內積、伴隨與譜結構

證明

下文所用的先修證明

定理及其先備知識

每個非常數多項式 $p\in\mathbb C[z]$ 都有複根；因此每個 $n$ 次複系數多項式都是 $n$ 個線性因式的乘積，按重數計數。以下通過古薩定理、柯西估計及劉維爾定理證明該結論，並明確所用的先備知識。

全純是指在開集每一點複可微；整函數是指在整個 $\mathbb C$ 上全純。以下明確使用的初等基礎是實一元積分及鏈式法則、多項式的連續性和求導、複數模的運算法則，以及歐氏平面的緊緻性（包括遞縮緊三角形、一致連續性和緊覆蓋的勒貝格數）。這些實分析及拓撲基礎是明確的先備知識。沒有預先使用複多項式根定理、最大模定理、解析冪級數表示、恆等定理、留數定理或輻角原理。

複可微推出連續，因為 $u(z+h)-u(z)=h[(u(z+h)-u(z))/h]\to0$ 。展開乘積差商得到 $(uv)'=u'v+uv'$ 。在 $v(z)\ne0$ 處，

\frac{1/v(z+h)-1/v(z)}h=-\frac{v(z+h)-v(z)}{h\,v(z+h)v(z)}\longrightarrow-\frac{v'(z)}{v(z)^2}.

因此全純函數的乘積和分母非零的商仍全純。特別地， $f(z)/(z-a)$ 在 $a$ 之外全純，無根多項式的倒數是整函數。這些事實來自差商，不依賴多項式根定理或正則性定理。

1. 積分記錄路徑及其方向

分段 $C^1$ 曲線是連續映射 $\gamma:[a,b]\to\mathbb C$ ，它在有限個子區間上連續可微，連接點有單側導數。若 $\gamma(a)=\gamma(b)$ ，曲線是閉合的。其長度為 $\ell(\gamma)=\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt$ 。連續函數 $f$ 沿該曲線的圍道積分為

\int_\gamma f(z)\,dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt,

實部和虛部分別積分。微分 $dz$ 包含運動方向；若改為 $|dz|$ ，定義的是另一種積分。

保持端點的分段 $C^1$ 遞增參數變換由換元法保持積分不變；反向使積分變號；連接兩條相容曲線時積分相加。這些結論也允許速度為零的曲線段，不要求曲線為單射。

估計引理。 若曲線上 $|f|\le M$ ，則

\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right|\le M\ell(\gamma).

因為實參數積分的模不超過模的積分，且 $|f(\gamma)\gamma'|\le M|\gamma'|$ 。這個簡單不等式是證明輔助弧在極限中貢獻為零的主要工具。

例。對正向圓周 $z=a+re^{it}$ ，其中 $0\le t\le2\pi$ 、 $r>0$ ，

\int_\gamma(z-a)^n\,dz=\begin{cases}2\pi i,&n=-1,\\0,&n\in\mathbb Z,\ n\ne-1.\end{cases}

當 $n=-1$ ，被積函數乘以 $dz$ 為 $i\,dt$ ；否則為 $ir^{n+1}e^{i(n+1)t}\,dt$ ，積分為零。 $n=-1$ 的結果與半徑無關，但反向時變號。

2. 原函數將路徑積分化為端點之差

開集 $U$ 上 $f$ 的原函數是該處滿足 $F'=f$ 的全純函數 $F$ 。對每個光滑段使用實鏈式法則可得

\int_\gamma f(z)\,dz=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))

對 $U$ 內每條圍道成立。因此有原函數的函數沿 $U$ 內任何閉圍道的積分為零。

反過來，在區域 $U$ 上，假設連續函數 $f$ 沿每條閉圍道積分為零。平面的開連通集是折線路徑連通的。固定 $a\in U$ ，定義 $F(z)$ 為沿 $U$ 內任意一條從 $a$ 到 $z$ 的折線路徑對 $f$ 的積分。閉路徑積分抵消保證結果與路徑無關。對充分小的 $h$ ，從 $z$ 到 $z+h$ 的末端線段仍在 $U$ 內，且

