學習目標與準備

本章以標量導數、弧度制三角函數、向量分量和定積分為基礎。你將區分幾何曲線與其遍歷方式，從參數推導一階和二階直角坐標斜率，並聯繫向量速度、加速度與標量速率。

6.1 曲線與參數化是不同對象

參數曲線是函數 $r:I\to\mathbb R^n$，通常寫為 $r(t)=(r_1(t),\ldots,r_n(t))^T$。其像是經過的點組成的集合；參數化還記錄順序、時序和重複經過。消去 $t$ 可以找出像，但可能丟失限制或方向。

例 1：隨時間遍歷橢圓。 對 $r(t)=(a\cos t,b\sin t)^T$，其中 $a,b>0$，消去 $t$ 得 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$。在 $[0,2\pi]$ 上從 $(a,0)$ 出發並回到該點，逆時針遍歷橢圓一次；在 $[0,\pi]$ 上只走過上半部分；在 $[0,4\pi]$ 上遍歷兩次。單靠直角坐標方程不能區分這些情況。

重參數化 $t=\phi(s)$ 給出 $\tilde r(s)=r(\phi(s))$。若 $\phi$ 是 $C^1$ 雙射 $\phi:J\to I$，且 $\phi'\ne0$，其中 $I,J$ 為區間，$r:I\to\mathbb R^n$ 是正則 $C^1$ 路徑，則 $\tilde r$ 正則地遍歷同一路徑；$\phi'$ 的符號決定方向保持還是反轉。重複取參數值的映射可能造成重複遍歷，不能假定其計數一次的長度不變。

6.2 向量極限與導數

向量極限存在當且僅當每個分量極限都存在。這可由每個分量差的絕對值不超過範數、而範數不超過各分量絕對值之和得到。定義

$$r'(t)=\lim_{h\to0}\frac{r(t+h)-r(t)}h.$$

因此 $r'=(r_1',\ldots,r_n')^T$。在導數存在處再次逐分量求導，得到 $r''$。參數定義域仍決定導數是雙側還是單側。

對可微向量 $u,v$ 和標量函數 $f$，

$$(u+v)'=u'+v',\quad(fu)'=f'u+fu',\quad (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.$$

將點積寫成有限和並應用標量乘積法則，可得點積求導法則。鏈式法則為 $d[r(\phi(s))]/ds=r'(\phi(s))\phi'(s)$。在三維中定義 $u\times v=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)^T$。逐分量求導得到 $(u\times v)'=u'\times v+u\times v'$；必須保留順序，因為叉積交換順序會變號。 沒有定義對向量作除法，也不需要這種運算。

例 2：三坐標路徑。 對 $r(t)=(t^2,e^t,\sin2t)^T$，導數為 $(2t,e^t,2\cos2t)^T$，二階導數為 $(2,e^t,-4\sin2t)^T$。每個坐標使用通常的標量法則，振蕩坐標還包括內部因子二。

若 $r(t)\ne0$，對 $\|r\|^2=r\cdot r$ 求導得到

$$\frac d{dt}\|r(t)\|=\frac{r(t)\cdot r'(t)}{\|r(t)\|}.$$

這是距原點的距離變化率，一般不是速率 $\|r'(t)\|$。當向量為零時，還須另行分析範數。

6.3 切線與直角坐標導數

在滿足 $r'(t)\ne0$ 的正則參數值處，導數與路徑相切，其單位方向為 $T(t)=r'(t)/\|r'(t)\|$。對局部直角坐標公式，設 $x,y$ 在 $t_0$ 周圍的開參數區間上為 $C^1$，且 $x'(t_0)\ne0$。第一式在 $t_0$ 附近成立；第二式還要求 $x,y$ 在該處為 $C^2$：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)},\qquad \frac{d^2y}{dx^2}=\frac1{x'(t)}\frac d{dt}\left(\frac{y'(t)}{x'(t)}\right).$$

第二個公式不是 $y''/x''$；它再次使用參數鏈式法則，對第一個斜率關於 $x$ 求導。

局部圖像為何存在。 由 $x'$ 連續，可縮小區間，使 $x'$ 保持一個固定非零符號。中值定理於是保證 $x$ 在該處嚴格單調。連續性與介值定理保證其像為開區間：它包含任意兩個參數的像之間的每個值，而開參數區間內每個參數的左、右兩側都有鄰近參數。其反函數連續：在所選參數兩側任取兩個參數，其像夾出該點像周圍的一個開區間，故充分接近的像值的參數必位於這兩個參數之間。因此，當鄰近的直角坐標輸入趨於 $x(t)$，對應參數可寫成 $t+h$，且 $h\to0$。圖像的差商為

$$\frac{y(t+h)-y(t)}{x(t+h)-x(t)}=\frac{[y(t+h)-y(t)]/h}{[x(t+h)-x(t)]/h}\longrightarrow\frac{y'(t)}{x'(t)}.$$

若 $x,y$ 為 $C^2$，則該區間上的商 $y'/x'$ 為 $C^1$。對這一商應用一階導數的論證，得到 $d/dx=(1/x')d/dt$，從而得到第二式。這裡沒有把缺少所述鄰域正則性時僅一個點的水平導數非零，當作逆函數定理。

例 3：參數化拋物線。 設 $x=t^2$、$y=t^4$，其中 $t>0$。則 $dy/dx=2t^2=2x$，且 $d^2y/dx^2=2$。消參得到的曲線雖為 $y=x^2$，參數限制只走過 $x>0$。在延拓到被排除的參數 $t=0$ 時，兩個分量的一階導數都為零，不能直接使用比值公式，儘管幾何拋物線在該處有水平切線。

