域擴張與九元素域的運算

多項式商環可以加入一個根，同時保留精確運算。我們考察一個二次實擴張、一個三次擴張，以及一個九元素域；後者的加法和乘法不同於模九整數的運算。

1 作為向量空間的域擴張

擴張 $K/F$ 是一個包含已指定的基域 $F$ 的副本的域。用基域元素作標量相乘，使 $K$ 成為 $F$ 上的向量空間；其維數稱為次數 $[K:F]$。包含 $F$ 和元素 $\alpha$ 的最小子域記作 $F(\alpha)$。

若 $\alpha$ 滿足 $F$ 上某個非零多項式，取正次數最低的首一零化多項式 $p$。它不可約：否則若分解為兩個次數更低的正次數多項式，代值後乘積在域中為零，就迫使其中一個較低次因子為零。多項式除法證明，在 $\alpha$ 處為零的每個多項式都是 $p$ 的倍數，因為次數更低的非零餘式會與最小性矛盾。

因此代值映射的核為 $(p)$，並將 $F[\alpha]$ 與 $F[x]/(p)$ 等同。由 Bézout 恆等式可求逆，故不可約多項式的商環是域，從而 $F[\alpha]=F(\alpha)$。若 $p$ 的次數為 $d$，唯一的低於 $d$ 次餘式給出基 $1,\alpha,\ldots,\alpha^{d-1}$，擴張次數為 $d$。

2 兩個零特徵例子

對於 $\mathbb Q$ 上的 $\alpha=\sqrt5$，$p=x^2-5$ 沒有有理根，因此不可約。每個元素唯一地寫為 $a+b\sqrt5$。它非零時的逆為

$$(a+b\sqrt5)^{-1}=\frac{a-b\sqrt5}{a^2-5b^2}.$$

有理數分母非零：若 $b\ne0$ 且分母為零，則 $a/b=\pm\sqrt5$ 為有理數，與用素數整除性證明的無理性矛盾；若 $b=0$，由輸入非零可知 $a\ne0$。例如 $(2+\sqrt5)^{-1}=\sqrt5-2$。

對 $\beta=\sqrt[3]2$，有理根定理表明多項式 $x^3-2$ 無有理根，因此這個三次多項式不可約。故 $\mathbb Q(\beta)$ 的基為 $1,\beta,\beta^2$，次數為 3。化簡冪時使用 $\beta^3=2$。特別地，

$$\beta^{-1}=\frac{\beta^2}{2},\qquad (1+\beta)^{-1}=\frac{\beta^2-\beta+1}{3},$$

因為 $(1+\beta)(\beta^2-\beta+1)=1+\beta^3=3$。域擴張為所有非零元素提供真正的逆，而不只是一個包含新符號的向量空間。

3 構造九元素域

在 $\mathbb F_3$ 中，平方只有 0 和 1。因此 $x^2+1$ 無根且不可約。令

$$K=\mathbb F_3[x]/(x^2+1),\qquad\gamma=[x],\qquad\gamma^2=-1=2.$$

每個元素唯一寫為 $a+b\gamma$，其中 $a,b\in\{0,1,2\}$，因此共有九個元素。運算時將系數模 3 化簡，並用 $\gamma^2=2$ 化簡冪。

對非零的 $a+b\gamma$，

$$(a+b\gamma)(a-b\gamma)=a^2+b^2.$$

分母在 $\mathbb F_3$ 中非零：一個非零坐標給出平方和 1，兩個非零坐標給出 2。因此這裏也可用共軛除以範數的求逆公式。對 $1+\gamma$，分母為 2，其模 3 的逆為 2，所以 $(1+\gamma)^{-1}=2+\gamma$。

此域不是 $\mathbb Z/9\mathbb Z$。後者有非零零因子 $[3]$，其平方為零。這裏的域特徵為 3，是 $\mathbb F_3$ 上的二維向量空間；其加法群不是九階循環群。

4 乘法與加法結構

元素 $\gamma$ 的階為 4，因為 $\gamma^2=2$ 且 $\gamma^4=1$。它不能生成全部八個非零元素。但 $g=1+\gamma$ 可以：$g^2=2\gamma$、$g^4=2$、$g^8=1$。由 Lagrange 定理，其階整除 8，但不整除 4，故為 8。因此本例非零元素的乘法群是由 $g$ 生成的循環群。

