多項式算子、凱萊–哈密頓定理與分解

證明

下文所用的先修證明

域上的多項式除法與根因式恆等式

設 $F$ 為任意域，使用形式多項式環 $F[t]$ 。每次使用次數時，零多項式均單獨處理。非零 $f,g$ 的乘積最高次項係數是兩個非零最高次項係數之積，故 $\deg(fg)=\deg f+\deg g$ ；特別地，該環無零因子。

對任意 $f$ 和非零 $g$ ，存在唯一 $q,r$ 使 $f=qg+r$ ，其中 $r=0$ 或 $\deg r<\deg g$ 。從餘式 $f$ 、商零開始。若非零餘式次數 $d\ge e=\deg g$ ，減去 $(a/b)t^{d-e}g$ ，並將 $(a/b)t^{d-e}$ 加入商； $a,b$ 分別是餘式與 $g$ 的最高次項係數。新餘式為零或次數嚴格下降。非負整數次數不能無限嚴格下降，故過程終止。若有兩組結果， $g(q-q')=r'-r$ ；非零左側次數至少為 $e$ ，非零右側次數卻小於 $e$ ，故兩差均為零。

對 $\lambda\in F$ ，有限恆等式

t^k-\lambda^k=(t-\lambda)\sum_{j=0}^{k-1}t^{k-1-j}\lambda^j\quad(k\ge1)

給出 $f(t)-f(\lambda)=(t-\lambda)h(t)$ 。因此 $f(\lambda)=0$ 當且僅當 $t-\lambda$ 整除 $f$ ；這裏不聲稱 $F$ 中一定存在根。

首一最大公因式、Euclid 算法與 Bézout，含零情形

對不同時為零的 $f,g$ ，首一最大公因式是同時整除二者、又被每個公因式整除的首一多項式。若 $g=0,f\ne0$ ，則它為 $d=f/\operatorname{lc}(f)$ ，且 $d=(1/\operatorname{lc}(f))f+0g$ ；若 $f=0,g\ne0$ ，交換兩者即可。

其餘情形逐次相除， $r_{i-1}=q_ir_i+r_{i+1}$ ，直到下一餘式為零。非零餘式次數嚴格下降，故步數有限。由 $r_{i+1}=r_{i-1}-q_ir_i$ ， $r_{i-1},r_i$ 的公因式必整除 $r_i,r_{i+1}$ ；反向等式給出逆向蘊含。因此最後非零餘式與原輸入對具有相同公因式。反向使用各除法等式，說明它整除每個前面的餘式及兩個原輸入。向前歸納又說明每個餘式都是原輸入的多項式線性組合。將最後非零餘式除以其最高次項係數，便得到首一最大公因式 $d=af+bg$ 。兩個這樣的首一最大公因式互相整除；次數相等及首一歸一化使它們相等。特別地，互素時 $af+bg=1$ 。

不可約因式、素性與唯一分解

非常數多項式若不能寫成兩個正次數多項式的乘積，稱為不可約。若首一不可約式 $p$ 不整除 $a$ ，則二者的首一最大公因式為一： $p$ 的任何非常數因式都與 $p$ 相伴，故不能整除 $a$ 。由 Bézout 有 $up+va=1$ 。若 $p\mid ab$ ，乘以 $b$ 即得 $p\mid b$ 。所以不可約式是素元。

每個非零多項式都是其最高次項係數乘以若干首一不可約式；非零常數對應空乘積。按次數歸納證明：可約的正次數輸入分成兩個更小的正次數，再分別應用歸納。為證唯一性，一組分解的首個不可約式整除另一組的乘積，由素性必整除其中一個因式；互相整除的首一不可約式相等。利用無零因子性約去該因式並重複，最終的單位由最高次項係數確定。這證明含重數的分解除次序外唯一。特別地，不同首一不可約式的冪互素：若有非常數公因式，它有一個不可約因式；由素性，該式必須同時等於兩個不同因式，矛盾。這給出任意原域上主分解所用的精確多項式代數。

交換環上的 Leibniz 行列式與交錯性

設 $R$ 為含單位的交換環， $n\ge1$ ，且 $A\in M_n(R)$ 。定義

\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)},\qquad \det[\ ]=1\quad(n=0).