對例 1 的橢圓，當 $\sin t\ne0$ 時 $dy/dx=-b\cos t/(a\sin t)$。在 $t=0,\pi$ 處，水平分量導數為零而竪直分量導數非零，故切線竪直。若兩個分量導數都為零，僅憑這兩個數不能推出切線結論；需要檢查曲線或更高階展開。

6.4 速度、速率與加速度

對位置路徑，速度為 $v=r'$，加速度為 $a=r''$，速率為 $\|v\|\ge0$。速度非零時，

$$\frac d{dt}\|v\|=\frac{v\cdot a}{\|v\|}.$$

非零加速度可以改變運動方向而不改變速率。

例 4：勻速圓周運動。 設 $r(t)=(R\cos\omega t,R\sin\omega t)^T$，其中 $R>0$、$\omega\ne0$。則

$$v=R\omega(-\sin\omega t,\cos\omega t)^T,\qquad a=-R\omega^2(\cos\omega t,\sin\omega t)^T.$$

速率 $R|\omega|$ 為常數，但加速度的大小為 $R\omega^2$ 且指向圓心。點積 $v\cdot a=0$ 確認速率導數為零；僅知道標量速率並不能確定向量運動。

例 5：改變參數速率。 將單位圓重新參數化為 $r(t)=(\cos(t^2),\sin(t^2))^T$、$t\ge0$。其像仍為圓，但速率為 $2t$，隨著時間增長路徑反覆繞圈；初始速度為零。幾何形狀本身不能指定唯一的速率規律。

6.5 長度與向量的累積變化

為何實數不只有算術規則

有理數支援熟悉的有序算術，但集合 $\{q\in\mathbb Q:q>0,\ q^2<2\}$ 沒有有理數最小上界。實數系統加入完備性：非空有上界集合都有最小上界。這不只是另一條不等式運算規則，而是分析中許多存在性結論的來源。

定義

上界與上確界

對非空 $A\subset\mathbb R$，若每個 $a\in A$ 均滿足 $a\le u$，則 $u$ 是上界。若 $s$ 是上界，並對每個上界 $u$ 都有 $s\le u$，則 $s=\sup A$。最大值是既屬於 $A$ 又是上界的元素。最大值若存在便是上確界；上確界則不一定屬於 $A$。下界、下確界和最小值以反向不等式定義。

定理

完備性公理

每個非空且有上界的實數子集都有實數上確界。等價地，每個非空且有下界的子集都有實數下確界，因為 $\inf A=-\sup(-A)$。

例如 $\sup(0,1)=1$，但 $1$ 不是該集合的最大值；相反，$\sup[0,1]=1$ 且是最大值。依此定義，空集及沒有上界的集合沒有實數上確界。

定理

上確界近似判據

非空集合 $A$ 的上界 $s$ 是 $\sup A$，當且僅當對每個 $\varepsilon>0$，存在 $a\in A$ 使 $s-\varepsilon<a\le s$。

證明

證明兩個方向

若 $s=\sup A$，但沒有元素大於 $s-\varepsilon$，則 $s-\varepsilon$ 是更小的上界，矛盾。反過來，假設 $s$ 是上界且具近似性質。若另一上界 $u<s$，取 $\varepsilon=s-u>0$，近似性質給出 $a>u$，違反 $u$ 是上界。因此 $s$ 是最小上界。

例題

上確界證明的兩部分

令 $A=\{n/(n+1):n\in\mathbb N, n\ge1\}$。每個元素小於 $1$，所以 $1$ 是上界。給定 $\varepsilon>0$，由下述阿基米德性質選 $n>1/\varepsilon$。則 $1-n/(n+1)=1/(n+1)<\varepsilon$，故 $\sup A=1$。沒有元素等於 $1$，所以 $A$ 沒有最大值。只證上界並不足以證明它是最小上界：$2$ 也是上界。

阿基米德性質與稠密性

定理

阿基米德性質

對每個實數 $x$，存在正整數 $n>x$。因此對每個 $\varepsilon>0$，存在 $n\in\mathbb N$ 使 $1/n<\varepsilon$。

證明

完備性迫使整數無上界

若正整數有上界，完備性給 $s=\sup\mathbb N$。因 $s-1$ 不是上界，存在 $n\in\mathbb N$ 滿足 $n>s-1$。但 $n+1>s$ 且 $n+1\in\mathbb N$，違反 $s$ 是上界。對 $1/\varepsilon$ 應用該性質即得第二個結論。

任意實數 $x<y$ 之間都有有理數。選 $n$ 使 $n(y-x)>1$；由阿基米德性質及整數部分性質，可選整數 $m$ 使 $nx<m<ny$，因此 $x<m/n<y$。整數部分性質可由整數在正負兩方向均無界及自然數良序性得到。$x$ 和 $y$ 之間也有無理數：選有理數 $q$ 使 $x-\sqrt2<q<y-\sqrt2$，則 $q+\sqrt2$ 是位於區間內的無理數。稠密性不表示有理數與無理數集合相同。

例題

以反射求下確界

對 $B=\{2+1/n:n\ge1\}$，所有元素均大於 $2$。給定 $\varepsilon>0$，選 $n>1/\varepsilon$ 可得 $2<2+1/n<2+\varepsilon$。所以 $2$ 是下確界，但不是最小值。最大值為 $3$，由 $n=1$ 取到。