\frac{F(z+h)-F(z)}h=\int_0^1 f(z+th)\,dt\longrightarrow f(z)

由連續性成立。因此 $F'=f$ 。只假設所有閉折線路徑的積分為零也可採用同樣構造；得到原函數後便可處理所有圍道。

3. 古薩三角形論證：不假設導數連續

定理。 若 $f$ 在包含閉三角形 $T$ 的開集上全純，則沿 $T$ 正向邊界的積分為零。

證明。 連接邊中點將 $T$ 分為四個三角形。內部邊的積分抵消，所以外邊界積分 $I$ 等於四個子三角形積分之和。至少一個子三角形的積分模不小於 $|I|/4$ 。在這樣的子三角形中重複，得到嵌套閉三角形 $T_n$ ，其直徑為 $D/2^n$ 、周長為 $P/2^n$ ，並滿足

|I|\le4^n\left|\int_{\partial T_n}f\,dz\right|.

由緊緻性及直徑趨零，存在共同點 $z_0$ 。在 $z_0$ 可微意味著

f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+(z-z_0)\varepsilon(z),\qquad\varepsilon(z)\to0.

常數項和線性項都有原函數，故沿三角形邊界積分為零。對任意 $\eta>0$ ，當 $n$ 充分大時，整個 $T_n$ 上 $|\varepsilon|\le\eta$ 。由於 $z_0\in T_n$ ，估計引理給出

\left|\int_{\partial T_n}f\,dz\right|\le\eta(D/2^n)(P/2^n).

因此 $|I|\le\eta DP$ 。由 $\eta$ 的任意性， $I=0$ 。這裡沒有使用 $f'$ 的連續性。∎

推論：每個圓盤上有原函數。 若 $f$ 在圓盤 $D$ 上全純，固定圓心 $a$ ，令 $F(z)=\int_{[a,z]}f$ 。當 $z,z+h\in D$ 且充分接近時，以 $a,z,z+h$ 為頂點的三角形位於 $D$ 中。三角形定理給出 $F(z+h)-F(z)=\int_{[z,z+h]}f$ ；第 2 節的極限計算得到 $F'=f$ 。因此圓盤內所有閉圍道積分均為零。同樣論證適用於任何開凸集。

4. 同倫與“無孔”的含義

路徑 $\gamma_0,\gamma_1$ 之間的固定端點同倫是連續映射 $H:[0,1]^2\to U$ ，滿足 $H(s,0)=\gamma_0(s)$ 、 $H(s,1)=\gamma_1(s)$ ，且 $H(0,t),H(1,t)$ 不隨 $t$ 改變。它在不離開 $U$ 的情況下將一條路徑變形為另一條。若每條閉路徑都可通過這樣的同倫收縮到其基點，則區域是單連通的。

同倫不變性。 若 $f$ 在 $U$ 上全純，而 $U$ 內兩條分段 $C^1$ 路徑在其中固定端點同倫，則其積分相等。

僅用局部原函數的證明。 $H$ 的緊緻像可由有限個 $f$ 有原函數的圓盤覆蓋。由勒貝格數性質和一致連續性，將參數正方形細分為矩形網格，使每個閉網格的像都落在某個這樣的圓盤中。用線段連接相鄰網格頂點的像；由於圓盤是凸的，每個網格的這些線段都位於其圓盤內。由原函數知其多邊形邊界積分為零。對所有網格求和，內部線段與其反向線段抵消。在底邊和頂邊，每段原路徑與替代線段位於同一圓盤且有相同端點，故由局部原函數它們的積分相等。端點固定，側邊線段的貢獻為零。剩下的是底邊積分減頂邊積分。這證明了結論，即使同倫的中間路徑不可微也成立。∎

圓周變形所用的開集

在柯西證明中，令 $U$ 為原來包含 $\overline{D(c,R)}$ 的開全純鄰域， $d=|a-c|<R$ 。取 $0<\varepsilon<R-d$ 。 $g(z)=f(z)/(z-a)$ 所用的正確全純集是 $U\setminus\{a\}$ ，其中包含外圓；單獨的開圓盤 $D(c,R)\setminus\{a\}$ 不包含外圓。該開集包含邊界圓周；下面的不等式證明變形始終留在這個開集內。