符號為 $(-1)^{\operatorname{inv}(\sigma)}$ ，在 $R$ 中解釋。交換排列中相鄰的兩項，會使逆序數的奇偶性改變。以相鄰逆序交換排序，便將其符號表示為這些交換符號的乘積。把 $\tau$ 的相鄰交換分解應用於 $\sigma$ 的位置，得到 $\operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)$ ；一個對換的符號為 $-1$ 。這些先是整數奇偶性事實，之後才將符號映入 $R$ 。

有限公式對每行及每列多重線性。若兩行相同，把每個排列項與交換這兩行所選列後的項配對。兩項不同，乘積相同而符號相反，故任何特徵下兩項之和均為零。因此重複行使行列式為零；重複列同理。這是成對抵消，不是從 $2\det A=0$ 推出零。交換行或列，由相同的排列替換得到變號。另有 $\det I=1$ ；在和式中以 $\sigma^{-1}$ 替換 $\sigma$ 得 $\det A^{\mathsf T}=\det A$ 。

所需唯一性原理即使有零因子也成立。若 $D$ 是 $R^n$ 中 $n$ 個列向量的交錯多重線性函數，在標準基中展開每個輸入。含重複基向量的項為零；其餘指標列為排列。交換兩位置使 $D$ 變號，因為展開 $D(\ldots,u+v,\ldots,u+v,\ldots)=0$ 得 $D(\ldots,u,\ldots,v,\ldots)+D(\ldots,v,\ldots,u,\ldots)=0$ 。故整個展開等於 $D(e_1,\ldots,e_n)$ 乘以輸入列的 Leibniz 行列式。這裏沒有除法，也沒有域假設。

乘法性、三角分塊與伴隨矩陣

固定 $A$ ，函數 $D(v_1,\ldots,v_n)=\det(Av_1,\ldots,Av_n)$ 交錯且多重線性，並滿足 $D(e_1,\ldots,e_n)=\det A$ 。將前述唯一性原理用於 $B$ 的各列，得到

\det(AB)=\det A\det B.

對方塊大小為 $p,q$ 的 $\begin{pmatrix}B&C\\0&D\end{pmatrix}$ ，非零 Leibniz 項必須把最後 $q$ 行全配到最後 $q$ 列，否則含一個左下零元素。這些行用盡那些列，故前 $p$ 行只能使用前 $p$ 列。剩餘排列恰為兩塊內部排列的組合，符號與單項式均為兩塊對應量的乘積。求和得 $\det B\det D$ ，也包括以空行列式為一的空塊。該論證允許某些項因其他原因變零，不要求無零因子。

記 $A_{ij}^{\widehat{\ } }$ 為刪去第 $i$ 行和第 $j$ 列的矩陣，令 $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}^{\widehat{\ } }$ 。按 $\sigma(i)=j$ 將 Leibniz 和分組，得到行餘子式展開 $\det A=\sum_j a_{ij}C_{ij}$ 。把第 $i$ 行、第 $j$ 列移到首位，共作 $i+j-2$ 次相鄰交換，剩餘排列作用於未刪除指標，這就給出符號因子。轉置給出列展開。定義 $\operatorname{adj}(A)_{ji}=C_{ij}$ 。 $A\operatorname{adj}(A)$ 的 $(i,j)$ 元素為 $\sum_k a_{ik}C_{jk}$ ，它是將第 $j$ 行替換為第 $i$ 行後矩陣的餘子式展開。當 $i=j$ 時為 $\det A$ ；否則由重複行抵消為零。列論證給出另一乘積。因此

A\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)A=(\det A)I.

當 $n=1$ ，空餘子式行列式為一，故伴隨矩陣為 $[1]$ ，恆等式仍成立。當 $n=0$ ，定義伴隨矩陣為空矩陣；恆等式是唯一空矩陣之間的等式，而行列式仍為一。本節全部結果適用於 $R=F[t]$ ，從未除以行列式。

向量空間是在域 $F$ 上配備加法和數乘，並滿足通常的阿貝爾群及分配律公理的集合。欄向量只是一個模型。次數至多為 $d$ 的多項式空間 $P_d(F)$ 和空間之間的線性映射也是模型。零多項式屬於 $P_d(F)$ ，雖然其次數通常不定義。

子空間包含零，且對加法和數乘封閉。若每個向量都是某列表中向量的線性組合，該列表張成空間；若只有零系數組合能得到零，它線性無關。基同時滿足兩者。有限生成列表可通過刪除相關項縮減成基；線性無關列表可通過添加其張成空間外的向量擴充成基，直到張成給定的有限生成列表。

交換引理。 若 $r$ 個向量的線性無關列表位於 $s$ 個向量的張成空間中，則 $r\le s$ 。理由是：用生成列表表示第一個無關向量，利用某個非零系數，以它替換一個生成向量，再重複。每一步的線性無關性保證下一個無關向量對尚未被替換的某個生成向量有非零系數，因此至少需要 $r$ 個位置。對兩個基雙向比較得到長度相等；共同長度為 $\dim V$ 。