收斂中的量詞

定義

實數數列的收斂

數列 $(x_n)$ 收斂至 $L\in\mathbb R$，指對每個 $\varepsilon>0$，存在 $N\in\mathbb N$，使每個 $n\ge N$ 均有 $|x_n-L|<\varepsilon$。記作 $x_n\to L$。$N$ 可以依賴 $\varepsilon$，但必須對其後所有下標同時有效。

「收斂至 $L$」的否定式為：存在 $\varepsilon_0>0$，使對每個 $N$ 都有某個 $n\ge N$ 滿足 $|x_n-L|\ge\varepsilon_0$。少數初始項不影響收斂；在任意後期仍反覆出現的失敗則會影響。

例題

構造 epsilon–N 證明

對 $x_n=(3n+1)/(n+2)$，先猜 $L=3$。因為

$$\left|\frac{3n+1}{n+2}-3\right|=\frac5{n+2}<\frac5n,$$

選 $N>5/\varepsilon$，則每個 $n\ge N$ 都滿足 $|x_n-3|<\varepsilon$。猜測只是動機；不等式及帶量詞的選取才建立證明。

定理

唯一性、有界性及極限定律

收斂實數數列的極限唯一，且數列有界。若 $x_n\to x$、$y_n\to y$，則 $x_n+y_n\to x+y$、$x_ny_n\to xy$；若 $y\ne0$ 且商最終有定義，則 $x_n/y_n\to x/y$。若最終有 $x_n\le z_n\le y_n$，而兩側均收斂至 $L$，則 $z_n\to L$。

證明

唯一性與有界性

若 $x_n\to L$ 且 $x_n\to M$，對任意 $\varepsilon>0$，充分後期的項同時滿足 $|x_n-L|<\varepsilon/2$ 及 $|x_n-M|<\varepsilon/2$。三角不等式給 $|L-M|<\varepsilon$；此式對所有正 $\varepsilon$ 成立，故 $L=M$。要證有界，選 $N$ 使 $n\ge N$ 時 $|x_n-L|<1$。有限個初始項與尾部界 $|x_n|\le|L|+1$ 一起給出整個數列的有限界。

有界性的逆命題不成立：$(-1)^n$ 有界但不收斂。若收斂至 $L$，其偶數子列收斂至 $1$、奇數子列收斂至 $-1$，違反極限唯一性。

證明

乘積定律的機制

收斂數列 $(y_n)$ 有界，設 $|y_n|\le M$。由

$$|x_ny_n-xy|\le|y_n||x_n-x|+|x||y_n-y|,$$

兩項均趨零。對商，$y_n\to y\ne0$ 蘊含最終有 $|y_n|\ge|y|/2$；分母因而遠離零，得 $1/y_n\to1/y$。

子列

定義

子列

$(x_n)$ 的子列是 $(x_{n_k})$，其中 $n_1<n_2<\cdots$ 為正整數。若 $x_n\to L$，每個子列都收斂至 $L$，因為 $n_k\ge k$，最終會超過任意指定下標。

定理

Bolzano–Weierstrass 定理

每個有界實數數列都有收斂子列。

證明

套疊區間證明

把所有項放入閉有界區間 $I_1$，並把它平分。至少一半含無窮多個數列項；選該半區間為 $I_2$。繼續進行，得到長度趨零的套疊閉區間 $I_k$，每個都含無窮多項。選嚴格遞增的下標 $n_k$ 使 $x_{n_k}\in I_k$；因每個區間含無窮多項，故可做到。完備性給出所有區間的一個共同點 $L$：左端點集合的上確界位於每個區間內，因為每個左端點都不超過每個右端點。由 $x_{n_k},L\in I_k$，二者距離不超過區間長度，故趨零。

結論是關於子列，而非整個數列。例如 $(-1)^n$ 有分別收斂至 $1$ 及 $-1$ 的常數子列，但自身不收斂。

實直線閉集：序列判據與開補集

在通常的經典集合論背景下討論實直線，並允許可數次見證選擇。集合 $U$ 為開集，是指每個 $y$ 屬於 $U$ 都有某個 $r>0$，使 $(y-r,y+r)$ 包含於 $U$。使用阿基米德性質的推論：$1/n$ 趨於零。對任意實直線子集 $K$，下列條件等價：

1. $K$ 中任意在實直線上收斂的序列，其極限仍屬於 $K$。
2. $K$ 的補集為開集。

由 2 推出 1。 設 $x_n$ 屬於 $K$ 且 $x_n$ 趨於 $x$。若 $x$ 不屬於 $K$，補集的開放性給出 $r>0$，使 $(x-r,x+r)$ 與 $K$ 不相交。收斂性保證充分靠後時 $|x_n-x|<r$，與 $x_n$ 屬於 $K$ 矛盾，故 $x$ 屬於 $K$。

由 1 推出 2。 固定不屬於 $K$ 的 $y$。若以 $y$ 為中心的每個正半徑區間都遇到 $K$，則對每個正整數 $n$，都有 $x_n$ 屬於 $K$ 且 $|x_n-y|<1/n$。將這些見證選成一個序列。給定 $\varepsilon>0$，取 $N$ 使 $1/N<\varepsilon$；當 $n\ge N$，有 $|x_n-y|<1/n\le1/N<\varepsilon$，故 $x_n$ 趨於 $y$。條件 1 會迫使 $y$ 屬於 $K$，矛盾。因此 $y$ 周圍存在避開 $K$ 的區間。對補集每點均如此，故補集開放。選擇見證序列這一步使用已聲明的經典背景；這裏不聲稱在不帶選擇的基礎體系中證明同一結論。若 $K$ 為空，其中沒有序列，其補集為整個開實直線；若 $K$ 為整個實直線，其空補集的開放性真空成立。兩種邊界情形也滿足等價關係。

