坐標中並不是直線：$q=u^2$ 在原坐標中有變化的割線斜率。圖像外觀取決於所述坐標軸和尺度。將模型外推到所示區間之外，需要獨立的科學依據。

總結

整數次冪是重複乘法和倒數。有理次冪需要根和符號約定；任意實指數律對正底數安全。實對數要求正且不為一的底數以及正真數，其規律來自取冪和求逆。底數決定對數不等式保持還是反轉次序。變換後定義域仍有效，指數代換帶有正性限制。對數將幾何誤差不等式化為整數閾值，但仍需注意嚴格容許值與取整。無量綱比值使對數科學模型在不同單位下可解釋。

聯繫。 本章補充第 1 章初步逆模型以外的指數和對數代數。第 5 章提供有限乘積與重複變化，第 6 章提供幾何餘項，第 7 章提供注意符號的證明習慣。第 8 章的複數冪使用不同數系，並不自動推廣這裏每個實數冪約定。