二面體群與仿射對稱

正方形的例子展示了二面體群，但要對任意正多邊形進行計算，需要一般公式。剩餘類上的仿射映射清楚地呈現其結構，也把反射軸的幾何問題轉化為同餘式，並將對稱性與商群同態聯繫起來。

1 仿射映射組成的有限群

固定 $n\ge3$。在 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ 上定義 $T_{\varepsilon,a}(x)=\varepsilon x+a$，其中 $\varepsilon\in\{1,-1\}$，$a$ 為剩餘類。複合為

$$T_{\varepsilon,a}T_{\delta,b}=T_{\varepsilon\delta,a+\varepsilon b}.$$

函數複合滿足結合律，單位元為 $T_{1,0}$，逆為 $T_{\varepsilon,-\varepsilon a}$，所以這些映射構成群。符號相同的映射由零處的值區分。符號相反的映射不可能對所有輸入都相同：比較零和一會迫使模 $n$ 有 $2=0$，與 $n\ge3$ 矛盾。因此恰有 $2n$ 個元素。我們稱此群為 $D_n$，其下標計數頂點而非元素總數。

令 $r=T_{1,1}$、$s=T_{-1,0}$。則 $r^n=s^2=e$，且 $srs=r^{-1}$。每個元素唯一地寫為 $r^a$ 或 $r^as$。這描述了用剩餘類標記頂點的正多邊形的所有旋轉和反射，而非頂點的任意置換。

2 階與反射的不動點

根據循環群運算，旋轉 $r^a$ 的階為 $n/\gcd(n,a)$。每個反射 $f_a=r^as$ 的平方為單位元，因為 $f_a(x)=a-x$ 且 $f_a(f_a(x))=x$；當 $n\ge3$ 時它們均非單位元，故階恰為 2。

$f_a$ 的不動頂點滿足 $2x\equiv a\pmod n$。若 $n$ 為奇數，2 模 $n$ 可逆，故每個反射恰有一個不動頂點。若 $n$ 為偶數，由線性同餘的最大公因數判別法，當 $a$ 為偶數時有兩個不動頂點，$a$ 為奇數時沒有。這對應偶數邊正多邊形的兩類反射軸。

$D_6$ 中的例子。 反射 $f_0(x)=-x$ 固定 0 和 3；反射 $f_1(x)=1-x$ 不固定任何頂點。然而兩者的階均為 2。不動點行為與群元素的階是不同性質。

通過旋轉共軛會改變反射的標號：

$$r^kf_ar^{-k}=f_{a+2k}.$$

依次追蹤輸入經過三個映射即可證明。因此 $n$ 為奇數時所有反射共軛；偶數情形下偶標號和奇標號分成兩個旋轉共軛類。這從代數上解釋了反射軸的區別。

3 記錄方向類型的商群

由複合公式可知，將 $T_{\varepsilon,a}$ 映到 $\varepsilon$ 的映射 $D_n\to\{1,-1\}$ 是滿同態。其核為旋轉子群 $R=\langle r\rangle$，因此 $R$ 正規且 $D_n/R\cong C_2$。該商群忘掉旋轉量，只保留對稱是否反轉多邊形方向。

整個群非阿貝爾：若 $rs=sr$，則 $r=r^{-1}$，從而 $r^2=e$，這與階為 $n\ge3$ 矛盾。有循環正規子群且商群阿貝爾，並不使整個群阿貝爾；共軛規則仍將旋轉反向。

4 交換子與進一步的結構例子

定義 $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$，交換子子群 $G'$ 由所有此類元素生成。商群是阿貝爾群，當且僅當其核包含每個交換子：商中像的交換等價於交換子映到單位元。

