函數、方程與科學模型

動機

本章假設讀者熟悉帶符號數和分數的運算以及分配律。學完後，你應能寫出公式的定義域、區分等價方程與僅為必要條件的方程、對適當函數進行複合與求逆，並建立量綱一致的初等模型。這些技能為微積分中的極限和線性代數中的方程組作準備。

單靠公式不能說明全部情況。表達式 $1/(x-2)$ 在 $x=3$ 有意義，在 $x=2$ 卻沒有意義。平方根可能帶來限制，即使平方後該限制不再顯現。科學模型還會增加約束：代數上有效的負濃度不是物理上允許的答案。我們將這三個問題分開：表達式有定義嗎？方程成立嗎？模型適用嗎？

1.1 實數、區間和絕對值

實數軸有序。區間不用逐一列出元素便能表示範圍。例如，

$$[a,b]=\{x\in\mathbb R:a\le x\le b\},\qquad (a,b]=\{x\in\mathbb R:a<x\le b\}.$$

符號 $\infty$ 和 $-\infty$ 不是實數端點，所以 $(a,\infty)$ 在無窮遠一端使用圓括號。不等式的解可能是多個區間的並集。

$x$ 的絕對值是它到零的距離：

$$|x|=\begin{cases}x,&x\ge0,\\-x,&x<0.\end{cases}$$

命題

因此，對 $r\ge0$，$|x-a|\le r$ 等價於 $a-r\le x\le a+r$。對 $r>0$，$|x-a|>r$ 意味著 $x<a-r$ 或 $x>a+r$。“或”很重要：鄰域之外的點不必同時處於兩側。

證明

令 $z=x-a$。若 $z\ge0$，則 $|z|\le r$ 等價於 $z\le r$，而 $-r\le z$ 已成立。若 $z<0$，則它等價於 $-z\le r$，即 $z\ge-r$，而 $z\le r$ 已成立。因此對 $r\ge0$，兩種情況合起來恰為 $-r\le z\le r$。取相反情況可得，$|z|>r$ 當且僅當 $z<-r$ 或 $z>r$。平移 $a$ 即證明兩項結論，第一項也包括 $r=0$ 的等號情況。

例題

例 1：測量容差。 若傳感器讀數 $T$ 與 $25$ 相差至多 $0.4$，則符合認證條件。條件為 $|T-25|\le0.4$，因此 $T\in[24.6,25.4]$。“至多”包含等號，所以包括端點。若單位為攝氏度，不等式中的數均使用同一單位。

1.2 函數與定義域

定義

函數 $f:D\to C$ 為每個輸入 $x\in D$ 指定唯一的值 $f(x)\in C$。集合 $D$ 是定義域，$C$ 是陪域，$f(D)=\{f(x):x\in D\}$ 是值域。陪域是預先指定的目標集合，不必等於值域。

實值公式的自然實定義域是使其運算均有定義的實數輸入集合。本章中：

• 分母必須非零；
• 實平方根的被開方數必須非負；
• 實對數的真數必須為正。

應取所有限制條件的交集，不要只考慮最明顯的一項。

例題

例 2：同時考慮兩個限制。 對

$$f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2},$$

要求 $x\ge-1$ 且 $x\ne2$。因此自然定義域為 $[-1,2)\cup(2,\infty)$。允許任意接近 $2$ 的點，並不意味著公式在 $2$ 有定義。

常見錯誤

兩個函數相等，要求定義域相同，且在該定義域上的函數值相同。公式 $(x^2-1)/(x-1)$ 和 $x+1$ 在 $x\ne1$ 時相同，但作為各自自然定義域上的函數，它們不相等：後者在 $1$ 有定義，前者沒有。約去因子只能化簡允許約分處的值，不能恢復被排除的輸入。

分段規則只要在每個允許的輸入處指定唯一明確的值，仍然是函數。各分段的條件不應留下意外空缺，也不應在重疊處給出衝突的值。

1.3 有邏輯地解方程

方程是關於輸入的陳述。它的解集由所給定義域內使兩邊相等的輸入組成。兩個方程在某定義域上等價，是指它們在該定義域上有相同解集。

兩邊加上同一個表達式，在該表達式有定義的地方保持等價。兩邊乘以已知非零的表達式也保持等價；乘以可能為零的表達式可能產生額外解，除以可能為零的表達式則可能丟失解。兩邊平方保留所有原解，但可能產生新解，因為 $u^2=v^2$ 不僅允許 $u=v$，也允許 $u=-v$。