令 $c_t=(1-t)c+ta$ 、 $r_t=(1-t)R+t\varepsilon$ ，以及 $H(s,t)=c_t+r_te^{2\pi i s}$ 。對 $0\le s,t\le1$ ，

|H(s,t)-c|\le R-t(R-d-\varepsilon)\le R,

|H(s,t)-a|\ge r_t-|c_t-a|=(1-t)(R-d)+t\varepsilon>0.

因此整個緊緻同倫像都在 $U\setminus\{a\}$ 內。網格／局部原函數證明也適用於閉路的這個自由同倫： $H(0,t)=H(1,t)$ ，所以兩條折線側邊軌跡相同、邊界方向相反，互相抵消，不必為常數。頂邊及底邊圓周為分段 $C^1$ ，不需要中間同倫可微。這補全了下文所用的定義域及移動基點步驟。

1. 邊界積分確定內部值

對 $c\in\mathbb C$ 、 $R>0$ ，令圓周 $C:|z-c|=R$ 取逆時針方向。假設 $f$ 在閉圓盤 $\overline{D(c,R)}$ 的開鄰域上全純。對每個滿足 $|a-c|<R$ 的 $a$ ，

f(a)=\frac1{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz.

分母在 $C$ 上不為零。該公式給出內部點的值，並不適用於外部點或圍道上的點。

證明。 取 $\varepsilon>0$ 使 $|a-c|+\varepsilon<R$ 。用圓心 $(1-t)c+ta$ 、半徑 $(1-t)R+t\varepsilon$ ，將外圓變形為小圓 $C_\varepsilon:|z-a|=\varepsilon$ 而不經過 $a$ 。每個移動的圓都圍住 $a$ 並留在原圓盤內。對去心圓盤上的 $f(z)/(z-a)$ 使用 C02 的網格／局部原函數證明。雖然移動基點不固定，兩條側邊軌跡相同並互相抵消，因此閉路積分不變。故

\int_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz=\int_{C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z-a}\,dz =2\pi if(a)+\int_{C_\varepsilon}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz.

最後一項的模至多為 $2\pi\sup_{|z-a|=\varepsilon}|f(z)-f(a)|$ ，由 $f$ 在 $a$ 的連續性，該上界趨於零，證明公式。∎

這個證明沒有預先假設 $(f(z)-f(a))/(z-a)$ 在 $a$ 有全純延拓；該性質是下面所得正則性的結果。

帶一致界的一階導數

劉維爾定理只需一階柯西導數估計。對固定圓周 $C$ 內部的點 $a$ ，令 $\delta=\min_{z\in C}|z-a|>0$ 。當 $0<|h|<\delta/2$ ，將兩個柯西公式相減得到差商核

\frac1h\left(\frac1{z-a-h}-\frac1{z-a}\right)=\frac1{(z-a-h)(z-a)}.

它與 $1/(z-a)^2$ 之差為

\frac{h}{(z-a-h)(z-a)^2},\qquad \sup_{z\in C}\left|\frac{h}{(z-a-h)(z-a)^2}\right|\le\frac{2|h|}{\delta^3}.

若 $M=\max_C|f|$ 、 $L=\ell(C)$ ，估計引理給出除以 $2\pi i$ 並積分後的誤差至多為 $ML|h|/(\pi\delta^3)$ ，趨於零。因此 $f'(a)=(2\pi i)^{-1}\int_C f(z)/(z-a)^2\,dz$ 。若圓心為 $a$ 、半徑為 $r$ ，便有 $|f'(a)|\le M_r/r$ 。重複同樣論證得到下列高階公式；劉維爾定理只使用一階估計。

2. 所有高階導數及其界

對開圓盤中的 $a$ ，從 $a$ 到圍道的距離為正。在 $a$ 附近充分小的圓盤內，核 $1/(z-a)$ 的差商對 $z\in C$ 一致收斂到 $1/(z-a)^2$ 。估計引理允許將極限移入圍道積分。重複論證得到

f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz,\qquad n=0,1,2,\ldots.

