2.3 上極限與下極限

觀察尾部

對有界實數數列 $(x_n)$，定義

$$u_N=\sup\{x_n:n\ge N\},\qquad \ell_N=\inf\{x_n:n\ge N\}.$$

隨 $N$ 增加，尾集縮小，因此 $(u_N)$ 遞減、$(\ell_N)$ 遞增。兩者都有界，故均收斂。定義

$$\limsup_{n\to\infty}x_n=\lim_{N\to\infty}u_N=\inf_N u_N, \qquad \liminf_{n\to\infty}x_n=\lim_{N\to\infty}\ell_N=\sup_N\ell_N.$$

有限個初始項可改變最初的尾界，但不改變兩個極限。無界數列可使用擴充實數值；本節限於有界數列，故所有上述數量均為實數。

例題

振盪加上消失的修正項

設 $x_n=(-1)^n+1/n$。偶數子列趨向 $1$、奇數子列趨向 $-1$。因每項 $x_n\le1+1/n$，尾上確界至多為 $1+1/N$；任意後期的偶數項都趨向 $1$，故尾上確界至少為 $1$，所以 $u_N\to1$。同理，對任意大的奇數 $n$ 有 $-1\le\ell_N\le-1+1/n$，得 $\ell_N\to-1$。因此 $\limsup x_n=1$、$\liminf x_n=-1$。

定理

子列刻畫

對有界實數數列，上極限是最大的子列極限，下極限是最小的子列極限。整個數列收斂當且僅當上、下極限相等，此時共同值就是極限。

證明

構造子列並夾逼整列

令 $U=\lim u_N$，並設 $n_0=0$。選遞增下標 $n_k\ge k$ 使 $x_{n_k}>u_{n_{k-1}+1}-1/k$；相關尾部的上確界性質保證可以選到。由於起始下標趨無窮，其上確界趨向 $U$；而 $n_k\ge k$ 給 $x_{n_k}\le u_k$。因此 $x_{n_k}\to U$。若某子列趨向 $L$，對每個固定 $N$，該子列充分後期的項均在第 $N$ 個尾部，故 $L\le u_N$，因而 $L\le U$。對 $-x_n$ 應用同一論證，即得下極限結論。

對每個 $n\ge N$ 均有 $\ell_N\le x_n\le u_N$。若兩個界趨向同一值，夾逼原理證明 $x_n$ 收斂至該值。反過來，若原數列收斂，每個子列極限都等於原極限，因此上下極限相等。

例題

初始大項不影響收斂極限

設 $x_1=100$，且 $n\ge2$ 時 $x_n=1/n$。所有項的上確界為 $100$，但 $\limsup x_n=\liminf x_n=0$。上極限關注任意後期的行為，而非出現過的最大項。

方法比較

對明顯交替的型態，可求各部分子列極限，再為全部項建立界。直接依定義證明時，處理尾部上確界和下確界。要證普通收斂，可證上下極限相等；要否定收斂，可找不同子列極限。不要把全局上確界等同尾部極限。

練習

1. 求 $(-1)^n$ 的上極限與下極限。
2. 求 $1/n$ 的上極限與下極限。
3. 求 $x_n=2+(-1)^n/n$ 的上極限與下極限。
4. 解釋為何單個很大的初始項不改變上極限。

詳解

1. 每個尾部都含 $1$ 和 $-1$，上確界為 $1$、下確界為 $-1$；故上下極限分別為 $1$、$-1$。
2. 每個尾部的上確界為 $1/N$、下確界為 $0$，所以兩個極限均為 $0$。
3. 因 $|x_n-2|\le1/n\to0$，故 $x_n\to2$，上下極限均為 $2$。
4. 刪除或更改有限項，不改變任何充分後期的尾部，因此尾上確界及下確界的極限不變。

總結

上下極限分別捕捉子列可達到的最大與最小極限；對有界數列，兩者相等恰好表示整個數列收斂。