例題

例 3：根式方程。 在實數範圍內解 $\sqrt{x+1}=x-1$。左邊非負，所以任何解必須滿足 $x\ge1$。平方得到

$$x+1=(x-1)^2\iff x^2-3x=0\iff x=0\text{ 或 }x=3.$$

候選值 $0$ 不滿足 $x\ge1$。將 $3$ 代回原方程得到 $2=2$，所以解集為 $\{3\}$。只寫出平方後的方程和兩個根，並未解出原方程。

例題

例 4：有理不等式。 解 $(x-1)/(x+2)\ge0$。關鍵點為 $-2$（表達式無定義）和 $1$（表達式為零）。在 $(-\infty,-2)$ 上分子、分母均為負，商為正；在 $(-2,1)$ 上符號相反；在 $(1,\infty)$ 上均為正。包含 $1$、排除 $-2$，得到

$$(-\infty,-2)\cup[1,\infty).$$

常見錯誤

若不按 $x+2$ 的正負分類就直接乘以它，做法不安全：乘以負數會反轉不等號。

1.4 複合與反函數

對 $f:D\to C$ 和定義域包含 $f$ 相應輸出的函數 $g$，複合為 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$。其定義域恰為

$$\{x\in D:f(x)\in\operatorname{dom}(g)\}.$$

例題

例 5：複合次序。 設 $f(x)=x^2-1$ 定義在 $\mathbb R$ 上，$g(u)=\sqrt u$ 定義在 $[0,\infty)$ 上。那麼

$$g(f(x))=\sqrt{x^2-1},\quad\operatorname{dom}(g\circ f)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty).$$

反過來，$f(g(x))=x-1$ 的定義域是 $[0,\infty)$。雖然化簡後的公式 $x-1$ 在整個 $\mathbb R$ 上有意義，複合函數卻不是如此：原來的內層函數仍控制定義域。

命題

若不同輸入有不同輸出，即 $f(x_1)=f(x_2)$ 蘊含 $x_1=x_2$，稱函數是單射。單射函數存在從其值域到定義域的反函數。在相應定義域上，反函數 $f^{-1}$ 滿足 $f^{-1}(f(x))=x$ 和 $f(f^{-1}(y))=y$。$f^{-1}$ 不表示 $1/f$。

證明

設 $f:D\to C$ 為單射。對每個 $y\in f(D)$，值域的定義保證存在 $x\in D$ 使 $f(x)=y$，單射性保證此 $x$ 唯一。定義 $g(y)$ 為這個唯一輸入，則 $g:f(D)\to D$ 是函數，且對每個 $x\in D$ 有 $g(f(x))=x$；由定義，對每個 $y\in f(D)$ 也有 $f(g(y))=y$。所以 $g=f^{-1}$ 具有所述定義域和兩個逆關係。反過來，若函數 $g$ 滿足 $g\circ f=\operatorname{id}_D$，對 $f(x_1)=f(x_2)$ 兩邊應用 $g$ 即得單射性。反函數只定義在 $f(D)$ 上時，無需 $f$ 滿射到原先聲明的陪域 $C$。

$\mathbb R$ 上的 $x\mapsto x^2$ 不是單射，因為 $2$ 和 $-2$ 的平方相同。在 $[0,\infty)$ 上它是單射，其反函數為 $y\mapsto\sqrt y$。限制定義域是一項數學選擇，不是代數技巧。

例題

例 6：儀器校準。 無量綱校準規則為 $y=3x/(1+x)$，其中 $x\ge0$。分母為正。若兩個輸入有相同輸出，交叉相乘得到 $3x_1(1+x_2)=3x_2(1+x_1)$，故 $x_1=x_2$，所以它是單射。求輸入得

$$y+yx=3x\implies x=\frac{y}{3-y}.$$

當 $x\ge0$ 時，$0\le y<3$；反過來，該區間內每個 $y$ 都給出非負的 $x$。因此反函數定義在 $[0,3)$，而不是除 $3$ 以外的所有實數。

