3.1 函數極限與連續性

極限與定義域中的點

定義

函數極限

設 $A\subset\mathbb R$，$c$ 是 $A$ 的聚點，即 $c$ 的每個去心鄰域都與 $A$ 相交。對 $f:A\to\mathbb R$，若對每個 $\varepsilon>0$ 都存在 $\delta>0$，使 $x\in A$ 且 $0<|x-c|<\delta$ 蘊含 $|f(x)-L|<\varepsilon$，則稱 $\lim_{x\to c,\,x\in A}f(x)=L$。

$f(c)$ 的值若有定義，也與這個去心極限無關。聚點條件防止孤立點處的定義對每個 $L$ 都空泛成立。定義域限制很重要：閉區間端點的極限是相對定義域的單側極限。

例題

epsilon–delta 估計

對 $f(x)=x^2$ 在 $c=2$，目標為 $L=4$。若 $|x-2|<1$，則 $|x+2|<5$，所以 $|x^2-4|=|x-2||x+2|<5|x-2|$。給定 $\varepsilon>0$，選 $\delta=\min(1,\varepsilon/5)$，便有 $0<|x-2|<\delta$ 蘊含 $|x^2-4|<\varepsilon$。

定理

函數極限的序列判據

若 $c$ 是 $A$ 的聚點，則 $f$ 在 $c$ 的極限為 $L$，當且僅當對每個 $x_n\in A\setminus\{c\}$ 且 $x_n\to c$ 的數列，都有 $f(x_n)\to L$。

證明

證明判據

若 epsilon–delta 極限成立，對任何這類數列，最終有 $0<|x_n-c|<\delta$，故 $|f(x_n)-L|<\varepsilon$。反過來，若極限不成立，存在 $\varepsilon_0>0$ 使每個 $\delta>0$ 均失敗。對每個 $n$ 選 $x_n\in A$，使 $0<|x_n-c|<1/n$ 且 $|f(x_n)-L|\ge\varepsilon_0$。則 $x_n\to c$，但 $f(x_n)$ 不收斂至 $L$，違反序列假設。

例題

兩種趨近可否定極限

在 $\mathbb R\setminus\{0\}$ 上，令 $f(x)=\sin(1/x)$。$x_n=(\pi/2+2\pi n)^{-1}$ 與 $y_n=(3\pi/2+2\pi n)^{-1}$ 均趨近 $0$，但 $f(x_n)=1$、$f(y_n)=-1$，故共同極限不存在。反之，要證明極限存在，少數選定路徑或數列不足夠：判據要求每個符合條件的數列。

連續性與介值定理

定義

相對定義域的連續性

對 $c\in A$，$f:A\to\mathbb R$ 在 $c$ 連續，指對每個 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使 $x\in A$ 且 $|x-c|<\delta$ 蘊含 $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$。在 $A$ 的孤立點，此條件自動成立；在聚點，它等價於極限等於 $f(c)$。

定理

介值定理

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續，而 $y$ 位於 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之間，則存在 $c\in[a,b]$ 使 $f(c)=y$。

證明

完備性定位穿越點

若 $y=f(a)$ 或 $y=f(b)$，取相應端點即可。否則，假設 $f(a)<y<f(b)$；反向次序可把 $f$ 換成 $-f$，同時把 $y$ 換成 $-y$。集合 $S=\{x\in[a,b]:f(x)\le y\}$ 非空且有上界。令 $c=\sup S$。若 $f(c)<y$，由連續性，右側附近點的值仍小於 $y$；因 $c<b$，這違反上界性質。若 $f(c)>y$，連續性使 $c$ 附近值均大於 $y$；上確界近似性質卻給出該鄰域內一個 $S$ 的元素，矛盾。故 $f(c)=y$。

例題

不需封閉公式也能證根存在

多項式 $f(x)=x^3+x-1$ 連續。因 $f(0)=-1$、$f(1)=1$，介值定理給出 $(0,1)$ 內一個根。若 $0\le x<y\le1$，則 $f(y)-f(x)=(y-x)(y^2+xy+x^2+1)>0$，所以該區間內的根唯一。介值定理本身只給存在性，不給唯一性或明確根。

方法比較

直接證明極限或連續性可用 epsilon–delta 估計。要否定極限存在，可找兩個趨近數列，其輸出極限不同。介值定理可證連續函數取到中間值；唯一性需另行論證。應始終說明定義域並核對整個區間上的連續性。

練習

1. 用 epsilon–delta 語言證明 $\lim_{x\to1}(3x+2)=5$。
2. 令 $x\ne0$ 時 $f(x)=1$、$f(0)=0$。它在 $0$ 連續嗎？
3. 證明 $x^3+x-3$ 在 $(1,2)$ 內有根。
4. 離散定義域 $\{1,2,3\}$ 上的每個函數，相對此定義域都連續嗎？

詳解

1. 給定 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon/3$。則 $0<|x-1|<\delta$ 蘊含 $|3x+2-5|=3|x-1|<\varepsilon$。
2. 不連續。去心極限為 $1$，而 $f(0)=0$。取 $\varepsilon=1/2$，每個鄰域都有非零點，使輸出與 $f(0)$ 的距離為 $1$。
3. 多項式連續，在 $1$ 和 $2$ 的值分別是 $-1$、$7$，故介值定理給出兩者之間的根。
4. 是。每個定義域點都是孤立點，可選充分小的 $\delta$ 排除其他定義域點；此時唯一可能的 $x$ 是該點本身，輸出差為零。

總結

函數極限控制所有充分靠近的定義域點；連續性把極限與實際函數值聯繫。完備性及連續性給出中間值，但要證唯一性仍需額外論證。