學習目標與定義

集合 $K\subseteq\mathbb R$ 稱為緊致的，如果任意一族開集只要其並包含 $K$，就存在有限個成員仍覆蓋 $K$。集合若包含其點構成的每個收斂序列的極限，則稱為閉集；等價地，其補集是開集。序列緊致性指 $K$ 中每個序列都有收斂到 $K$ 中某點的子列。

空集是緊致、閉且有界的，也滿足序列緊致性；這些性質均以空真方式成立。在需要選取點或無窮序列的證明中，要單獨處理空集。我們使用先前數列內容中的實數完備性及其閉區間套和 Bolzano–Weierstrass 推論。

定理：實數直線上的 Heine–Borel 定理

對 $K\subseteq\mathbb R$，下列條件等價：開覆蓋意義下的緊致性；閉且有界；序列緊致性。

緊致推出閉且有界。 區間 $(-n,n)$（$n\ge1$）覆蓋 $\mathbb R$，因而覆蓋 $K$。有限子覆蓋給出一個界。為證明閉性，取 $y\notin K$。對每個 $x\in K$，區間 $B(x,|x-y|/2)$ 不含 $y$。取其中覆蓋 $K$ 的有限子族，令 $\delta$ 為這些區間中心到 $y$ 的正距離的一半所組成的有限集合的最小值。所選以 $x$ 為中心的區間內每點到 $y$ 的距離嚴格大於 $|x-y|/2\ge\delta$。因此 $B(y,\delta)$ 與 $K$ 不相交，因此對每個集合外的點，都找到不與集合相交的開鄰域，補集是開集。若 $K$ 為空，結論立即成立。

閉且有界推出緊致。 將非空的 $K$ 放入閉有界區間 $I_0$。假設 $K$ 的某個開覆蓋不存在有限子覆蓋。將 $I_0$ 二等分；至少一個閉半區間與 $K$ 的交集不能被有限覆蓋，否則兩組有限覆蓋合起來便覆蓋 $K$。選取這樣的半區間並重複，得到長度趨於零的閉區間套 $I_n$，且 $K\cap I_n$ 不能被有限覆蓋。每個交集非空，選取 $x_n\in K\cap I_n$。閉區間套性質給出唯一公共點 $p$；因兩者均在 $I_n$ 中，故 $x_n\to p$。由閉性得 $p\in K$。覆蓋中某個成員 $O$ 含 $p$；由其開放性，$O$ 包含以 $p$ 為中心的某個開球。當 $n$ 足夠大時，整個區間 $I_n$ 均在該球內，於是單個開集 $O$ 就覆蓋 $K\cap I_n$，矛盾。

閉且有界推出序列緊致。 $K$ 中每個序列有界，故 Bolzano–Weierstrass 定理給出收斂子列。由閉性，其極限仍在 $K$ 中。

序列緊致推出閉且有界。 若無界，可選取 $x_n\in K$，使 $|x_n|>n$；它沒有收斂到有限實數的子列，矛盾。若 $p$ 是 $K$ 中點的極限，則可選取 $x_n\in K$ 使 $|x_n-p|<1/n$。由序列緊致性，某子列收斂到 $K$ 中一點；它也收斂到 $p$，由實數極限唯一性得 $p\in K$。因此 $K$ 是閉集，所有蘊涵均已證明。

實數線上的緊緻子集

集合 $K\subset\mathbb R$ 若每個開覆蓋都有有限子覆蓋，便稱緊緻。在 $\mathbb R$ 中，Heine–Borel 定理指出，這等價於閉且有界，也等價於 $K$ 內每個數列都有收斂至 $K$ 中某點的子列。閉性使子列極限留在集合內；有界性則容許抽取子列。以下證明使用序列形式。

定理

極值定理

若 $K\subset\mathbb R$ 非空且緊緻，$f:K\to\mathbb R$ 連續，則 $f$ 有界並在 $K$ 上取得最大值及最小值。

證明

抽取逼近最大值的子列

若 $f$ 無上界，選 $x_n\in K$ 使 $f(x_n)>n$。存在子列 $x_{n_k}\to x\in K$；連續性給 $f(x_{n_k})\to f(x)$，與其趨向無窮矛盾。對 $-f$ 作同樣論證可得下界。令 $s=\sup f(K)$，選 $x_n\in K$ 使 $s-1/n<f(x_n)\le s$。某收斂子列趨向 $x\in K$，由連續性有 $f(x)=s$。對 $-f$ 同理得最小值。

例題

哪個假設失效？

連續函數 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上有界，但沒有最大值或最小值，因為 $0$、$1$ 不在定義域。此集合有界但不閉，故不緊緻。在 $[0,1]$ 上兩端點都存在，因此取得極值。緊緻性是充分的全局假設，不是每個個別函數取得極值的必要條件。

費馬必要條件。 在可微的內點局部最大值或最小值處，$f'(a)=0$。

證明。 在局部最大值處，充分小的正增量給出非正差商，負增量給出非負差商。雙側導數的極限要同時滿足兩種符號，只能為零。對函數取負處理最小值。$\square$

內點條件很重要：$f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上的極值出現在端點，儘管導數為 1。逆命題不成立：$x^3$ 在零處導數為零，但那裡不是極值。