1.5 作為逆模型的指數與對數

對底數 $a>0$、$a\ne1$，指數函數 $a^x$ 在 $\mathbb R$ 上為正且是單射，其反函數是定義在 $x>0$ 上的 $\log_a x$。特別地，$\ln x$ 的底數為 $e$。當 $u,v$ 為正且 $p$ 為實數時，

$$\ln(uv)=\ln u+\ln v,\qquad \ln(u^p)=p\ln u$$

成立；但不存在對應的法則 $\ln(u+v)=\ln u+\ln v$。

正底實數次冪、正數值域及單調性的不使用微積分的構造，見實冪基礎證明；第 9 章由該構造推導對數律，本節先作入門應用。

在衰減模型 $C(t)=C_0e^{-kt}$ 中，假設 $C_0>0$、$k>0$、$t\ge0$。若要求數量降至初始量的比例 $r$ 時所需時間，其中 $0<r\le1$，則解 $e^{-kt}=r$。取對數得 $t=-\ln r/k$。由於 $\ln r\le0$，答案按要求非負。$kt$ 必須無量綱；若時間以小時計，$k$ 的單位為每小時。

1.6 模型包含假設

證明

考慮兩種鹽水混合，過程中沒有損失或反應。設濃度分別為 $c_1,c_2$ 克/升，體積為 $V_1,V_2>0$ 升。若體積可加，由鹽質量守恆得

$$c=\frac{c_1V_1+c_2V_2}{V_1+V_2}.$$

分子是質量，分母是體積。當 $c_1\le c_2$ 時，結果落在 $[c_1,c_2]$ 中，因為它是正權重之和為一的加權平均。這個界可用於檢查錯誤。

證明

加權平均的界可直接驗證，無需圖像假設。對 $V_1,V_2>0$ 和 $c_1\le c_2$，

$$c-c_1=\frac{(c_2-c_1)V_2}{V_1+V_2}\ge0,\qquad c_2-c=\frac{(c_2-c_1)V_1}{V_1+V_2}\ge0.$$

因此 $c_1\le c\le c_2$。若允許其中一個體積為零，但總體積仍為正，同一證明成立並包括純溶液端點。代數界適用於有序實數 $c_1,c_2$；物理濃度模型另外採用非負濃度。

例題

例 7：配製混合液。 將 $2$ g/L 與 $7$ g/L 的溶液混合，得到 $10$ L、濃度 $5$ g/L 的溶液。設第二種溶液為 $v$ 升，則第一種為 $10-v$ 升，且

$$2(10-v)+7v=5(10)\implies5v=30\implies v=6.$$

應使用第二種溶液 $6$ L、第一種 $4$ L，滿足約束 $0\le v\le10$。若目標濃度高於 $7$ g/L，即使不加限制的線性方程給出一個數字，該模型下也沒有允許的解。

1.7 分層練習

基礎

思考檢查

練習 1

1. 將 $|2x-3|\le5$ 的解寫成區間。

思考檢查

練習 2

2. 求 $h(x)=\sqrt{4-x}/(x^2-1)$ 的自然實定義域。

思考檢查

練習 3

3. 在 $\mathbb R$ 上解 $\sqrt{2x+3}=x$，並檢查每個候選值。

思考檢查

練習 4

4. 解 $(x+3)/(x-2)<0$。

核心

思考檢查

練習 5

5. 設 $f(x)=1/(x-1)$、$g(u)=\sqrt{u+2}$。求兩種次序的複合及其定義域。

思考檢查

練習 6

6. 在 $[0,\infty)$ 上設 $F(x)=2x/(x+3)$。證明 $F$ 是單射，求其值域，並寫出反函數及其定義域。

思考檢查

練習 7

7. 某量滿足 $Q(t)=80e^{-0.2t}$，其中 $t\ge0$，$t$ 以小時計。求 $Q=20$ 時的精確時間，並寫出 $0.2$ 的單位。

綜合

思考檢查

練習 8

8. 用 $4$ g/L 和 $10$ g/L 的溶液配製 $15$ L、濃度為 $8$ g/L 的溶液。求兩種體積。不用再解一個線性方程，解釋為何目標濃度 $12$ g/L 不可能達到。

思考檢查

練習 9

9. 一名學生解 $x(x-2)=0$ 時除以 $x$，得到 $x=2$。指出確切丟失的情況。再解釋為何約分 $(x^2-4)/(x-2)=x+2$ 在 $x=3$ 有效，卻不能使左邊在 $x=2$ 有定義。

思考檢查

練習 10

10. 假設 $c_1<c_2$，且 $V>0$ 固定。對 $0\le v\le V$，令 $c(v)=[c_1(V-v)+c_2v]/V$。用代數證明該函數是單射且值域恰為 $[c_1,c_2]$，求其反函數，並解釋端點。

