0. 函數與坐標準備

學習目標與先修知識

本預備章假設讀者熟悉中學代數和初等幾何，明確工程微積分各章使用的函數語言：定義域、複合、反函數分支、指數與三角模型，以及極坐標。目標是防止隱藏的定義域或單位錯誤影響後續微積分，而不是替代中學背景知識。

0.1 定義域、值域與變換

函數 $f:D\to C$ 為 $D$ 中每個輸入指定 $C$ 中的一個輸出。值域 $f(D)$ 可以小於指定的陪域 $C$。兩個公式在共同定義處處處相等，若定義域不同，也未必定義相同函數。

對實數公式，分母不能為零，偶次根要求被開方數非負，對數要求真數為正。應取所有限制的交集；在模型中還須限制到物理上有意義的量。

例 1：取限制的交集。 對 $f(x)=\sqrt{\ln x}/(x-2)$，要求 $x>0$、$\ln x\ge0$ 和 $x\ne2$。前兩項合為 $x\ge1$，故定義域是 $[1,2)\cup(2,\infty)$。對數限制不會消除分母限制。

由已知圖像 $y=f(x)$ 得到 $f(x-a)+b$ 的圖像，需要向右平移 $a$、向上平移 $b$。$cf(x)$ 的圖像按 $c$ 縮放輸出；$c$ 為負還會作竪直反射。對 $k\ne0$，$f(kx)$ 的輸入區間按 $1/k$ 縮放；$k<0$ 時還作水平反射。輸入變換先於函數作用，因此形狀和定義域都會改變。

複合 $g\circ f$ 的定義域是 $\{x\in D:f(x)\in\operatorname{dom}g\}$。次序重要：例如先指數再平方，與先平方再指數不同，分別對應 $e^{2x}$ 與 $e^{x^2}$。

0.2 多項式、有理函數與冪函數

多項式 $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ 的冪為非負整數，對每個實輸入均有定義。有理函數是多項式的商，排除原分母的零點。約去因子可以揭示可去空點，但除非明確重新定義函數，否則不會填上該點。

對整數 $n<0$，$x^n=1/x^{-n}$ 排除零。對 $x^{1/2}$ 等有理次冪，使用實根的定義域及主非負值。特別地，$\sqrt{x^2}=|x|$，不是在整個 $\mathbb R$ 上都等於 $x$。對任意實指數 $a$，標準正輸入定義是 $x^a=e^{a\ln x}$，其中 $x>0$；某些有理指數有額外的實定義域延拓，必須另行說明。

例 2：帶定義域的代數恆等式。 商 $(x^2-9)/(x-3)$ 在 $x\ne3$ 時等於 $x+3$。即使化簡表達式看不出分母，其自然定義域仍排除 $3$。後續該缺失點的極限可以存在，而原函數在該處沒有值。

0.3 指數與對數

對 $a>0$、$a\ne1$，函數 $a^x$ 為正且一一對應，其反函數是定義在 $x>0$ 上的 $\log_a x$。自然對數的底數是 $e$。對正輸入，

$$\ln(uv)=\ln u+\ln v,\quad\ln(u/v)=\ln u-\ln v,\quad\ln(u^r)=r\ln u.$$

$\ln(u+v)$ 沒有類似的加法法則。若對數內出現有量綱的量，最好將其相對於固定參考尺度表示，使對數真數無量綱。

例 3：先精確求解再近似。 對 $t\ge0$ 解 $5e^{-0.4t}=2$。相除並取對數得 $t=\ln(5/2)/0.4$。由於 $5/2>1$，結果為正。若 $t$ 以秒計，系數 $0.4$ 的單位為 s$^{-1}$。小數近似可選；對數式是精確值。

對實常數 $A,k$ 及 $A\ne0$，模型 $y(t)=Ae^{kt}$ 處處非零，相對變化率 $y'(t)/y(t)=k$ 恆定。若 $A=0$，則 $y\equiv0$ 仍滿足 $y'=ky$，但其相對變化率的商無定義。仿射模型 $A+bt$ 的絕對變化率 $b$ 恆定。選擇哪種模型是建模假設，不是代數上的偏好。

0.4 三角函數與弧度模型

弧度角是有向弧長除以半徑。角度 $\theta$ 對應的單位圓點為 $(\cos\theta,\sin\theta)$，所以 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$。正弦與餘弦的週期為 $2\pi$；正切的週期為 $\pi$，在餘弦為零處無定義。

模型 $s(t)=A\sin(\omega t+\phi)$ 在 $A\ne0$、$\omega\ne0$ 時振幅為 $|A|$、週期為 $2\pi/|\omega|$。自變量必須無量綱；若 $t$ 以秒計，$\omega$ 記為 rad/s。導數公式若使用角度制，需要額外換算因子；標準微積分法則使用弧度。

例 4：求週期。 對 $s(t)=2\cos(5t-\pi/3)$，振幅為 $2$、週期為 $2\pi/5$，零時刻的值為 $1$。非負時間的首次最大值在 $5t-\pi/3=0$ 時出現，即 $t=\pi/15$。

解 $\sin\theta=c$ 時，先要求 $|c|\le1$，再列出所要求區間內的全部週期解。主值反函數只給出一個代表值，不是全部解集。

0.5 反函數與適於求導的分支

若 $f(x_1)=f(x_2)$ 蘊含 $x_1=x_2$，函數為單射。單射的反函數從其值域映回定義域。週期三角函數必須限制定義域才可逆：

• $\arcsin:[-1,1]\to[-\pi/2,\pi/2]$；
• $\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$；
• $\arctan:\mathbb R\to(-\pi/2,\pi/2)$。