Rolle 定理。 若 $a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上連續、在 $(a,b)$ 上可微，且 $f(a)=f(b)$，則存在 $c\in(a,b)$ 使 $f'(c)=0$。

證明。 極值定理保證最大值和最小值存在。若函數為常數，任意內點均符合要求。否則某值不同於相等的端點值，因此最大值或最小值之一出現在內部。可在該處應用費馬條件。$\square$

中值定理。 在相同的連續與可微條件下，不要求端點值相等，則存在 $c\in(a,b)$ 滿足 $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$。

從 $f$ 減去割線 $f(a)+[f(b)-f(a)](x-a)/(b-a)$，再應用 Rolle 定理即可。這一證明不假定 $f'$ 連續。推論包括：導數在區間上為零則函數為常數；導數非負則函數不減；區間上 $|f'|\le M$ 則其中各點滿足 $|f(y)-f(x)|\le M|y-x|$。不能由一點的導數值推出整個區間上的導數界。

一致連續

定義

整個定義域共用一個 delta

若對每個 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使所有 $x,y\in A$ 只要滿足 $|x-y|<\delta$，便有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，則稱 $f:A\to\mathbb R$ 在 $A$ 上一致連續。$\delta$ 可依賴 $\varepsilon$，但不可依賴 $x$ 或 $y$。

定理

Heine–Cantor 定理

緊緻集合上的每個連續實值函數都一致連續。

證明

用緊緻性作反證

若非一致連續，則存在 $\varepsilon_0>0$，使每個 $n$ 都有 $x_n,y_n\in K$，滿足 $|x_n-y_n|<1/n$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0$。緊緻性給子列 $x_{n_k}\to x\in K$；由兩點距離趨零，也有 $y_{n_k}\to x$。連續性給 $f(x_{n_k})\to f(x)$ 及 $f(y_{n_k})\to f(x)$，與輸出距離至少為 $\varepsilon_0$ 矛盾。

例題

無界定義域上連續但非一致連續

$f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上連續，但不一致連續。取 $x_n=n$、$y_n=n+1/n$，則 $|x_n-y_n|=1/n\to0$，但 $|f(y_n)-f(x_n)|=2+1/n^2\not\to0$。在任何閉有界區間上，Heine–Cantor 定理卻保證一致連續。也可直接證明：若 $|x|,|y|\le M$，則 $|x^2-y^2|\le2M|x-y|$。

學習目標與定義

推導可積性結論背後的證明，並區分有界與可積。設 $a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。對分割 $P:a=x_0<\cdots<x_n=b$，記 $m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f$、$M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f$，並定義 $L(f,P)=\sum m_i\Delta x_i$、$U(f,P)=\sum M_i\Delta x_i$。下積分 $\underline I$ 是所有下和的上確界，上積分 $\overline I$ 是所有上和的下確界。加細分割使下和不減、上和不增。

對任意兩個分割 $P,Q$，由其公共加細得 $L(f,P)\le U(f,Q)$，故 $\underline I\le\overline I$。有界性保證這些量有限。上下積分相等時，稱函數 Riemann 可積。

定理：Darboux 判據

有界函數可積，當且僅當對每個 $\varepsilon>0$ 都存在分割，使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

證明。 若上下積分均等於 $I$，由上下確界逼近性質，取一個大於 $I-\varepsilon/2$ 的下和及一個小於 $I+\varepsilon/2$ 的上和。它們的公共加細的上下和之差小於 $\varepsilon$。反之，若對每個正的 $\varepsilon$ 都有這樣的分割，則不等式 $0\le\overline I-\underline I\le U(f,P)-L(f,P)$ 迫使上下積分之差為零。

定理：允許有限個不連續點

若 $f$ 有界，且除至多有限個點外處處連續，則它可積。

證明。 設 $|f|\le M$，並取 $M>0$。用有限個小區間圍住例外點，將其端點加入分割，使這些區間總長度小於 $\varepsilon/(4M)$；在 $[a,b]$ 的端點處採用單側區間。它們對上下和之差的貢獻至多是總長度的 $2M$ 倍，因而小於 $\varepsilon/2$。剩餘的有限個閉區間上，$f$ 連續，故一致連續。將各區間充分加細，使所得每個小區間上的振幅小於 $\varepsilon/[2(b-a)]$，則其上下和差的總貢獻小於 $\varepsilon/2$。合併全部分割點，得到小於 $\varepsilon$ 的差。若某例外區間的端點本身是例外點，稍微移動該端點，使實際例外點都在所選區間內部或定義域端點，從而剩餘閉區間上仍連續。

連續函數與任意標籤的細網格

設 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 連續，其中 $a<b$。極值定理保證 $f$ 有界，Heine–Cantor 定理保證它一致連續。對分割 $P$，用 $L(f,P)$ 和 $U(f,P)$ 表示其 Darboux 下和與上和。已證明的連續函數 Darboux 可積定理給出共同積分值 $I$。

固定 $\varepsilon>0$。由一致連續性，存在 $\delta>0$，使得只要 $|x-y|<\delta$，便有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon/[2(b-a)]$。如果 $P$ 的網格大小小於 $\delta$，每個子區間上的振幅至多為 $\varepsilon/[2(b-a)]$，因此

$$U(f,P)-L(f,P)\le\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.$$

對任意標籤選擇，其標籤和 $S(P)$ 位於 $L(f,P)$ 與 $U(f,P)$ 之間；$I$ 也在兩者之間。因此 $|S(P)-I|\le U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。同一個 $\delta$ 對所有網格足夠小的分割和所有標籤選擇都適用。這證明了所述閉區間上連續函數滿足標籤網格定義。