核的一致收斂論證證明這些導數存在，並未假設 $f$ 起初屬於 $C^\infty$ 。同一公式還說明導數局部連續，因為分母一致遠離零。

在以 $a$ 為圓心、半徑為 $r$ 的圓周上，令 $M_r=\max_{|z-a|=r}|f(z)|$ 。由長度估計得到柯西估計

|f^{(n)}(a)|\le\frac{n!M_r}{r^n}.

所選圓盤的邊界必須有全純鄰域；不能將半徑擴大到穿過奇點。

劉維爾定理與多項式根定理

對整函數，每個半徑都可使用前面的估計。將估計用於有界整函數便得到劉維爾定理；再把劉維爾定理用於多項式的倒數便證明根的存在。

劉維爾定理。 有界整函數為常數。若 $\mathbb C$ 上 $|f|\le M$ ，對任意 $a$ 和任意半徑 $r$ 的圓盤使用 $n=1$ 的估計： $|f'(a)|\le M/r$ 。令 $r\to\infty$ 得 $f'=0$ ，故函數在連通平面上為常數。

代數基本定理。 每個非常數複系數多項式都有複根。若 $p$ 無根， $1/p$ 便是整函數。其最高次項表明當 $|z|\to\infty$ 時 $|p(z)|\to\infty$ ，故 $1/p$ 在大圓盤之外有界；在剩餘緊緻圓盤上由連續性也有界。劉維爾定理使 $1/p$ 為常數，與 $p$ 的次數矛盾。反覆除以線性因式後，每個 $n$ 次多項式都恰好分解為 $n$ 個線性因式，按重數計數。

多項式反證中的初等細節

為寫全細節，若 $F$ 在 $\mathbb C$ 上滿足 $F'=0$ ，則它為常數：沿 $\gamma(t)=a+t(b-a)$ ， $F(\gamma(t))$ 的實部和虛部導數均為零，實中值定理給出 $F(a)=F(b)$ 。

寫 $p(z)=a_nz^n+\sum_{k<n}a_kz^k$ ，其中 $n\ge1$ 、 $a_n\ne0$ ，令 $S=\sum_{k<n}|a_k|$ 。當 $|z|\ge R=\max(1,2S/|a_n|)$ ，

|p(z)|\ge |a_n||z|^n-S|z|^{n-1}\ge\frac{|a_n|}{2}|z|^n.

若 $p$ 無根，其倒數處處連續並且全純，因為

\frac{1/p(z+h)-1/p(z)}h=-\frac{p(z+h)-p(z)}{h\,p(z+h)p(z)}\longrightarrow-\frac{p'(z)}{p(z)^2}.

上述增長界使 $1/p$ 在半徑為 $R$ 的圓盤外有界；在剩餘閉圓盤上，由緊緻性和連續性也有界。劉維爾定理使 $1/p$ 成為常數；該常數非零，因此 $p$ 為常數，矛盾。故存在根 $\alpha$ 。

最後，由 $z^k-\alpha^k=(z-\alpha)\sum_{j=0}^{k-1}z^{k-1-j}\alpha^j$ 得到 $p(z)-p(\alpha)=(z-\alpha)q(z)$ ，其中 $q$ 為 $n-1$ 次、最高次項系數為 $a_n$ 。若 $q$ 非常數，對它使用根定理並對次數歸納。恰好除以 $n$ 個線性因式後，餘下非零常數 $a_n$ 。由次數和乘積恆等式，恰有 $n$ 個線性因式，按重數計數。這也證明了有限維譜論或 Jordan 論證所需的複數域分裂結論；並未斷言任意實數域或其他基域上也分裂。