一般有限域的特徵是素數，因為合數特徵會使 1 的較小整數倍產生零因子。它含有素子域 $\mathbb F_p$，並作為該域上的有限維向量空間具有 $p^d$ 個元素。這一必要的元素個數形式解釋了為甚麼 9 是可能的而 6 不是。它本身並不證明每個素數冪都對應存在且唯一的有限域；那是本例之外的獨立定理。

代數性、基的線性無關性與有限域計數

最低次數多項式的論證以 $\alpha$ 為代數元為前提；超越元沒有這樣的多項式。若 $p$ 的次數為 $d$，冪 $1,\alpha,\ldots,\alpha^{d-1}$ 由除法可張成全空間；它們也線性無關，因為非零線性關係會給出次數低於 $d$ 的零化多項式。這就核對了基的兩個條件。常數域的包含為單射，因為非零常數不可能被非恆定 $p$ 整除。

零特徵例子的不可約判別可直接證明。若最簡分數 $a/b$（$b>0$）滿足 $(a/b)^2=5$，則 $a^2=5b^2$。模 5 的平方為 $0,1,4$，所以 $5\mid a^2$ 蘊含 $5\mid a$；代回又得 $5\mid b$，與互素矛盾。若最簡分數滿足 $(a/b)^3=2$，則 $a^3=2b^3$ 迫使 $b=1$：若某素數整除 $b$，它也整除 $a$，與互素矛盾。整數根由 $a^3=2$ 必整除 2，但 $1,-1,2,-2$ 均不滿足等式。再應用上一章證明的二次、三次判據得到不可約性，不能把這一判據用於任意次數。

有限域的元素個數也有完整證明。在有限域中，序列 $0,1,2\cdot1,\ldots$ 必重複，所以存在使 $m\cdot1=0$ 的最小正整數 $m$。因 $1\ne0$，有 $m>1$。若 $m=ab$ 且 $1<a,b<m$，則 $(a\cdot1)(b\cdot1)=0$，但由最小性兩個因子都非零，與域的性質矛盾。故 $m=p$ 是素數。映射 $\mathbb Z\to K$、$a\mapsto a\cdot1$ 的核於是為 $p\mathbb Z$，從而把 $\mathbb F_p$ 嵌為素子域。在 $\mathbb F_p$ 上逐次加入當前張成空間之外的向量，構造極大的線性無關列；$K$ 有限，故過程必停止，極大性使該列成為基。若其長度為 $d$，基坐標的唯一性給出恰好 $p^d$ 個元素，每個係數 $d$ 元組對應一個。這個論證只證明必要的元素個數形式；它沒有證明任意素數冪的有限域存在唯一，也沒有證明每個有限域的非零乘法群都循環。

5 分級練習

E1 基礎。 在 $\mathbb Q(\sqrt5)$ 中計算 $(1+\sqrt5)(3-\sqrt5)$ 和 $1+\sqrt5$ 的逆。

E2 三次化簡。 在 $\mathbb Q(\beta)$ 中，已知 $\beta^3=2$，將 $\beta^5+\beta^3+1$ 化為所述基下的形式。

E3 有限域乘法。 在九元素域中計算 $(2+\gamma)(1+2\gamma)$。

E4 逆與階。 驗證 $1+\gamma$ 的逆，並解釋其乘法階為何是 8 而不是 4。

6 詳解

S1. 乘積為 $3-\sqrt5+3\sqrt5-5=-2+2\sqrt5$。逆為 $(1-\sqrt5)/(1-5)=(\sqrt5-1)/4$，可相乘驗證。

S2. $\beta^5=2\beta^2$ 且 $\beta^3=2$，所以結果為 $3+2\beta^2$。在 $\mathbb Q$ 上唯一的基坐標為 $(3,0,2)$。

S3. 相乘得到 $2+5\gamma+2\gamma^2=2+2\gamma+4=2\gamma$，其中系數按模 3 化簡。中間出現的整數代表素子域中的等價類。

S4. $(1+\gamma)(2+\gamma)=2+3\gamma+\gamma^2=2+0+2=1$，按模 3 運算。對於階，$g^4=2\ne1$ 且 $g^8=1$。小於 8 的 8 的所有因數都整除 4，因此都不可能是它的階。其階恰為 8。

小結

域擴張結合了多項式關係和向量空間結構。不可約多項式的次數決定基的大小，而 Bézout 恆等式或共軛恆等式用於計算逆。九元素域的特徵為 3，其加法和乘法結構不同；它不是具有相同元素個數的合數模整數環。