恆等式、不等式與數學歸納法

例 1：帶空點的有理恆等式。 驗證

左邊要求 $x\ne2$。對每個這樣的 $x$，因式分解並除以非零因子 $x-2$ 即可證明。$x=2$ 時左邊無定義，故這是 $\mathbb R\setminus\{2\}$ 上的恆等式，而不是兩個自然定義域函數在所有實數上相等。

例 2：三角函數定義域。 在兩邊的共同定義域上，

右邊要求 $\sin\theta\ne0$，即 $\theta\notin\pi\mathbb Z$。在此定義域中 $\cos\theta\ne-1$，故左邊分母也非零。此處 $\cos\theta\ne1$，可以將左邊乘以 $(1-\cos\theta)/(1-\cos\theta)$。於是

在 $\theta=0$，單獨的左邊等於零，右邊無定義。該恆等式並不聲稱兩邊自然定義域相同。分母有理化時若不檢查新增因子，可能掩蓋這個區別。

例 3：正數倒數界。 若 $x>0$，由 $(x-1)^2\ge0$ 得 $x^2+1\ge2x$。除以正數 $x$ 得

等號只在 $x=1$ 成立。若 $x<0$，除法使不等號反向，得到 $x+1/x\le2$；更強的負半軸界為 $x+1/x\le-2$，可對 $-x$ 應用正數結果得到。在 $x=0$ 表達式無定義。符號假設是定理的一部分。

例 4：約束乘積。 假設 $u,v\ge0$ 且 $u+v=10$。由 $(u-v)^2\ge0$ 得

故 $uv\le25$，等號當且僅當 $u=v=5$ 時成立。這確定最大值且表明它在允許的定義域內取得；並不聲稱改變總和或非負限制後最大值不變。

例 5：合併測量誤差。 設理想和為 $s=u+v$，測量輸入為 $\tilde u=u+e_1$、$\tilde v=v+e_2$，且以共同單位計 $|e_1|\le0.03$、$|e_2|\le0.05$。則

當誤差同號且達到各自界時可取得該界。相消可能使實際誤差更小，但不能保證。

例 6：平方和。 對每個整數 $n\ge1$，

當 $n=1$ 兩邊均為一。假設公式對任意 $k\ge1$ 成立，分出新項得

這恰是 $n=k+1$ 時的公式，歸納原理證明所有正整數情形。$j$ 是求和指標，$k$ 是當前端點；區分兩者作用可避免歧義。

例 7：整除性。 對每個整數 $n\ge0$，$7^n-1$ 被六整除。零處表達式為零，等於 $6\cdot0$。假設對整數 $m$ 有 $7^k-1=6m$，則

因為 $7m+1$ 是整數，所以被六整除，結論得證。整除表示整數倍；未經驗證的小數近似無關。

例 8：Bernoulli 不等式。 對每個實數 $h\ge-1$ 和整數 $n\ge1$，

固定這樣的 $h$。基礎情形 $n=1$ 是等式。假設在 $k\ge1$ 成立。由於 $1+h\ge0$，乘法保持不等號方向：

最後一步使用 $k\ge1$ 和 $h^2\ge0$。歸納完成證明。當 $n=1$，所有 $h$ 都取等；當 $n\ge2$，當且僅當 $h=0$ 時取等，因為非零 $h$ 使到任意至少為二的指數的步驟中所示 $kh^2$ 項嚴格為正。邊界 $h=-1$ 允許：其正次冪為零，右邊 $1-n\le0$。

此例說明乘以歸納不等式之前必須說明符號假設。若 $h<-1$，乘數為負，同一步驟無效；事實上 $h=-4,n=3$ 時命題失敗，左邊為 $(-3)^3=-27$，右邊為 $1-12=-11$。所提反例本身也必須檢查。

例 9：累積奇數增量。 對整數 $n\ge0$，令 $x_0=0$、$x_{n+1}=x_n+2n+1$。聲稱 $x_n=n^2$。零處成立；若 $x_k=k^2$，則

因此公式對所有允許指標成立。奇數增量產生了平方總量，但僅匹配前兩個值不能推出該公式。