為何實數不只有算術規則
有理數支援熟悉的有序算術，但集合 {q∈Q:q>0, q2<2} 沒有有理數最小上界。實數系統加入完備性：非空有上界集合都有最小上界。這不只是另一條不等式運算規則，而是分析中許多存在性結論的來源。
定義
上界與上確界
對非空 A⊂R，若每個 a∈A 均滿足 a≤u，則 u 是上界。若 s 是上界，並對每個上界 u 都有 s≤u，則 s=supA。最大值是既屬於 A 又是上界的元素。最大值若存在便是上確界；上確界則不一定屬於 A。下界、下確界和最小值以反向不等式定義。
定理
完備性公理
每個非空且有上界的實數子集都有實數上確界。等價地，每個非空且有下界的子集都有實數下確界，因為 infA=−sup(−A)。
例如 sup(0,1)=1，但 1 不是該集合的最大值；相反，sup[0,1]=1 且是最大值。依此定義，空集及沒有上界的集合沒有實數上確界。
定理
上確界近似判據
非空集合 A 的上界 s 是 supA，當且僅當對每個 ε>0，存在 a∈A 使 s−ε<a≤s。
證明
證明兩個方向
若 s=supA，但沒有元素大於 s−ε，則 s−ε 是更小的上界，矛盾。反過來，假設 s 是上界且具近似性質。若另一上界 u<s，取 ε=s−u>0，近似性質給出 a>u，違反 u 是上界。因此 s 是最小上界。
例題
上確界證明的兩部分
令 A={n/(n+1):n∈N,n≥1}。每個元素小於 1，所以 1 是上界。給定 ε>0，由下述阿基米德性質選 n>1/ε。則 1−n/(n+1)=1/(n+1)<ε，故 supA=1。沒有元素等於 1，所以 A 沒有最大值。只證上界並不足以證明它是最小上界：2 也是上界。
阿基米德性質與稠密性
定理
阿基米德性質
對每個實數 x，存在正整數 n>x。因此對每個 ε>0，存在 n∈N 使 1/n<ε。
證明
完備性迫使整數無上界
若正整數有上界，完備性給 s=supN。因 s−1 不是上界，存在 n∈N 滿足 n>s−1。但 n+1>s 且 n+1∈N，違反 s 是上界。對 1/ε 應用該性質即得第二個結論。
任意實數 x<y 之間都有有理數。選 n 使 n(y−x)>1；由阿基米德性質及整數部分性質，可選整數 m 使 nx<m<ny，因此 x<m/n<y。整數部分性質可由整數在正負兩方向均無界及自然數良序性得到。x 和 y 之間也有無理數：選有理數 q 使 x−2<q<y−2，則 q+2 是位於區間內的無理數。稠密性不表示有理數與無理數集合相同。
例題
以反射求下確界
對 B={2+1/n:n≥1}，所有元素均大於 2。給定 ε>0，選 n>1/ε 可得 2<2+1/n<2+ε。所以 2 是下確界，但不是最小值。最大值為 3，由 n=1 取到。
證明策略比較
要辨認上確界，須同時證明它是上界，並可從下方任意逼近。若只要證明存在而不計算數值，證集合非空且有界後用完備性。要證沒有最大值，可證上確界不屬於集合；這不等於上確界不存在。ε 必須任意，而選出的元素可以依賴它。
練習
- 找 A=(−2,3] 的上確界、下確界、最大值和最小值；不存在時請說明。
- 證明 sup{1−2/n:n≥1}=1。
- 若 A 非空且有下界，證明 infA=−sup(−A)。
- 不用 2 的小數展開，證明 (2,2+0.01) 內有有理數。
詳解
- supA=3=maxA、infA=−2；由於 −2∈/A，最小值不存在。
- 每項小於 1，所以 1 是上界。給定 ε>0，選 n>2/ε，則 1−ε<1−2/n<1。由上確界判據得結論。
- −A 非空且有上界。設 s=sup(−A)。對每個 a∈A 有 −a≤s，故 −s≤a。若 l 是 A 的任意下界，則 −l 是 −A 的上界，因此 s≤−l，即 l≤−s。故 −s 是最大下界。
- 兩端點為有序實數，故有理數稠密性給出所求值。構造上可選 n>100 和整數 m 滿足 n2<m<n2+1，則 m/n 在該區間內。
總結
完備性保證最小上界，近似判據說明它為何最小。阿基米德估計讓我們選足夠大的整數控制誤差；稠密性則保證每個非空開區間內都有有理數及無理數。這些概念將支撐數列收斂與連續性證明。