設 $a<b$，取分割 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，記 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，選標籤 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，網格為 $\|P\|=\max_i\Delta x_i$。若有限數 $I$ 滿足：對每個 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得每個滿足 $\|P\|<\delta$ 的分割及任意標籤選擇都滿足 $|\sum_i f(\xi_i)\Delta x_i-I|<\varepsilon$，則 $I$ 是定積分 $\int_a^bf(x)dx$。閉區間上的連續函數可積。

設 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續，令 $A(x)=\int_a^xf(t)dt$。對 $x\in(a,b)$ 及滿足 $x+h\in[a,b]$ 的非零 $h$，積分估計給出

$$\left|\frac{A(x+h)-A(x)}h-f(x)\right|\le\sup_{t\in[\min(x,x+h),\max(x,x+h)]}|f(t)-f(x)|\longrightarrow0\quad(h\to0).$$

因此內部有 $A'(x)=f(x)$；端點處同理得到單側導數。若 $F$ 在 $[a,b]$ 連續、在 $(a,b)$ 可微且其中 $F'=f$，由中值定理，$F-A$ 在 $[a,b]$ 上為常數。因此 $\int_a^bf=F(b)-F(a)$。

按分量積分與一致連續性

設 $a<b$，且 $r=(r_1,\ldots,r_n):[a,b]\to\mathbb R^n$ 屬於 $C^1$，其中 $n\ge1$。連續向量函數的積分按分量定義。對 $a\le u<v\le b$，對每個坐標應用標量微積分基本定理，得

$$\int_u^v r'(t)\,dt=\bigl(r_1(v)-r_1(u),\ldots,r_n(v)-r_n(u)\bigr)=r(v)-r(u).$$

每個 $r_i'$ 在緊區間上連續，因而一致連續。給定 $\eta>0$，選取 $\delta_i>0$，使得 $t,s\in[a,b]$ 且 $|t-s|<\delta_i$ 時有 $|r_i'(t)-r_i'(s)|<\eta/\sqrt n$。取 $\delta=\min_i\delta_i$，則對滿足 $|t-s|<\delta$ 的任意此類點，

$$\|r'(t)-r'(s)\|^2=\sum_{i=1}^n|r_i'(t)-r_i'(s)|^2<\eta^2.$$

因此 $r'$ 在歐氏範數下一致連續。即使 $r'$ 為零，上述兩項結論仍成立。

1. 先定義長度，再將其化為積分

對於 $r:[a,b]\to\mathbb R^n$，將長度定義為所有有限分割 $a=t_0<\cdots<t_m=b$ 對應折線和 $\sum_i\|r(t_i)-r(t_{i-1})\|$ 的上確界。上確界允許任意精細的折線近似；單一的端點弦通常只是一個下界。

定理：$C^1$ 長度公式

對緊區間上的 $C^1$ 曲線，

$$L(r)=\int_a^b\|r'(t)\|\,dt.$$

上界。 在一個子區間上，向量形式的微積分基本定理給出位移 $d=\int r'(t)dt$。若 $d\ne0$，與其單位方向取點積得到 $\|d\|\le\int\|r'(t)\|dt$；若 $d=0$，該不等式立即成立。對任意分割求和，得到折線長度不超過速率積分。

下界。 $r'$ 的一致連續性表明：對任意 $\eta>0$，足夠細的分割使每個子區間上 $\|r'(t)-r'(\xi_i)\|<\eta$，其中 $\xi_i$ 是該子區間的任意選定樣本點。因此其位移與 $r'(\xi_i)\Delta t_i$ 之差的向量範數至多為 $\eta\Delta t_i$。反三角不等式給出弦長至少為 $\|r'(\xi_i)\|\Delta t_i-\eta\Delta t_i$。速率本身在子區間上變化至多為 $\eta$，所以其積分與該樣本值之差至多為 $\eta\Delta t_i$。求和得折線長度至少為速率積分減去 $2\eta(b-a)$。由於 $\eta$ 可以任意小，上確界達到積分值。這同時證明兩個方向，而不是只證明常見的弦長上界。

該公式不需要正則性：$C^1$ 曲線可以停下。將弧長反解作為坐標時，正則性才成為關鍵。

學習目標與設定

證明局部可逆性，而不只對形式上假定存在的逆映射求導。全程使用歐幾里得範數及其誘導的算子範數。設 $U\subseteq\mathbb R^n$ 為開集，$F:U\to\mathbb R^n$ 為 $C^1$，$a\in U$，$b=F(a)$，且 $A=DF(a)$ 可逆。我們將證明存在 $a$ 的開鄰域 $W$ 和 $b$ 的開鄰域 $V$，使 $F:W\to V$ 成為一個 $C^1$ 雙射，其逆映射的導數等於 $[DF]^{-1}$。

引理：閉球上的壓縮映射

若映射 $T$ 將非空歐幾里得閉球 $B$ 映入自身，並且對固定的 $0\le q<1$ 滿足 $\|T(x)-T(y)\|\le q\|x-y\|$，那麼它在 $B$ 中有唯一不動點。