所有空間均為 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 上的有限維空間。

1. 度量增加了抽象基所不具備的結構

內積滿足 $\langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}$ 、對第一個變量線性，以及 $v\ne0$ 時 $\langle v,v\rangle>0$ 。範數為 $\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$ ；正交表示 $\langle u,v\rangle=0$ 。在 $\mathbb R$ 上共軛沒有影響。在標準複坐標中， $\langle x,y\rangle=y^*x$ ，其中 $*$ 表示共軛轉置。

對 $w\ne0$ ，令 $\alpha=\langle v,w\rangle/\|w\|^2$ 。展開 $\|v-\alpha w\|^2\ge0$ 得到柯西–施瓦茨不等式

|\langle v,w\rangle|\le\|v\|\|w\|,

取等當且僅當 $v,w$ 線性相關。展開 $\|v+w\|^2$ 並用該界估計交叉項，便得到三角不等式。這裡正定性不可缺少，僅有對稱性不夠。

Gram–Schmidt 將線性無關列表 $v_1,\ldots,v_k$ 轉為張成相同逐次子空間的標準正交列表：

w_j=v_j-\sum_{i<j}\langle v_j,q_i\rangle q_i,\qquad q_j=w_j/\|w_j\|.

每個 $w_j$ 都與之前的 $q_i$ 正交且非零；否則 $v_j$ 屬於前面向量的張成空間。零輸入或線性相關輸入要求捨去向量，而不是除以零。

若子空間 $U$ 有標準正交基 $q_1,\ldots,q_k$ ，定義

P_Uv=\sum_{j=1}^k\langle v,q_j\rangle q_j.

則 $P_Uv\in U$ 、 $v-P_Uv\in U^\perp$ ，故 $V=U\oplus U^\perp$ ，且投影不依賴所選標準正交基。對每個 $u\in U$ ，

\|v-u\|^2=\|v-P_Uv\|^2+\|P_Uv-u\|^2,

這證明 $P_Uv$ 是唯一最近點。正交性同時給出存在性和最優性。

2. 代數對偶與 Hermitian 伴隨

每個線性泛函 $\varphi$ 都可唯一寫成 $\varphi(v)=\langle v,w\rangle$ ，其中 $w$ 是一個向量。在標準正交基 $q_j$ 下，取 $w=\sum_j\overline{\varphi(q_j)}q_j$ ，並在基向量上驗證。這個表示依賴內積。在 $\mathbb C$ 上，對應 $w\mapsto\langle\cdot,w\rangle$ 是共軛線性的，不是與代數對偶的複線性對應。

對 $T:V\to W$ ，其伴隨 $T^\dagger:W\to V$ 由下式唯一定義：

\langle Tv,w\rangle_W=\langle v,T^\dagger w\rangle_V.

對每個 $w$ ，泛函表示證明存在性與唯一性；本約定下的共軛關係表明 $T^\dagger$ 線性。在標準正交基下其矩陣為 $A^*=\bar A^{\mathsf T}$ 。相比之下，C01 的代數對偶映射在對偶基下採用普通轉置，且方向為 $W^*\to V^*$ 。二者相關，但定義不同。

在定義恆等式中取值可得

(ST)^\dagger=T^\dagger S^\dagger,\quad (T^\dagger)^\dagger=T,\quad (\alpha T)^\dagger=\bar\alpha T^\dagger.

此外，

(\operatorname{im}T)^\perp=\ker T^\dagger,\qquad \operatorname{im}T^\dagger=(\ker T)^\perp.

第一式來自： $w$ 與每個 $Tv$ 正交當且僅當 $T^\dagger w=0$ 。對 $T^\dagger$ 使用第一式並取正交補，便得到有限維中的第二式。

3. 正規性給出標準正交特徵基

自映射若 $T=T^\dagger$ 是自伴的；若 $T^\dagger T=TT^\dagger=I$ 是酉的（在 $\mathbb R$ 上稱正交）；若 $T^\dagger T=TT^\dagger$ 是正規的。自伴和酉映射均正規，但正規映射可以兩者都不是。

若 $S$ 正規，則 $\|Sv\|=\|S^\dagger v\|$ ，因為兩個平方由 $S^\dagger S=SS^\dagger$ 決定。若 $T$ 正規， $S=T-\lambda I$ 也正規，因此

Tv=\lambda v\quad\Longrightarrow\quad T^\dagger v=\bar\lambda v.

