雙線性型、合同與標準幾何

所有空間均為所述域上的有限維空間。雙線性型對兩個變量均線性；在 $\mathbb C$ 上它不是 Hermitian 內積。

1. 型按合同而非相似變換

域 $F$ 上 $V$ 的雙線性型是映射 $B:V\times V\to F$，對兩個變量分別線性。對基 $e_1,\ldots,e_n$，令 $A_{ij}=B(e_i,e_j)$，則在列坐標下

$$B(v,w)=[v]^{\mathsf T}A[w].$$

若新舊坐標滿足 $[v]=P[v]'$，新矩陣為

$$A'=P^{\mathsf T}AP.$$

這叫合同。算子的換基法則是 $P^{-1}AP$；兩者是不同問題。特徵值是相似不變量，一般不是合同不變量。例如實一維型 $[1]$ 和 $[4]$ 通過 $P=[2]$ 合同，但特徵值不同。

由 $B^\flat(v)(u)=B(u,v)$ 定義的映射 $B^\flat:V\to V^*$ 線性，在所選基和其對偶基下矩陣為 $A$。若該映射是同構，稱型非退化；等價地 $A$ 可逆。非對稱型有不同的左核和右核，雖然由秩相等可知其維數相同。對對稱型或交錯型，兩者的根基（radical）子空間相同，記作

$$\operatorname{rad}B=\{v:B(v,w)=0\text{ for all }w\}.$$

秩和根基維數不依賴基。在以根基取商後，這些型誘導出良定義的非退化型：將代表元改變一個根基向量，不會改變型的值。

2. 對稱雙線性型與二次型

若 $B(u,v)=B(v,u)$，稱型為對稱的，等價於 $A^{\mathsf T}=A$。它定義二次型 $q(v)=B(v,v)$。若 $\operatorname{char}F\ne2$，極化公式恢復雙線性型：

$$B(u,v)=\frac{q(u+v)-q(u)-q(v)}2.$$

因此在此特徵下，對稱型和其二次型包含相同信息；特徵二中則不然。

合同對角化。 在特徵不為二的任何域上，對稱雙線性型都有一個基使其矩陣對角化，允許對角項為零。

證明。 對維數歸納。若 $B=0$，任何基都可。否則存在 $v$ 使 $B(v,v)\ne0$：若所有對角值為零，由極化可知每個 $B(u,v)$ 均為零。對該 $v$，每個 $w$ 唯一分解為

$$w=\frac{B(w,v)}{B(v,v)}v+\left(w-\frac{B(w,v)}{B(v,v)}v\right),$$

其中第二項關於 $B$ 垂直於 $v$。由於 $B(v,v)\ne0$，和是直和。將 $B$ 限制在該垂直子空間上並應用歸納。該論證允許限制退化，因此證明一般結論。∎

例：配方。 在 $\mathbb R$ 上，對 $q(x,y)=2x^2+4xy-y^2$，

$$q=2(x+y)^2-3y^2.$$

新坐標 $s=x+y,t=y$ 顯示一個正平方和一個負平方。這是合同換坐標，而不是特徵值計算。相應對稱矩陣為 $\begin{pmatrix}2&2\\2&-1\end{pmatrix}$，因為混合項系數是非對角元素的兩倍。

在 $\mathbb C$ 上，每個非零對角系數都有平方根，因此縮放基向量可將對稱型化為 $\operatorname{diag}(I_r,0)$。秩 $r$ 完全決定其合同類。在 $\mathbb R$ 上，實數縮放不能去掉所有符號；在 $\mathbb Q$ 上，即使正系數也不一定是有理數平方。系數域是分類的一部分。

3. 實數上的 Sylvester 慣性定律

重新縮放實對稱型的對角項得到

$$q= x_1^2+\cdots+x_{p_+}^2-y_1^2-\cdots-y_{p_-}^2+0\cdot z_1^2+\cdots+0\cdot z_{p_0}^2.$$

三元組 $(p_+,p_-,p_0)$ 是其慣性指數，不依賴基的選擇。

唯一性證明。 在此表示中，正坐標子空間的維數為 $p_+$，二次型 $q$ 在其上正定。維數大於 $p_+$ 的子空間不可能使限制正定：它必與所有正坐標均為零的坐標子空間相交，後者維數為 $p_-+p_0$，因為兩者維數之和大於 $n$。交集中的非零向量的二次型值至多為零，產生矛盾。因此 $p_+$ 內蘊地等於正定子空間可能達到的最大維數。同理 $p_-$ 是負定限制的最大維數。最後 $p_0=n-p_+-p_-$，也就是根基維數。∎

型正定當且僅當 $(p_+,p_-,p_0)=(n,0,0)$，負定對應 $(0,n,0)$，不定對應 $p_+,p_->0$。正半定允許零平方項，但不允許負平方項。非退化意味著 $p_0=0$，不意味著正定。

對實對稱矩陣，正交譜對角化是合同的一個特例，因為 $Q^{-1}=Q^{\mathsf T}$。因此慣性指數按重數計數正、負、零特徵值。一般合同保持這些數量，但不保持特徵值的具體數值。

各向同性向量是滿足 $q(v)=0$ 的非零向量 $v$。它不一定屬於根基。在 $q(x,y)=x^2-y^2$ 中，$(1,1)$ 是各向同性向量，但 $B((1,1),(1,0))=1$。將各向同性與退化混為一談會丟失重要幾何信息。

4. 交錯型與辛對

若對每個 $v$ 都有 $B(v,v)=0$，雙線性型是交錯的。展開 $B(u+v,u+v)$ 表明任何特徵下均有 $B(u,v)=-B(v,u)$。反過來，只有特徵不為二時，反對稱才蘊含交錯；特徵二中仍須檢查對角項。