在 $D_n$ 中，$[r,s]=r^2$。反之，對 $\langle r^2\rangle$ 取商後有 $r=r^{-1}$，因此關係 $srs=r^{-1}$ 變為生成元的像彼此交換。子群 $\langle r^2\rangle$ 正規，因為旋轉保持它，而反射將 $r^{2k}$ 映到 $r^{-2k}$。故

$$D_n'=\langle r^2\rangle.$$

若 $n$ 為奇數，$\langle r^2\rangle=\langle r\rangle$，阿貝爾商為 $C_2$。若 $n$ 為偶數，商有四個元素，且兩個生成元的像階均為 2；映射 $r^as^\eta\mapsto([a]_2,[\eta]_2),\quad\eta\in\{0,1\}$ 是以此子群為核的良定義滿同態，證明商為 $C_2\times C_2$。這是核與第一同構定理的具體應用，不是對所有有限群的額外假設。

交換子計算中的兩個包含關係

對任意群，共軛把交換子仍映為交換子：

$$x[g,h]x^{-1}=[xgx^{-1},xhx^{-1}].$$

所以它將全體交換子生成的子群映入自身。再用 $x^{-1}$ 共軛得反向包含，故 $G'$ 正規。對正規子群 $N$，陪集 $gN,hN$ 可交換當且僅當 $[g,h]\in N$。因此 $G/N$ 阿貝爾當且僅當 $G'\subseteq N$。

在二面體群中，由 $sr^{-1}s=r$ 得 $[r,s]=rsr^{-1}s=r^2$，故 $\langle r^2\rangle\subseteq D_n'$。令 $N=\langle r^2\rangle$。用 $r$ 共軛保持其生成元，用 $s$ 共軛則將其變為逆元。由於 $r,s$ 生成 $D_n$，這就證明 $N$ 正規。在 $D_n/N$ 中，關係 $r^2N=N$ 給出 $rN=r^{-1}N$，所以 $sN$ 與 $rN$ 可交換。每個元素均為這兩個生成像的乘積，故商群阿貝爾，由前述判據得 $D_n'\subseteq N$。兩個包含關係證明了相等。

當 $n$ 為偶數時，將每個元素唯一寫為 $r^as^\eta$，其中 $a$ 取模 $n$，$\eta\in\{0,1\}$。把 $a$ 模 2 化簡定義良好，正因為 $a$ 改變 $n$ 不改變奇偶性。乘法的旋轉指數為 $a+(-1)^\eta b$，其奇偶性為 $a+b$；反射指數模 2 相加。因此 $r^as^\eta\mapsto([a]_2,[\eta]_2)$ 為同態。$r,s$ 的像生成 $C_2\times C_2$，核中恰有 $\eta=0$ 且 $a$ 為偶數，即為 $N$。這就核對了最後同構所需的定義良好、同態、滿射與核。這裏沒有將 $a$ 的奇偶映射用於奇數 $n$。

5 分級練習

E1 基礎。 在 $D_7$ 中計算 $(r^3s)(r^5s)$ 及其階。

E2 不動頂點。 求 $D_8$ 中 $f_2(x)=2-x$ 的全部不動頂點，並與 $f_3$ 比較。

E3 商群。 指出 $D_5$ 中符號映射的核、像及所得商群。

E4 結構。 求 $D_8$ 的交換子子群大小及阿貝爾商的類型；按本章約定，該群的總階為 16。

6 詳解

S1. 乘積為 $r^{3-5}=r^{-2}=r^5$。其階為 $7/\gcd(7,5)=7$。

S2. 解模 8 同餘式 $2x=2$，得 $x=1,5$。模 8 的 $2x=3$ 無解，因為最大公因數 2 不能整除 3。兩個反射的階仍均為 2。

S3. 核是五個旋轉，像為 $\{1,-1\}$，由第一同構定理所得商為 $C_2$。該映射忘掉旋轉坐標，而不是把五個旋轉量視為不同的商群元素。

S4. 子群 $\langle r^2\rangle$ 的大小為 $8/\gcd(8,2)=4$。它在 16 元群中的指數為 4，商為 $C_2\times C_2$。它不是四階循環群，因為商中每個元素的平方都是單位元。

小結

剩餘類仿射映射給出具有 $2n$ 個不同元素的一般二面體群模型。階由循環群運算確定，反射的不動頂點由線性同餘式確定，而同態分離出方向信息。交換子計算則把具體對稱規則與阿貝爾商的結構聯繫起來。