若 $v$ 為特徵向量，由伴隨恆等式，其正交補在 $T$ 和 $T^\dagger$ 下都不變。它們在該正交補上的限制仍互為伴隨且可交換，因此仍正規。

複譜定理。 複空間自映射正規當且僅當它有標準正交特徵基。

證明。 非零維空間的特徵多項式有複根，選取並單位化一個特徵向量。上述正交補論證將問題化為維數少一的正規算子；歸納得到標準正交特徵基。反過來，標準正交基下的對角矩陣與其共軛轉置交換，故正規。∎

自伴算子的特徵值為實數：由 $\langle Tv,v\rangle=\langle v,Tv\rangle$ 得 $\lambda\|v\|^2=\bar\lambda\|v\|^2$ 。酉算子保持範數，故其特徵值模為一。這些是必要的譜性質，但任意矩陣滿足它們並不足以保證自伴或酉。

實對稱譜定理。 實自伴映射有實的標準正交特徵基。為證明實特徵值存在，將實對稱矩陣複化；由前述計算，任何複特徵值都是實數。複特徵向量的實部或虛部至少有一個非零，且是對應實特徵值的實特徵向量。將其單位化，再對其不變的實正交補歸納。實正規算子不一定有實特徵值；平面旋轉是標準反例。

4. 正性與奇異值分解

自伴算子 $T$ 若對所有 $v$ 滿足 $\langle Tv,v\rangle\ge0$ ，稱為正半定；若對非零 $v$ 嚴格大於零，稱為正定。在標準正交特徵基下，這些條件分別等價於所有特徵值非負或為正。由此可得到正半定平方根的存在性與唯一性：將每個非負特徵值替換為其非負平方根。證明唯一性時，任何滿足 $S^2=T$ 的正半定 $S$ 都與 $T$ 交換並保持每個 $T$ -特徵空間；在該空間中， $S$ 的非負特徵值必須都等於選定平方根，故其限制是該標量乘恆等映射。

對 $A:V\to W$ ， $A^\dagger A$ 自伴且非負，因為

\langle A^\dagger Av,v\rangle=\|Av\|^2.

選其標準正交特徵基 $v_i$ ，特徵值為 $\sigma_i^2\ge0$ ，正值排在前面。對 $\sigma_i>0$ ，令 $u_i=Av_i/\sigma_i$ 。由伴隨恆等式可知這些 $u_i$ 標準正交，將它們擴充為 $W$ 的標準正交基。若 $\sigma_i=0$ ，範數恆等式給出 $Av_i=0$ 。因此在這些基下 $A$ 是矩形對角矩陣；在標準坐標下，

A=U\Sigma V^*.

這就是奇異值分解。正的 $\sigma_i$ 是奇異值，其個數是秩；零奇異值編碼核。該定義適用於定義域和陪域維數不同的情況。

例。對 $\mathbb R$ 上的 $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ ， $A^{\mathsf T}A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ 的標準正交特徵向量為 $(1,1)/\sqrt2$ 和 $(1,-1)/\sqrt2$ ，特徵值為二和零。奇異值為 $\sqrt2,0$ ，像方向是 $e_1$ 。 $A$ 自身的特徵值一和零並不是它的奇異值。

5. 練習

P01 — 基礎。 將 $\mathbb R^3$ 中 $(1,1,0),(1,0,1)$ 標準正交化。

P02 — 核心。 將 $v=(2,0,1)$ 投影到 $U=\operatorname{span}((1,1,0))$ ，並計算距離的平方。

P03 — 核心。 對 $A=\begin{pmatrix}1&i\\0&2\end{pmatrix}$ ，求代數轉置和 Hermitian 伴隨，並判斷 $A$ 是否自伴。

P04 — 核心。 正交對角化 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ ，並構造其正定平方根。