因此在 $n$ 維空間中，任意 $n$ 個線性無關向量構成基，任意 $n$ 個張成向量也構成基。只有在證明線性無關性或張成性之後，計數列表才有用。

映射 $T:V\to W$ 若滿足 $T(\alpha v+\beta u)=\alpha Tv+\beta Tu$ ，則為線性。其核與像都是子空間。選取 $\ker T$ 的基 $k_1,\ldots,k_r$ ，並以 $v_1,\ldots,v_s$ 擴充為基，則 $Tv_1,\ldots,Tv_s$ 構成 $\operatorname{im}T$ 的基：展開任意輸入可證明張成性；若這些像線性相關，相應輸入組合落入核，而擴充基的線性無關性迫使所有系數為零。因此

\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T.

這就是秩–零度定理。有限維且維數相等時，單射與滿射等價；無限維空間中該等價可能失效。

域上的橋樑：奇異性與特徵多項式

現在令 $R=F$ 為域。若 $\det A\ne0$ ，伴隨恆等式給出逆矩陣 $\operatorname{adj}(A)/\det A$ 。若 $A$ 可逆，由乘法性 $\det A\det A^{-1}=1$ ，故 $\det A\ne0$ 。C01 已證的秩—零度定理說明有限方陣線性映射的核為零當且僅當可逆。因此 $\det A=0$ 當且僅當有非零核。

對固定 $A\in M_n(F)$ ，將交換環構造用於 $tI-A\in M_n(F[t])$ 。其行列式是首一 $n$ 次多項式：恆等排列的乘積貢獻 $t^n$ ，其餘排列均用到一個非對角常數元素，故其乘積或者為零，或者次數小於 $n$ 。乘法性證明可逆常數矩陣 $P$ 下 $A\mapsto P^{-1}AP$ 的不變性；分塊三角公式證明限制—商空間的因式分解。最後，伴隨矩陣各元素或者為零，或者次數至多為 $n-1$ ，所以 C02 的凱萊—哈密頓證明可以合法比較係數。在零維情形，特徵多項式為空行列式一；代入後得到零空間上的恆等算子，它就是零算子，所以凱萊—哈密頓定理單獨直接成立。這給出實際的交換環行列式先修證明，沒有擴張任何僅適用實數的行列式 authority。

全章中， $V$ 是域 $F$ 上的非零有限維向量空間，且 $T\in\operatorname{End}_F(V)$ 。除非另有說明，不假設代數閉性。

1. 算子雖不是數，也可滿足方程

對 $p(t)=\sum_{j=0}^dc_jt^j$ ，定義 $p(T)=\sum c_jT^j$ ，其中 $T^0=I$ 。同一算子的各次冪可交換，所以 $(pq)(T)=p(T)q(T)$ ，代入是環同態 $F[t]\to\operatorname{End}(V)$ 。這不允許在任意矩陣系數恆等式中，用不交換的矩陣隨意替換變量。

若 $T(U)\subseteq U$ ，子空間 $U$ 是 $T$ -不變的。由於 $T$ 與 $p(T)$ 交換， $p(T)$ 的核和像都不變。在不變子空間上的限制是算子；在 $V/U$ 上，公式 $v+U\mapsto Tv+U$ 良定義。適配基使整個矩陣成為分塊上三角矩陣。其特徵多項式是限制與商上的特徵多項式之積，因為分塊三角矩陣的行列式是對角塊行列式之積。

特徵多項式在任意基下定義為 $\chi_T(t)=\det(tI-A)$ 。相似變換保持它，因為 $tI-P^{-1}AP=P^{-1}(tI-A)P$ 。它是次數為 $n=\dim V$ 的首一多項式。標量 $\lambda\in F$ 是特徵值當且僅當 $\chi_T(\lambda)=0$ ，因為方陣奇異當且僅當它有非零核。

2. 不作無效代入的凱萊–哈密頓定理

定理。 $\chi_T(T)=0$ 。

證明。 令 $\chi_A(t)=\sum_{k=0}^nc_kt^k$ 且 $c_n=1$ 。交換多項式環 $F[t]$ 上的伴隨矩陣恆等式給出

(tI-A)B(t)=\chi_A(t)I,\qquad B(t)=\operatorname{adj}(tI-A)=\sum_{k=0}^{n-1}B_kt^k.

設 $B_{-1}=B_n=0$ 。比較系數得到對 $0\le k\le n$ ， $B_{k-1}-AB_k=c_kI$ 。將第 $k$ 個等式左乘 $A^k$ 並求和，各項相消：

\sum_{k=0}^nc_kA^k=\sum_{k=0}^n\left(A^kB_{k-1}-A^{k+1}B_k\right)=0.