證明。 從任意 $x_0\in B$ 出發，定義 $x_{k+1}=T(x_k)$。若 $q=0$，不等式使 $T$ 為常值映射，其值是第一次迭代即達到的唯一不動點。對 $0<q<1$，反覆應用壓縮條件得到 $\|x_{k+1}-x_k\|\le q^k\|x_1-x_0\|$。對於 $m>k$，對連續差求和得到 $\|x_m-x_k\|$ 的上界 $q^k\|x_1-x_0\|/(1-q)$，所以該數列是柯西列。逐坐標的實數完備性給出 $\mathbb R^n$ 中的極限，而閉性使極限留在 $B$ 中。壓縮條件蘊含連續性，所以對 $x_{k+1}=T(x_k)$ 取極限可知極限為不動點。兩個不動點之間的距離至多為該距離的 $q$ 倍，只能為零。這一證明也給出到極限的所述幾何誤差界。

局部逆的存在性與唯一性

由 $DF$ 的連續性，可以選擇 $r>0$，使閉球 $B=\overline B(a,r)\subset U$ 且

$$\|I-A^{-1}DF(y)\|\le q=\frac12\quad\text{for all }y\in B.$$

對靠近 $b$ 的目標點 $x$，令 $T_x(y)=y-A^{-1}(F(y)-x)$。它在凸球上的導數範數至多為 $q$。沿線段應用一元微積分基本定理，得到 $\|T_x(y)-T_x(z)\|\le q\|y-z\|$。此外，

$$\|T_x(y)-a\|\le q\|y-a\|+\|A^{-1}(x-b)\|.$$

選取 $V=B(b,\rho)$，其中 $\rho=(1-q)r/(2\|A^{-1}\|)$。當 $x\in V$ 時，第二項小於 $(1-q)r/2$，故 $T_x$ 將 $B$ 映入自身。引理給出唯一的 $y=H(x)\in B$，滿足 $F(y)=x$。在 $a$ 處的不動點估計給出

$$\|H(x)-a\|\le\frac{\|A^{-1}(x-b)\|}{1-q}<r/2,$$

所以這些解均為內點。令 $W=B(a,r)\cap F^{-1}(V)$。它是開集，包含 $a$，且 $F:W\to V$ 為雙射，因為即使在更大的閉球上解也唯一。

逆映射的連續性與可微性

對 $x,z\in V$ 比較不動點方程：

$$\|H(x)-H(z)\|\le q\|H(x)-H(z)\|+\|A^{-1}\|\|x-z\|.$$

因此 $H$ 是 Lipschitz 映射，常數為 $\|A^{-1}\|/(1-q)$。對 $y\in B$，矩陣 $A^{-1}DF(y)=I-E$ 滿足 $\|E\|\le q<1$。收斂的矩陣級數 $\sum_{k=0}^{\infty}E^k$ 是其逆：有限部分和相乘得到 $I-E^{N+1}$，它趨於 $I$。故 $DF(y)$ 在整個 $B$ 上可逆。

固定 $x\in V$，令 $y=H(x)$，並取充分小的增量 $k$，使 $x+k\in V$。設 $h=H(x+k)-H(x)$。由 $F$ 的可微性，$k=DF(y)h+o(\|h\|)$。Lipschitz 估計給出 $\|h\|=O(\|k\|)$，因此解得

$$h=[DF(y)]^{-1}k+o(\|k\|).$$

所以 $DH(x)=[DF(H(x))]^{-1}$。逆矩陣連續變化：伴隨矩陣除以行列式的公式在行列式非零處連續。結合 $DF$ 和 $H$ 的連續性，證明 $H$ 是 $C^1$。定理現已證明，包括存在性、唯一性、鄰域與正則性。

隱函數作為推論

設 $G:\mathbb R^{p+m}\supset U\to\mathbb R^m$ 為 $C^1$，$G(a,c)=0$，且 $D_yG(a,c)$ 可逆。定義 $\Phi(x,y)=(x,G(x,y))$。其分塊導數為

$$D\Phi=\begin{pmatrix}I&0\\D_xG&D_yG\end{pmatrix},$$

它在 $(a,c)$ 處可逆。已證明的逆函數定理給出局部 $C^1$ 逆映射。將鄰域縮小為乘積鄰域，使求解 $\Phi(x,y)=(x,0)$ 定義唯一的 $y=\varphi(x)$，並包含該乘積鄰域內每一個零點。存在性成立後，對恆等式求導得到

$$D\varphi(x)=-[D_yG(x,\varphi(x))]^{-1}D_xG(x,\varphi(x)).$$

解矩陣方程確定了因子的次序，不能顛倒。

2. 重參數化與單位速率

設 $\phi:J\to I$ 是導數非零的 $C^1$ 雙射。新曲線 $q(u)=r(\phi(u))$ 的速度向量為 $q'=r'(\phi)\phi'$，速率為 $\|q'\|=v(\phi)|\phi'|$。由連續性，在連通區間內導數若改變符號便必然經過零。正號保持遍歷方向，負號反轉方向；無論方向如何，計算長度都需要絕對值。

對正則曲線，固定 $t_0$ 並定義 $s(t)=\int_{t_0}^t v(\tau)d\tau$。於是 $s'=v>0$，故 $s$ 嚴格遞增，具有逆函數 $t=t(s)$；其導數在區間內部為 $1/v(t(s))$，在包含的閉端點處按相應單側導數解釋。重參數化曲線 $\gamma(s)=r(t(s))$ 滿足

$$\gamma'(s)=\frac{r'(t(s))}{v(t(s))},\qquad\|\gamma'(s)\|=1.$$

在 $t_0$ 之前，$s(t)$ 可以為負；有序參數 $t_1<t_2$ 之間的非負長度是 $s(t_2)-s(t_1)$。帶符號坐標與經過的長度相關，卻不是同一個概念。