P05 — 診斷。 實矩陣有實特徵值是否蘊含它對稱？給出反例。

P06 — 證明。 證明正交投影滿足 $P=P^\dagger=P^2$ 。反過來證明自伴冪等算子是到其像的正交投影。

P07 — 核心。 求 $A=\begin{pmatrix}3&0\\0&4\\0&0\end{pmatrix}$ 的奇異值和秩。

P08 — 證明。 證明複內積空間上的正規冪零算子為零。

P09 — 拓展。 對滿足 $1\le\dim V=\dim W<\infty$ 的可逆映射 $A:V\to W$ ，證明其誘導歐幾里得算子範數是最大奇異值，且 $\|A^{-1}\|_2=1/\sigma_{\min}$ 。

6. 詳解

P01. 首先 $q_1=(1,1,0)/\sqrt2$ 。從 $(1,0,1)$ 減去其投影得 $(1/2,-1/2,1)$ ，範數為 $\sqrt{3/2}$ ，故 $q_2=(1,-1,2)/\sqrt6$ 。二者點積為零且各自範數為一。

P02. 投影為 $[(2,0,1)\cdot(1,1,0)/2](1,1,0)=(1,1,0)$ 。餘量為 $(1,-1,1)$ ，與 $U$ 正交，距離平方為三。

P03. $A^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}1&0\\i&2\end{pmatrix}$ ，而 $A^*=\begin{pmatrix}1&0\\-i&2\end{pmatrix}$ 。二者都不等於 $A$ ，故它不自伴。複共軛使伴隨矩陣不同於代數對偶矩陣。

P04. 單位特徵向量 $q_+=(1,1)/\sqrt2$ 、 $q_-=(1,-1)/\sqrt2$ 的特徵值為三和一。令 $Q=(q_+\ q_-)$ ，則 $A=Q\operatorname{diag}(3,1)Q^{\mathsf T}$ 。其正平方根為 $Q\operatorname{diag}(\sqrt3,1)Q^{\mathsf T}=\tfrac12\begin{pmatrix}\sqrt3+1&\sqrt3-1\\\sqrt3-1&\sqrt3+1\end{pmatrix}$ 。

P05. $\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ 的特徵值為實數一和二，但它不對稱。任意特徵基不一定標準正交，僅有實譜不足夠。

P06. 正交分解給出 $P^2=P$ 。若 $v=u+r$ 、 $w=s+t$ ，其中 $u,s$ 屬於像、 $r,t$ 屬於其正交補，則 $\langle Pv,w\rangle=\langle u,s\rangle=\langle v,Pw\rangle$ ，所以 $P=P^\dagger$ 。反過來，冪等性給出 $V=\operatorname{im}P\oplus\ker P$ 。若 $P$ 自伴，對 $k\in\ker P$ 有 $\langle Px,k\rangle=\langle x,Pk\rangle=0$ 。因此直和正交， $P$ 是正交投影。

P07. $A^*A=\operatorname{diag}(9,16)$ ，故按降序奇異值為四和三。兩者均為正，所以秩為二。按此約定，額外的陪域方向不會增加第三個定義域奇異值。

P08. 由複譜定理， $N$ 可酉對角化。冪零特徵值滿足 $\lambda^k=0$ ，故 $\lambda=0$ 。其對角矩陣為零，所以 $N=0$ 。

P09. 寫 $x=Vy$ ，則 $\|x\|=\|y\|$ ，且 $\|Ax\|^2=\sum_i\sigma_i^2|y_i|^2$ 。單位向量上的最大比值為 $\sigma_{\max}$ ，由相應右奇異向量取到。可逆性使所有奇異值為正；逆矩陣的 SVD 奇異值為 $1/\sigma_i$ ，故其範數為 $1/\sigma_{\min}$ 。

7. 總結

相對於所選度量，內積給出規範的正交補和伴隨。在 $\mathbb C$ 上，正規性恰等價於標準正交對角化；實自伴性給出實對稱定理。將其應用於 $A^\dagger A$ 可對任意矩形映射得到奇異值。雙線性型有不同的換基法則，下一章將研究它。

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