這就是 $\chi_A(A)=0$ 。這裡僅使用系數恆等式和結合律，沒有未經說明地對可能含不交換系數的矩陣多項式作代入。∎

對 $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ ， $\chi_A=t^2-5t+6$ ，故 $A^2=5A-6I$ 。更高次冪可化為 $A$ 和 $I$ 的組合。由 $A(A-5I)=-6I$ ，在特徵零時 $A^{-1}=(5I-A)/6$ 。若域的特徵為二或三，該除法無效，且這個特定矩陣不可逆；一般凱萊–哈密頓恆等式仍成立。

3. 最小多項式：最短的精確算子方程

凱萊–哈密頓定理提供了非零零化多項式；選擇次數最小的首一零化多項式，稱為 $m_T$ 。多項式除法證明

p(T)=0\quad\Longleftrightarrow\quad m_T\mid p.

事實上寫 $p=qm_T+r$ ，其中 $\deg r<\deg m_T$ 。若 $p(T)=0$ ，則 $r(T)=0$ ；由最小性 $r=0$ 。同一論證給出唯一性，特別有 $m_T\mid\chi_T$ 。非零常數多項式不能零化非零空間，所以 $m_T$ 的次數為正。

標量 $\lambda\in F$ 是 $m_T$ 的根當且僅當它是特徵值。若對 $v\ne0$ 有 $Tv=\lambda v$ ，則 $0=m_T(T)v=m_T(\lambda)v$ ，故 $m_T(\lambda)=0$ 。反過來，若 $m_T=(t-\lambda)q$ 且 $T-\lambda I$ 可逆，則對 $0=(T-\lambda I)q(T)$ 作用其逆可得 $q(T)=0$ ，與最小次數矛盾。

特徵多項式記錄總代數重數；最小多項式記錄在任一向量上所需的最強多項式關係。對 $n$ 維空間上的 $\lambda I$ ，有 $\chi=(t-\lambda)^n$ 但 $m=t-\lambda$ 。對 $\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}$ ，有 $(T-\lambda I)^2=0$ 但 $T-\lambda I\ne0$ ，故 $m=(t-\lambda)^2$ 。

4. 互素因式分解空間

雙因式分解。 若 $f,g\in F[t]$ 互素且 $f(T)g(T)=0$ ，則

V=\ker f(T)\oplus\ker g(T).

證明。 多項式歐幾里得算法給出 $af+bg=1$ 。對任意 $v$ ，

v=a(T)f(T)v+b(T)g(T)v.

第一個項屬於 $\ker g(T)$ ，第二個屬於 $\ker f(T)$ ，因為多項式算子可交換且 $f(T)g(T)=0$ 。若 $v$ 同時屬於兩個核，相同恆等式給出 $v=0$ 。∎

將這一論證反覆應用於不同首一不可約因式的分解

m_T=p_1^{r_1}\cdots p_s^{r_s}

得到主分解

V=\bigoplus_{j=1}^s\ker p_j(T)^{r_j}.

每個直和項都不變。在 $m_T$ 分解為線性因式的域上，它們是廣義特徵空間。在 $\mathbb R$ 上可能保留不可約二次式，不能把它重新稱為實特徵空間。最小多項式為 $m=t^2+1$ 的實旋轉矩陣體現了這一障礙。

對角化判據。 $T$ 在 $F$ 上可對角化，當且僅當其最小多項式是 $F[t]$ 中互不相同的線性因式之積。

若因式是互不相同的線性因式，主分解給出普通特徵空間的直和，其基合併為特徵基。反過來，若一個特徵基中出現的不同特徵值為 $\lambda_1,\ldots,\lambda_s$ ，乘積 $\prod(t-\lambda_j)$ 零化每個基向量，所以 $m_T$ 整除這個分裂且無重複因子的多項式。每個特徵值都必須是 $m_T$ 的根，故 $m_T$ 恰好等於該乘積。僅在擴域上沒有重根，若它不在原域上分裂，仍不能推出原域上的可對角化性。

5. 多項式化簡作為計算方法

任意多項式 $p$ 模 $m_T$ 的余式給出相同的算子 $p(T)$ ，其次數小於 $\deg m_T$ 。若 $m_T(0)\ne0$ ，歐幾里得算法給出 $ut+vm_T=1$ ，因此 $u(T)T=I$ ： $T$ 可逆，其逆是 $T$ 的多項式。反過來，若 $m_T(0)=0$ ，零是特徵值， $T$ 不可逆。

例。假設在 $\mathbb R$ 上 $(T-I)(T-3I)=0$ 。投影

P_1=(3I-T)/2,\qquad P_3=(T-I)/2

通過將乘積模 $(t-1)(t-3)$ 化簡，可得 $P_1+P_3=I$ 、 $P_1P_3=0$ 、 $P_j^2=P_j$ 。其像是相應特徵空間；對每個整數 $k\ge0$ ，

T^k=P_1+3^kP_3.