單位切向量 $T=r'/v$ 依賴遍歷方向。反向重參數化使對應點處它變成 $-T$，但幾何切線不變。

3. 曲率衡量單位長度上的轉向

對正則 $C^2$ 曲線，定義曲率 $\kappa=\|dT/ds\|=\|T'(t)\|/v(t)$。由 $T\cdot T=1$ 求導得到 $T\cdot T'=0$，即單位切向量的轉向與該切向量垂直。

在 $\mathbb R^3$ 中，對 $r'=vT$ 求導得到 $r''=v'T+vT'$，因此

$$\|r'\times r''\|=\|vT\times(v'T+vT')\|=v^2\|T'\|, \qquad \kappa=\frac{\|r'\times r''\|}{\|r'\|^3}.$$

最後一個等式使用了 $T\perp T'$ 和 $\|T\|=1$。若 $T'=0$，兩邊都為零；不能除以 $\|T'\|$ 來歸一化。主單位法向量 $N=T'/\|T'\|$ 只在曲率為正時有定義。

曲率在上述正則重參數化下不變：新 $T$ 是原 $T$ 乘固定的方向符號，其導數範數多出因子 $|\phi'|$，新速率也多出同一因子，因此比值不變。加速度本身沒有這種不變性，因為它還記錄參數時鐘的變化。

若光滑曲線被走過兩次，該積分計入兩倍的單次長度。

向量積分按分量進行。微積分基本定理給出 $r(b)-r(a)=\int_a^br'(t)dt$。即使行程長度為正，這個位移向量的範數仍可能為零。例如沿圓周完整走一圈時，位移為零而長度為 $2\pi R$。

例 6：螺旋路徑。 對 $r(t)=(\cos t,\sin t,2t)^T$、$0\le t\le2\pi$，速率為 $\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+4}=\sqrt5$。長度為 $2\pi\sqrt5$，位移為 $(0,0,4\pi)^T$。路徑還在水平方向繞圈，因此比直線位移長。

6.6 分級練習

基礎

1. 對 $x=2t+1,y=t^2$ 消去參數；若 $t\ge0$，保留相應限制。
2. 將 $r(t)=(t,e^{-t},t^3)^T$ 求導兩次。
3. 對 $r(t)=(3t,4t)^T$，分別在 $t>0$ 與 $t<0$ 時求速率及距原點距離的導數。

核心

4. 對 $x=t,y=t^3-t$，求 $dy/dx$ 和 $d^2y/dx^2$。
5. 對 $x=t^2,y=t^3$、$t>0$，推導兩個直角坐標導數，說明為甚麼 $y''/x''$ 不是二階直角坐標導數。
6. 求 $r(t)=(\cos t,\sin t)^T$ 在 $t=\pi/4$ 處的切線。
7. 對 $r(t)=(t,t^2)^T$，求速度、加速度及 $t=1$ 處的速率導數。
8. 求 $r(t)=(2\cos t,2\sin t,3t)^T$ 在 $[0,\pi]$ 上的長度。

綜合

9. 若 $\|r(t)\|$ 為非零常數，證明 $r\cdot r'=0$。這是否蘊含 $r'=0$？給出反例。
10. 比較 $[0,2\pi]$ 上的 $r_1(t)=(\cos t,\sin t)$ 與 $[0,2\pi]$ 上的 $r_2(s)=(\cos2s,\sin2s)$；分別求像、速率、位移及按遍歷次數計的長度。

6.7 完整解答

1. $t=(x-1)/2$，故 $y=(x-1)^2/4$。若 $t\ge0$，須限制 $x\ge1$；不加限制時，同一個消參後的拋物線包含額外的點。
2. $r'=(1,-e^{-t},3t^2)^T$，$r''=(0,e^{-t},6t)^T$。
3. 速率為五。距離為 $5|t|$，在正時間時導數為五，在負時間時為負五。零點處距離不可微，即使向量路徑可微。
4. 由於 $x'=1$，兩個導數為 $3t^2-1$ 和 $6t$。
5. 一階斜率為 $3t^2/(2t)=3t/2$。對 $t$ 求導並除以 $2t$ 得 $3/(4t)$；相比之下 $y''/x''=6t/2=3t$，通常不同。
6. 點為 $(1/\sqrt2,1/\sqrt2)$，切線方向為 $(-1/\sqrt2,1/\sqrt2)$，切線方程可取 $x+y=\sqrt2$。
7. $v=(1,2t)$、$a=(0,2)$，所以在一處的速率導數為 $(1,2)\cdot(0,2)/\sqrt5=4/\sqrt5$。
8. 速率為 $\sqrt{4\sin^2t+4\cos^2t+9}=\sqrt{13}$，長度為 $\pi\sqrt{13}$。
9. 對常數平方範數求導：$0=(r\cdot r)'=2r\cdot r'$。它不蘊含導數為零；單位圓路徑的範數恆定而切向速度非零。
10. 兩個像都是單位圓。第一個速率為一、遍歷一次，位移為零、長度為 $2\pi$；第二個速率為二、遍歷兩次，位移也為零而長度為 $4\pi$。區間和參數化都重要。

總結與後續聯繫

參數化既記錄像也記錄遍歷。向量導數按分量計算，並遵循點積、乘積和鏈式法則。直角坐標斜率公式要求水平導數非零；參數停滯不自動意味著幾何曲線奇異。速度、速率、加速度和距原點距離的變化率各不相同。長度計入遍歷次數，速度積分給出淨位移。