1.8 詳解

解答 · 練習 1

1. $-5\le2x-3\le5$，因此 $-2\le2x\le8$，所以 $x\in[-1,4]$。

解答 · 練習 2

2. 平方根要求 $x\le4$，分母要求 $x\ne-1,1$。定義域為 $(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,4]$。

解答 · 練習 3

3. 解必須滿足 $x\ge0$。平方得到 $2x+3=x^2$，即 $(x-3)(x+1)=0$。候選值為 $3$ 和 $-1$；只有 $3$ 非負，且 $\sqrt9=3$。故解為 $x=3$。

解答 · 練習 4

4. 商為負當且僅當分子、分母異號，即 $-3<x<2$。兩個端點都不允許：在 $-3$ 商為零，在 $2$ 商無定義。

解答 · 練習 5

5. $(g\circ f)(x)=\sqrt{1/(x-1)+2}=\sqrt{(2x-1)/(x-1)}$。要求 $x\ne1$ 且 $(2x-1)/(x-1)\ge0$；符號表給出 $(-\infty,1/2]\cup(1,\infty)$。反過來，$(f\circ g)(x)=1/(\sqrt{x+2}-1)$，要求 $x\ge-2$ 且 $x\ne-1$，定義域為 $[-2,-1)\cup(-1,\infty)$。

解答 · 練習 6

6. 輸出相等給出 $x_1(x_2+3)=x_2(x_1+3)$，故 $3x_1=3x_2$。當 $x\ge0$，$F(x)=2-6/(x+3)$ 落在 $[0,2)$。對任意 $y\in[0,2)$，解得 $x=3y/(2-y)\ge0$，所以該區間每個值都能取到。因此 $F^{-1}(y)=3y/(2-y)$ 定義在 $[0,2)$ 上。

解答 · 練習 7

7. $e^{-0.2t}=1/4$，故 $t=\ln4/0.2=5\ln4$ 小時。系數單位為 h$^{-1}$，它與 $t$ 的乘積無單位。

解答 · 練習 8

8. 若 $v$ 為 $10$ g/L 溶液的體積，則 $4(15-v)+10v=8(15)$。故 $6v=60$，$v=10$ L，另一種為 $5$ L。任何允許的混合濃度都是 $4$ 和 $10$ 的加權平均，不可能為 $12$。

解答 · 練習 9

9. 除法假設 $x\ne0$，丟失了真正的解 $x=0$。正確分類為 $x=0$，或在 $x\ne0$ 時 $x-2=0$。有理式約分只在 $x\ne2$ 有效，因為分子、分母都除以 $x-2$。在 $3$ 該因子非零；在 $2$ 原分式除以零，雖然化簡公式的值為 $4$。

解答 · 練習 10

10. 寫成 $c(v)=c_1+(c_2-c_1)v/V$。若 $c(v_1)=c(v_2)$，則 $(c_2-c_1)(v_1-v_2)/V=0$；系數非零，所以 $v_1=v_2$。當 $v\in[0,V]$，比例 $v/V$ 屬於 $[0,1]$，故 $c(v)\in[c_1,c_2]$。反過來，當 $c\in[c_1,c_2]$，$v=V(c-c_1)/(c_2-c_1)$ 屬於 $[0,V]$ 且產生該濃度，故這是反函數。端點分別表示只用第一種或只用第二種溶液。

從圖像讀取模型定義域

圖像有輸入軸和輸出軸，每條軸都需要標明自身單位或無量綱比值。讀取高度之前，先判斷對應的水平輸入是否屬於模型定義域。虛線延伸可以展示代數公式在該定義域外給出的值，但不表示這些值在科學上允許。繪圖窗口的邊緣不自動成為數學定義域的端點。

對於水平容差邊界，先找出允許曲線中位於所要求一側的部分，再用公式和嚴格或非嚴格的比較論證交點及其是否包含。這樣可以避免把圖上近似交點當成精確測量事實。第 3 章圖像專題 G1中的受限拋物線分別展示了三個集合：代數曲線、操作定義域以及滿足容差的輸入。

總結

• 函數不僅是公式，還包括定義域；化簡與複合後仍須保留定義域限制。
• 說明使方程變形可逆的假設；平方後檢查候選值。
• 原函數為單射時，反函數定義在其值域上；它不是倒數。
• 指數模型要求指數無量綱；對數只在正數輸入上求其逆。
• 科學問題中允許的答案必須同時滿足方程和模型約束。

知識聯繫。 區間和符號推理支持三角函數的定義域及後續極限；複合與反函數支持對數和反三角函數的法則；守恆方程通向線性方程組與矩陣表示。