當 $k$ 為負整數，同一公式也成立，因為兩個特徵值均非零且 $T$ 可逆。除以二要求特徵不為二；在特徵二中兩個標量相同，該分解無效。

6. 練習

P01 — 基礎。 在 $\mathbb R$ 上求 $A=\operatorname{diag}(2,2,5)$ 的特徵多項式與最小多項式。

P02 — 核心。 對 $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ，用多項式化簡計算所有整數 $k\ge0$ 的 $A^k$ 。

P03 — 核心。 $\mathbb R$ 上的算子滿足 $T^2=I$ 。證明它可對角化，並給出兩個可能特徵空間的投影。

P04 — 診斷。 用明確矩陣解釋 P03 的結論為何可能在特徵二中失效。

P05 — 核心。 若在 $\mathbb R$ 上 $A^2-3A+2I=0$ ，用 $A$ 的多項式表示 $A^{-1}$ 。

P06 — 證明。 若 $S=P^{-1}TP$ ，證明 $m_S=m_T$ 。

P07 — 核心。 使用最小多項式判斷實旋轉矩陣 $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 在 $\mathbb R$ 和 $\mathbb C$ 上是否可對角化。

P08 — 拓展。 假設 $T$ 在 $\mathbb R$ 上的最小多項式為 $(t-1)^2(t+2)$ 。寫出其主分解並判斷是否可對角化。

P09 — 證明。 若 $T$ 可對角化且 $U$ 不變，證明 $T|_U$ 可對角化，不要假設選定的 $V$ 的特徵基適配於 $U$ 。

7. 詳解

P01. $\chi_A=(t-2)^2(t-5)$ 。多項式恰在二和五處都為零時零化該對角矩陣，所以 $m_A=(t-2)(t-5)$ 。

P02. 令 $N=A-I$ ，則 $N^2=0$ 。二項式恆等式給出 $A^k=(I+N)^k=I+kN=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$ ，包括 $k=0$ 。

P03. 最小多項式整除 $t^2-1=(t-1)(t+1)$ ，後者在 $\mathbb R$ 上是兩個不同線性因式之積。因此它可對角化。投影為到 $E_1$ 的 $(I+T)/2$ 和到 $E_{-1}$ 的 $(I-T)/2$ ；零特徵空間對應零投影。

P04. 在特徵二中， $(t-1)(t+1)=(t-1)^2$ 。取 $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ，由於 $2=0$ ，有 $A^2=I$ ；但 $A\ne I$ ，且唯一特徵值是一。其特徵空間一維，故不可對角化。

P05. 整理得 $A(3I-A)=2I$ ，所以 $A^{-1}=(3I-A)/2$ 。由於該因子是 $A$ 的多項式，左乘與右乘的結果相同。

P06. 對每個多項式， $p(S)=P^{-1}p(T)P$ 。因此零化多項式相同，其唯一的最小次數首一成員也相同。

P07. $A^2=-I$ 且 $A$ 不是標量矩陣，故 $m=t^2+1$ 。它不在 $\mathbb R$ 上分裂，因此不能在實域對角化。在 $\mathbb C$ 上，它分解為不同根 $(t-i)(t+i)$ ，所以矩陣可對角化。

P08. $V=\ker(T-I)^2\oplus\ker(T+2I)$ 。最小多項式中的重複因式阻止對角化。不能僅因兩個主因式互素就刪除這個重複因式；第一項可能含非平凡廣義特徵向量。

P09. 零化 $T$ 的任何多項式也零化其限制，所以當 $U\ne0$ 時 $m_{T|_U}$ 整除 $m_T$ 。不同線性因式乘積的任何因式仍有該性質，故判據給出 $U$ 上可對角化。零維限制顯然可對角化。此論證避免錯誤聲稱任意選定特徵基必含 $U$ 的一個基。

8. 總結

凱萊–哈密頓定理保證算子方程；最小多項式將它壓縮為精確關係。互素因式給出不變直和，無重複且分裂的因式刻畫對角化。重複因式導致冪零部分和 Jordan 鏈，下一章將完整證明其存在性。

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