交錯型標準形。 存在一個基，使交錯型是下列塊

$$H=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$$

和零塊的直和。因此其秩為偶數，非退化交錯空間的維數為偶數。

證明。 若型為零，停止。否則選 $u,v$ 使 $B(u,v)\ne0$，並縮放 $v$ 使 $B(u,v)=1$。在 $E=\operatorname{span}(u,v)$ 上，型的矩陣為 $H$ 且非退化。對每個 $w$，令

$$h=B(w,v)u-B(w,u)v.$$

直接計算得 $B(w-h,u)=B(w-h,v)=0$。因此 $V=E\oplus E^\perp$；和為直和，因為 $E$ 上的型非退化。限制到補空間並歸納。剩餘零塊恰為根基。計算無需除以二，在 $-1=1$ 的特徵二中仍有效。∎

非退化情況下只給出 $H$ 塊的基稱為辛基。它將方向配對，而不是令向量單位長度；交錯型沒有相應的正範數。因此不能在忽略不同不變量與假設的情況下，將對稱型和交錯型分類描述成 Gram–Schmidt 的變體。

5. 特徵二是實質邊界，而非技術細節

在特徵二的域上，對稱矩陣 $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ 非零且非退化，但對所有向量 $q(x,y)=2xy=0$。因此 $B(v,v)$ 不能確定對稱雙線性型，以 $1/2$ 極化無定義，第 2 節的對角化證明在第一步便失效。交錯型標準形仍然有效。每當定理使用配方，先檢查標量二是否可逆。

6. 練習

P01 — 基礎。 寫出 $\mathbb R$ 上 $q(x,y,z)=x^2+4xy+3y^2-2z^2$ 的對稱矩陣。

P02 — 核心。 用配方求 P01 的型的慣性指數和根基。

P03 — 核心。 $\operatorname{diag}(1,-1)$ 與 $\operatorname{diag}(2,-3)$ 在 $\mathbb R$ 上合同嗎？相似嗎？

P04 — 核心。 $\mathbb R^3$ 上 $B$ 的矩陣為 $\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$。求根基及誘導的非退化商型。

P05 — 診斷。 給出一個有非零各向同性向量的非退化對稱型，並解釋該向量為甚麼不在根基中。

P06 — 證明。 證明奇數維空間上不存在非退化交錯型，包括特徵二的情況。

P07 — 核心。 在 $\mathbb C$ 上，證明矩陣為 $\operatorname{diag}(1,-1)$ 與 $I_2$ 的對稱型合同。

P08 — 證明。 對根基為 $R$ 的對稱型，驗證 $\bar B(v+R,w+R)=B(v,w)$ 在 $V/R$ 上良定義且非退化。

P09 — 拓展。 證明一維型 $[1]$ 和 $[2]$ 在 $\mathbb Q$ 上不合同，雖然在 $\mathbb R$ 上合同。

7. 詳解

P01. 矩陣為 $\begin{pmatrix}1&2&0\\2&3&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$。對稱展開時非對角元素二產生系數 $4xy$。

P02. 配方得到 $q=(x+2y)^2-y^2-2z^2$，故慣性指數為 $(1,2,0)$、根基為零。特別地，該型不定且非退化。

P03. 它們合同：$P=\operatorname{diag}(\sqrt2,\sqrt3)$ 給出 $P^{\mathsf T}\operatorname{diag}(1,-1)P=\operatorname{diag}(2,-3)$。它們不相似，因為特徵值多重集不同（跡也不同）。

P04. 根基為 $\operatorname{span}(e_3)$。在商空間中，$e_1+R,e_2+R$ 構成基，其矩陣為 $H$，是秩二的非退化交錯型。

P05. 對 $B((x,y),(s,t))=xs-yt$，矩陣 $\operatorname{diag}(1,-1)$ 可逆。向量 $(1,1)$ 的二次型值為零，但與 $(1,0)$ 配對得到一，故它不在根基中。

P06. 交錯型標準形的秩是 $H$ 塊數的兩倍。非退化要求秩等於維數，故維數必須為偶數。與使用 $\det A=(-1)^n\det A$ 的證明不同，這裡沒有除以二，在特徵二中仍有效。

P07. 令 $P=\operatorname{diag}(1,i)$，則 $P^{\mathsf T}\operatorname{diag}(1,-1)P=I_2$，因為 $-i^2=1$。這裡是轉置，不是共軛轉置；後者會形成不同的型問題。

P08. 將 $v,w$ 替換為 $v+r,w+s$ 後，增加 $B(r,w)+B(v,s)+B(r,s)$；對稱性使根基向量在任一變量中都給出零，所以這些項均為零。若 $v+R$ 與每個商類配對為零，則對每個 $w$ 有 $B(v,w)=0$，故 $v\in R$，其商類為零。這就是非退化性。

P09. 一維有理換基是乘以非零 $p\in\mathbb Q$，故合同要求 $p^2=2$。把 $p=a/b$ 寫成最簡形式，得到 $a^2=2b^2$，迫使兩個整數都為偶數，矛盾。在 $\mathbb R$ 上，乘以 $\sqrt2$ 給出合同。

8. 總結

雙線性型對應到代數對偶的線性映射，換基法則為合同。二可逆時對稱型可對角化；實數符號給出慣性指數，複數平方則使秩成為分類依據。任何特徵下，交錯型都分解為二維對。域、根基，以及轉置與共軛轉置的區別，都是任何分類不可缺少的部分。