因此僅當 $\theta$ 位於選定正弦分支時，$\arcsin(\sin\theta)=\theta$。$f^{-1}$ 表示反函數，不是倒數。

當反函數可微且 $f'(x)\ne0$，對 $f(f^{-1}(y))=y$ 求導得到

$$(f^{-1})'(y)=\frac1{f'(f^{-1}(y))}.$$

對 $y=\arcsin x$，有 $\sin y=x$；當 $|x|<1$，分支給出 $\cos y=\sqrt{1-x^2}>0$。因此 $d(\arcsin x)/dx=1/\sqrt{1-x^2}$。在 $x=\pm1$，反函數仍有定義，但沒有該有限雙側導數。同理，當 $|x|<1$，$d(\arccos x)/dx=-1/\sqrt{1-x^2}$；對每個實數 $x$，$d(\arctan x)/dx=1/(1+x^2)$。

例 5：檢查分支。 $\arctan(\tan(3\pi/4))=-\pi/4$，因為該角的正切為 $-1$，主值反函數必須返回介於 $-\pi/2$ 和 $\pi/2$ 之間的值。忽略分支會返回不允許的反函數值。

0.6 直角坐標與極坐標

對 $r\ge0$，極坐標滿足 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$。非零點有 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，方向在模 $2\pi$ 意義下確定。原點的任意角度都對應同一點，所以方向不唯一。由 $\tan\theta=y/x$ 恢復角度需要象限信息，且在 $x=0$ 時不能直接使用。

例 6：極坐標曲線。 曲線 $r=2\cos\theta$，其中 $r\ge0$、$-\pi/2\le\theta\le\pi/2$，滿足 $r^2=2r\cos\theta=2x$。故 $x^2+y^2=2x$，即 $(x-1)^2+y^2=1$。反過來，圓上每點的橫坐標非負，且在所述區間有相容的極坐標表示（原點由一個端點表示）。代數轉換與角度範圍共同確定曲線；若不檢查限制便將極坐標方程平方，可能引入額外點。

極坐標是同一平面的不同描述，不是不同物理空間。後續積分公式必須包含適當的幾何度量；沒有尺度因子時，$dr\,d\theta$ 不能自動視為面積元素。

0.7 分層練習

基礎

1. 求 $\ln(4-x^2)$ 的自然實定義域。
2. 對所有實數 $x$ 化簡 $\sqrt{(x-2)^2}$。
3. 精確求解 $3e^{2t}=12$。

核心

4. 設 $f(x)=x^2-4$、$g(u)=\sqrt u$，求 $g(f(x))$ 的定義域。
5. 求 $v(t)=-4\sin(2t+\pi/2)$ 的振幅、週期和初始值。
6. 在 $0\le\theta<2\pi$ 上解 $\cos\theta=1/2$。
7. 求 $\arccos(\cos(5\pi/3))$，並解釋反函數值域。
8. 對 $(-1,\sqrt3)$ 求正半徑極坐標，取 $0\le\theta<2\pi$。

綜合

9. 用反函數求導和鏈式法則對 $y=\arctan(2x)$ 求導，解釋為何結果的分母沒有實奇點。
10. 將 $r=4\sin\theta$、$0\le\theta\le\pi$ 轉為直角坐標形式，並在不丟棄非負半徑限制的情況下驗證幾何曲線。

0.8 詳解

1. 要求 $4-x^2>0$，所以 $-2<x<2$。
2. 結果為 $|x-2|$；當 $x\ge2$ 等於 $x-2$，當 $x<2$ 等於 $2-x$。
3. $e^{2t}=4$，故 $t=(\ln4)/2=\ln2$。
4. 要求 $x^2-4\ge0$，得到 $(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$。
5. 振幅為 $4$、週期為 $\pi$、初始值為 $-4\sin(\pi/2)=-4$。
6. 第一周解為 $\theta=\pi/3$ 和 $5\pi/3$。
7. $5\pi/3$ 的餘弦為 $1/2$，而 $\arccos$ 返回 $[0,\pi]$ 內的角，即 $\pi/3$。
8. 半徑為 $\sqrt{1+3}=2$。該點在第二象限，餘弦為 $-1/2$、正弦為 $\sqrt3/2$，故 $\theta=2\pi/3$。
9. 導數為 $2/(1+4x^2)$。對每個實數 $x$，分母至少為一，故導數處處有定義，與 $\arctan(2x)$ 的實定義域一致。
10. 乘以 $r$ 得 $r^2=4r\sin\theta=4y$，從而 $x^2+(y-2)^2=4$。這是以 $(0,2)$ 為中心、半徑為二的圓。圓上每點都滿足 $y\ge0$，可用 $0\le\theta\le\pi$、$r\ge0$ 表示；原點出現在角度端點。因此沒有額外包含下半平面的點。

總結與後續聯繫

化簡與複合時保留定義域。冪、對數、三角公式與反函數分支各有不同限制。指數和週期模型需要無量綱自變量及明確時間單位。極坐標需要象限與半徑約定。這些準備為導數、極限與積分章節提供支持，避免無定義輸入。